Geometrijska z diofantskim pridihom

Objavljeno ,
Odgovori

Andrej je objavil naslednjo nalogo:

Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?

Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka (n-2)\frac{180^o}{n} ali v radianih (n-2)\frac{\pi}{n}, pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo

    \[\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.\]

Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo

    \[mn-6m-6n=0.\qquad(1)\]

Iščemo torej taki naravni števili m in n, ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe 36 in levo stran razcepimo. Dobimo

    \[(m-6)(n-6)=36\]

Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je

    \[36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,\]

vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari (m,n):

    \[(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).\]

Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik  in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik  in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.