Eulerjev produkt

Leonhard Euler je leta 1748 v 15.poglavju knjige Introductio in analysin infinitorum  (Uvod v analizo neskončnosti) pokazal, kako lahko produkt nekaterih faktorjev spremenimo v neskončno vrsto in obratno. Prehodimo del njegove poti.

Začnimo z geometrijskimi vrstami, ki imajo začetni člen $a_1=1,$ in količnik $k=\frac{1}{p},$ pri čemer je $p$ praštevilo. Vse te vrste so zaradi $\frac{1}{p}<1$ konvergentne. Spodaj je nekaj vrst z najmanjšim $p$:

$$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{1}{3125}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\frac{1}{2401}+\frac{1}{16807}+\dots$$

Pomnožimo najprej prvi dve vrsti vsak člen z vsakim in sproti urejajmo po velikosti

$$\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\dots$$

Primnožimo zraven še tretjo

$$\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots$$

pa četrto

$$\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots$$

Opazimo, da na desni strani dobivamo prve člene harmonične vrste. Če nadaljujemo z množenjem geometrijskih vrst s količnikom $k=\frac{1}{p}$, pri čemer so $p$ vsa različna praštevila, dobivamo na levi strani produkt, na desni pa vsoto

$$\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}.$$

La levi strani je t.i. Eulerjev produkt, produkt neskončno faktorjev, kjer so $p_i$ vsa zaporedna praštevila.Na desni strani pa dobimo  harmonično vrsto, ki je ravno Riemannova funkcija $\zeta(s)$ za $s=1$, torej

$$\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots$$

Torej

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\dots}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot\dots}$$

Oba izraza, vsota in produkt, seveda divergirata.

Po zgornjem zgledu lahko množimo še druge geometrijske vrste, ki imajo količnike $k=\frac{1}{p^n},$ pri čemer je $p$ praštevilo, in dobivamo vsote

$$S=\frac{1}{1-\frac{1}{p^n}}.$$

Pri tem je $n\in \mathbb{N}.$ Za $n=1$ imamo ravno zgornji primer. Za npr.$n=2$ pa imamo vrste

$$\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{10}}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3⁶}+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^{10}}+\dots$$

itd.

Produkt vseh takih vrst za $n=2$ nam analogno zgornjemu da

$$\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{{p_i}^2}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}.$$

Na desni strani pa se tokrat pojavi Riemannova funkcija $\zeta(2)$

$$\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}.$$

Vrsta je konvergentna, seštel jo je L.Euler, ko je rešil slavni Baselski problem, njena vsota znaša

$$\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}​_=\frac{\pi^2}{6}.$$

Za nadaljne $n$ dobimo še druge Rimannnove funkcije $\zeta(n)$s splošnim predpisom

$$\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^n}}.$$

Vse tako dobljene vrste za $n\in \mathbb{N}$  konvergirajo, a “lepo” vsoto imajo samo tiste s sodim $n$.

Lotimo se sedaj dveh nalog, povezanih z Eulerjevim produktom.

Kolikšna je verjetnost, da pri nakljucnem izboru med naravnimi števili izberemo praštevilo?

Rešitev: Verjetnost, da je izbrano število deljivo z 2, je $\frac{1}{2}, $ da s 3, $\frac{1}{3},$ da je deljivo s $p$, torej $\frac{1}{p}.$ Označimo iskani dogodek z $A$, z $A_p$ pa dogodek, da je izbrano število deljivo s  $p$.  Nasprotni dogodek $\overline{A}_p$ je potem dogodek, da izbrano število ni deljivo s $p$, njegova verjetnost pa je

$$P(\overline{A}_p)=1-\frac{1}{p}.$$

Opazimo, da je dogodek $A$ sestavljen, natančneje neskončni produkt dogodkov

$A=\overline{A}_2\cap \overline{A}_3\cap \overline{A}_5\cap \dots \cap \overline{A}_p\cap\dots,$

ki so med seboj vsi neodvisni. Zato je verjetnost dogodka $A$ enaka

$$P(A)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{p})\dots=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}.$$

Dobili smo Eulerjev produkt, torej je

$$P(A)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{\zeta(1)}=\frac{1}{\infty}=0. $$

V imenovalcu se je pojavila harmonična vrsta, ki divergira, zato je iskana verjetnost $0.$

Med naravnimi števili dve naključno izberemo. Kolikšna je verjetnost, da sta tuji?

Rešitev:Naj bo $B$ dogodek, da sta izbrani števili tuji. Verjetnost, da je prvo število deljivo s praštevilom $p$, je $\frac{1}{p}$ in enako tudi vetjetnost, da je drugo. Verjetnost, da sta obe števili deljivi s $p,$ je torej (saj sta dogodka neodvisna) $\frac{1}{p^2},$ da nista deljivi s $p,$ pa $1-\frac{1}{p^2}.$ Števili sta tuji, če nista deljivi hkrati z nobenim od praštevil, zato imamo

$$P(B)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p^2})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}=0,61. $$

Posplošitev naloge na več števil pa je prepuščena bralcu.

 

 

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika,Razno,šola. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}