Najljubša naloga

[latexpage]

Izmed vseh matematičnih nalog iz svojih gimnazijskih časov mi je v spominu najdlje ostala  naslednja:

V gradu straši, a ne vsako noč. Zagotovo straši, če prejšnjo noč ni strašilo. Če pa je prejšnjo noč strašilo, je enako verjetno, da to noč straši, kot da ne straši. V noči od srede na četrtek je strašilo. Kolika je verjetnost, da bo strašilo v noči od nedelje na ponedeljek?

Nalogo  je v šestdesetih letih objavil France Križanič v tretjem od svojih slavnih učbenikov za matematiko v gimnaziji Aritmetika, algebra in analiza, nekoliko spremenjeno pa jo najdemo tudi v njegovih kasnejših učbenikih.  Naloga sodi med markovske verige,  poglavju iz verjetnostnega računa, ki se imenuje po ruskem matematiku Andreju Andrejeviču Markovu.  Poglavje ni našlo svojega prostora v gimnazijskih učbenikih ne prej ne kasneje. Zakaj ne prej, je še razumljivo, saj si je Križanič prizadeval  posodobiti gimnazijsko matematiko in mu je to tudi uspelo. Kasneje pa je v gimnazijsko ladjo vkrcalo preveč potnikov in v skrbi, da jim ne bi bilo kaj pretežko, so vrgli proč večino njegovih posodobitev.

Zaporedju poskusov, ko se vsakič zgodi natanko eden od nezružljivih dogodkov

$$A_1,A_2,\dots ,A_n$$

in je verjetnost  $p_{ij}$, da se bo v naslednjem poskusu zgodil $A_j$, odvisna samo od dogodka $A_i$ iz tekočega poskusa in od $A_j$, pravimo veriga Markova ali markovska veriga. Posamezne verjetnosti $p_{ij}$ zapišemo v kvadratni prehodni matriki

$$P=\left[\begin{matrix}

p_{11},&p_{12},&\dots&p_{1n}\\

p_{21},&p_{22},&\dots&p_{2n}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

p_{n1},&p_{n2},&\dots&p_{nn}\\

\end{matrix}\right]

$$

Vsota verjetnosti v vsaki vrstici marike $P$ je $$p_{i1}+p_{i2}+\dots+p_{in}=1,$$ saj se eden od dogodkov $A_i$ gotovo  zgodi.

Vrnimo se k reševanju naše naloge:

z $A_1$ označimo “straši”, z $A_2$ pa “ne straši”.  Potem elementi naše prehodne matrike pomenijo naslednje:

  • $p_{11} $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je prejšnjo strašilo,
  • $p_{12} $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je prejšnjo strašilo,
  • $p_{21} $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, prejšnjo ni strašilo,
  • $p_{22} $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če prejšnjo ni strašilo.

Iz teksta naloge preberemo naslednjo prehodno matriko

$$P=\left[\begin{matrix}

\frac{1}{2},&\frac{1}{2}\\

1,&0\\

\end{matrix}\right]

$$

Kaj pa po dveh nočeh? Označimo z

  • $p_{11}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je pred dvema strašilo,
  • $p_{12}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je pred dvema strašilo,
  • $p_{21}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, pred dvema ni strašilo,
  • $p_{22}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če pred dvema ni strašilo.

Dogodek, da to noč straši, če je pred dvema strašilo, se lahko zgodi takole: straši vse tri noči zapored ali pa straši – ne straši – straši. Dogodki so med seboj neodvisni, produkti pa nezdružljivi. Zato lahko zapišemo:

$$p_{11}(2) =p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}$$

Po podobnem premisleku dobimo še tri enačbe:

$$p_{12}(2) =p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}$$

$$p_{21}(2) =p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}$$

$$p_{22}(2) =p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}$$

V zadnjih enačbah prepoznamo elemente kvadrata prehodne matrike $P$. Če torej označimo s $P(2)$ prehodno matriko po dveh korakih  (nočeh), je

$$P(2)=\left[\begin{matrix}p_{12}(2),&p_{12}(2)\\p_{21}(2),&p_{22}(2)\\\end{matrix}\right]=

\left[\begin{matrix}p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}&p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}\\

p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}&p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}\\\end{matrix}\right]=P^2.$$

Brez težav posplošimo na prehodno matriko za n korakov. Uganili ste

$$P(n)=P^n.$$

Preostane še, da preštejete , koliko je noči, izračunate ustrezno prehodno matriko, v njej pogledate pravi element in mi sporočite rezultat.

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

2 thoughts on “Najljubša naloga

  1. [latexpage]

    Po štirih dneh imamo
    $$P(4)=\left[\begin{matrix}
    \frac{11}{16},&\frac{5}{16}\\
    \frac{5}{8},&\frac{3}{8}\\
    \end{matrix}\right]$$

    Torej $$p=p_{11}=\frac{11}{16} =0.6875 !$$

    Po par tednih pa verjetnost strašenja krene proti
    0,66666666666666666666666666666666666 …

Komentiranje zaprto.