O eksponentni rasti(2)

V srednji šoli obrazca za eksponentno rast ne izpeljemo iz diferencialne enačbe $dy=kydt$ pri začetnem pogoju $y(0)=y_o$, saj diferencialnih enačb še ne poznamo. Pomagamo si z obrazcem za obrestno obrestovanje kapitala  $y_o$ s p procentno letno obrestno mero v n letih in k kapitalizacijah letno. Kapital po n letih oziroma nk obrestovalnih obdobjih je torej

$$y_n=y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk} $$

Pri neprestani kapitalizaciji ( $k\to\infty$) je

$$y=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk}=$$

$$=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{1}{\frac{100k}{p}}\right)^{\frac{100k\cdot pn}{p\cdot100}}$$.

Upoštevamo zgoraj  znano definicijo Eulerjevega števila $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} ,$$

pa dobimo iskani izraz

$$y=y_oe^{\frac{pn}{100}}.$$

Sedaj lahko pridemo do prvega Bartlettovega obrazca. Upoštevajmo $y=2y_o,$  pa dobimo iz zgornjega obrazca

$$2=e^{\frac{pn}{100}}. $$

Še logaritmirajmo zvezo in izrazimo n, pa dobimo

$$n=\frac{100\ln{2}}{p}. $$

Ker je $\ln2=0,6931, $ je $100\ln2=69,31 $, kar se od 70 v Bartlettovem obrazcu razlikuje za manj kot procent.  Torej je1.Bartlettov obrazec

$$t_2\doteq \frac{70}{p}$$

zelo dober približek za podvojitveni čas pri eksponentni rasti.

Do  2. Bartlettovega obrazca (povečanju količine v 70 letih) pa pridemo takole:

Velikost spremenljivke y po 70 letih je

$$ y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 70}{100}}=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}$$

Zapišimo to z eksponentno funkcijo  z osnovo 2

$$ y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}=y_o2^u.$$

in določimo u. Krajšajmo in logaritmirajmo to zvezo, pa dobimo

$$ \frac{7p}{10}=u\ln2.$$

Izrazimo od tod u, pa dobimo

$$ u=\frac{7p}{10\ln2}$$,

kar se samo za 1% razlikuje od p. Tako smo torej pridelali uporaben in kar natančen obrazec

$$ y(70)\doteq y_o2^p.$$

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika in zaznamoval z , . Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

2 thoughts on “O eksponentni rasti(2)

    • Hvala, Andrej, nisem poznal, čeprav poznam spletne Preseke. Andrej me je opozoril na članek dr.Petra Legiše v Preseku letnika 20, ki obravnava pravilo, zelo podobno 1. Bartlettovemu pravilu, a vendar različno od njega. Pravilo za podvojitveni čas se v tem članku glasi takole

      [math]t_2=\frac{72}{p}[/math]

      Vprašanje, ki se postavlja: 70 ali 72. Del odgovora ponuja že avtor članka.

      Če bi bili natančnejši, bi ugotovili, da je [math]e^{0.693} = 2.000.[/math] Torej bi za zelo majhne obrestne mere namesto PRAVILA 72 morali vzeti “pravilo 70” , (Za tiste, ki poznate logaritme, je 0’693 .., prav naravni logaritem števila 2.) Ker pa se obrestne mere navadno sučejo okrog 8 %, je bilo
      izbrano PRAVILO 72, ki daje na tem območju natančnejše rezultate. Poleg tega je 72 “lepo” število, deljivo z mnogimi števili, kar smo tudi izkoristili v naših primerih.

      Vsaj na prvi pogled se mi zdi, da je razlika med izpeljavama v tem, da Bartlettova obrazca upoštevata neprestano – zvezno – kapitalizacijo, ki jo opiše eksponentna funkcija in je uporabna za zvezne pojave, kot je npr. naravna rast, dr. Legiša pa piše o diskretni kapitalizaciji – njegove spremenljivke se znotraj obrestovalnega obdobja ne obrestujejo. Prvo pravilo je enako natančno ne glede na p, medtem ko drugo daje najbolj natančne napovedi pri p=8%. Obrazca sta podobna, nista pa enaka.
      Obe formuli pa nedvomno pričata o praktičnosti tistih čez lužo….

Komentiranje zaprto.