Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo $R=1\Omega$.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja $R_x$?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo $R_x$ dodamo eno vejo.

Velja

$$R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x$$

$$R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x$$

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za $R_x$

$$R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0$$

$$R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R$$

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom $R_x=\varphi=1,618…$.
$R_x$ je pravzaprav enak številu zlatega reza $\varphi$.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

$R_1=R=1$

$R_2=R+R=2R=2$

$R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5$

$R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666$

$R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6$

$R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625$

$R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615$

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, …$$
alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

3 thoughts on “Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

  1. O, hvala, zelo lepo zgleda, posebej 1.del, kjer si ulomke pisal, kot se spodobi. Je pa grafika nekam motna. Bi morda poskusil TikZ? Rabiš Qtikz in nekaj priročnikov (začneš z minimal tikz, nadaljuješ s tikz manual 2.10…..

Komentiranje zaprto.