Koliko je vrednost spodnjega izraza?
Koliko je vrednost spodnjega izraza?
Andrej je objavil naslednjo nalogo:
Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?
Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka ali v radianih pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo
Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo
Iščemo torej taki naravni števili in ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe in levo stran razcepimo. Dobimo
Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je
vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari
Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.
Kaj imajo skupnega naslednji verižni ulomki
in
Izračunajte vrednost vsakega od njih.
Zapišite
kolikšna je vrednost
V poljubno verzijo Pythona dodamo katero od grafičnih knjižnic. Prav preprosta je graphic.py . Namestimo jo na disk tako, da postane Pythonu vidna, preberemo še navodila na začetku knjižnice in lahko začnemo s programiranjem grafike. Tako recimo koda
from math import * from graphics import * def delay(m): for i in range(1000*m): continue def main(): mx=600 # širina in višina okna my=400 win=GraphWin("Moj Krog",mx,my,autoflush=False) p=Rectangle(Point(0,0),Point(mx,my)) p.setFill("white") c=Circle(Point(mx/2,my/2),10) #Zemlja je modri krogec c.setFill("blue") p.draw(win) c.draw(win) dt=10 #interval med računi leg x=mx/3 #začetna lega y=0 vx=0 # začetna hitrost vy=0.04 # to komponento malo spremeni while True: r=sqrt(x*x+y*y) # račun razdalje satelit-Zemlja ax=-x/(r*r*r) # pospešek satelita sledi iz ay=-y/(r*r*r) # gravitacijskeg azakona vx=vx+ax*dt # račun nove hitrosti vy=vy+ay*dt x=x+vx*dt #račun nove lege satelita y=y+vy*dt t=Point(mx/2+x,my/2-y) # risanje satelita t.setFill("red") t.draw(win) delay(100) #t.setFill("white") #t.draw(win) update() win.getMouse() win.close() main()
spravimo v gibanje satelit okrog Zemlje.
Oglejmo si naslednje verižne ulomke
itd.
Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni. Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti
Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku enaki torej
ali
Od tod pa hitro prepoznamo
oziroma znan obrazec iz osnovne šole
To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.
Naloga: Tudi verižni ulomek
spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.