Fuzbalska lestvica

 

Na evropskem in svetovnem prvenstvu v nogometu so reprezentance razvrščene v skupine po 4 in odigrajo med seboj vsaka z vsemi, torej vsaka 3 tekme, skupaj 6 tekem. Za zmago dobi ekipa 3 točke, za neodločen rezultat eno, ob porazu pa ostane brez točk. Ekipi, ki v skupini zbereta največ točk, se uvrstita v nadaljnje tekmovanje, preostali pa odpotujeta domov.

Vprašajmo se, kakšni so možni točkovni izidi po koncu tekem v skupini. Na misel nam pride, da je eden od možnih izdov osvojenih točk   npr. 9,6,3,0, kar pomeni, da ni bilo nobenega neodločenega rezultata, temveč same zmage,  in da je prva ekipa premagala ostale tri, druga izgubila s prvo, premagala pa ostali, tretje je izgubila z ekipama pred njo, premagala pa zadnjo in nazadnje četrta ekipa je izgubila vse tekme. Pri tem izidu je bilo v skupini razdeljeno maksimalno, 18 točk. Ni pa to edina taka možnost, preostali sta še npr. 9,3,3,3 ali 6,6,6,0.

Drug skrajni primer so sami remiji, torej 3,3,3,3. V tem primeru je bilo v skupini podeljeno minimalno, torej 12 točk.

Zanima nas, koliko je vseh možnih izidov osvojenih točk v skupini po koncu teh tekem. V skupini so 4 ekipe in vsaka igra z vsako, torej je skupaj C_4^2={4 \choose 2}=6 tekem. Ker so na vsaki tekmi tri možnosti izida, je po osnovnem izreku kombinatorike N=^{\left(p\right)}\hspace{-1.8mm} V_6^3=3^6=729 vseh možnosti. A število različnih izidov je dosti manjše, saj moramo odšteti njihove permutacije (npr 0,9,6,3 da isti izid kot 9,6,3,0). Imamo kar zapleten kombinatoričen problem. Namesto da bi ga rešili matematično, raje napišimo program, ki bo simuliral število točk po vseh možnih izidih teh tekem. Najprej sestavimo niz vseh izidov, nato pa izide v njem sortiramo in različne prepišemo v novi niz. V Pythonu gre to skoraj tako kot v slovenščini.

Koda programa zgleda takole:

#Program ugotovi vse različne možnosti osvojitve točk 
#v skupini 4 moštev.
#Medsebojnih tekem je 6, zmagovalec, dobi 3 točke, poraženec 0,
# v primeru
#neodločenega rezultata pa si moštvi razdelita 2 točki.
# V Petruna, junij 2014
x=3
y=0
z=1
izidi=[]
izid2=[]
for i in range(3):    
    for ii in range(3):
        for iii in range(3):
            for i4 in range(3):
                for i5 in range(3):
                    for i6 in range(3):
                        a=0
                        b=0
                        c=0
                        d=0
#simulacija izida na posamezni tekmi
                        if i==0:a=a+x;b=b+y
                        else:
                            if i==1:a=1;b=1
                            else:a=a+y;b=b+x

                        if ii==0:a=a+x;c=c+y
                        else:
                            if ii==1:a=a+1;c=c+1
                            else:a=a+y;c=c+x

                        if iii==0:a=a+x;d=d+y
                        else:
                            if iii==1:a=a+1;d=d+1
                            else:a=a+y;d=d+x   

                        if i4==0:b=b+x;c=c+y
                        else:
                            if i4==1:b=b+1;c=c+1
                            else:b=b+y;c=c+x

                        if i5==0:b=b+x;d=d+y
                        else:
                            if i5==1:b=b+1;d=d+1
                            else:b=b+y;d=d+x    

                        if i6==0:c=c+x;d=d+0
                        else:
                            if i==1:c=c+1;d=d+1
                            else:c=c+0;d=d+x

                        izi=[a,b,c,d]
                        izid=sorted(izi,reverse=True)                    
#tvorimo niz vseh izidov
                        izidi.append(izid)
#izločanje podvojenih
for i in range (len(izidi)):       
    if (izidi[i] not in izid2):
        izid2.append(izidi[i])       
izidis=sorted(izid2,reverse=True)
#računanje vsote točk v skupini
for i in range(len(izid2)):
    vsota=izidis[i][0]+izidis[i][1]+izidis[i][2]+izidis[i][3]
    izidis[i].insert(0,vsota)
#izpis števila vseh različnih možnosti
print "VSEH RAZLIČNIH MOŽNOSTI = ",len(izidis)
izidiss=sorted(izidis,reverse=True)
#izpis vseh različnih možnosti, urejenih po številu doseženih točk v skupini
for i in range(len(izidiss)):
    for j in range(5):
        print izidiss[i][j],"  ",
    print

Rezultat, ki ga dobimo, je naslednji:

18    9    6    3    0   
18    9    3    3    3   
18    6    6    6    0   
18    6    6    3    3   
17    9    6    1    1   
17    9    4    4    0   
17    9    4    3    1   
17    7    7    3    0   
17    7    6    4    0   
17    7    6    3    1   
17    7    4    3    3   
17    6    6    4    1   
17    6    4    4    3   
16    9    4    2    1   
16    7    7    1    1   
16    7    6    2    1   
16    7    5    4    0   
16    7    5    3    1   
16    7    4    4    1   
16    7    4    3    2   
16    6    5    4    1   
16    6    4    4    2   
16    5    4    4    3   
16    4    4    4    4   
15    9    2    2    2   
15    7    5    2    1   
15    7    4    3    1   
15    7    4    2    2   
15    6    5    2    2   
15    5    5    5    0   
15    5    5    4    1   
15    5    5    3    2   
15    5    4    4    2   
15    4    4    4    3   
14    7    3    2    2   
14    5    5    3    1   
14    5    5    2    2   
14    5    4    3    2   
13    5    3    3    2   
12    3    3    3    3

Opazimo torej, da je vseh možnih različnih izidov 40.

Zgornja tabela možnih točkovnih izidov po koncu tekmovanja v skupini pokaže nekaj zanimivosti. Možno je npr. napredovati samo z dvema remijema, ali zapustiti tekmovanje kljub dvem zmagam.  V prvem primeru ima drugovrščena ekipa samo 2 točki, v drugem pa tretjeuvrščena 6 točk (poišči v tabeli ta primera).  Tudi v zadnjem primeru, ko so tekmeci izenačeni, dva nadaljujeta, dva pa končata stekmovanjem.

Vidi se torej, da je kljub točkovanju zelo pomembna tudi sreča.

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika,Programiranje,Pythonove animacije. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

6 odzivov na “Fuzbalska lestvica

    • Umestno vprašanje. V mojem programu naredi malenkostno spremembo, pa prideš do odgovora..:-)

  1. Pa še to:

    “Vidi se torej, da je kljub točkovanju zelo pomemna tudi sreča.”

    To seveda ne drži. Če odpreš https://sl.wikipedia.org/wiki/Svetovno_prvenstvo_v_nogometu_2014#Kriteriji_napredovanja

    piše:

    Položaj na lestvici v vsaki skupini določa v tem zaporedju:

    * večje število točk, pridobljenih z vseh tekem v skupini
    * boljša razlika v zadetkih z vseh tekem v skupini
    * večje število danih zadetkov z vseh tekem v skupini

    Če je dve ali več reprezentanc še po zgoraj navedenih treh kriterijih izenačeno, njihovo uvrstitev v tem zaporedju določa:

    * večje število točk, pridobljenih z vseh tekem med izenačenimi reprezentancami
    * boljša razlika v zadetkih z vseh tekem med izenačenimi reprezentancami
    * večje število danih zadetkov z vseh tekem med izenačenimi reprezentancami
    * od organizacijskega komiteja FIFE delegiran žreb.

    Torej načeloma lahko greš celo s srečo v osmino finala, a se na srečo to še nikoli ni zgodilo …

Dodaj odgovor

Vaš e-naslov ne bo objavljen. * označuje zahtevana polja

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *