Eulerjev produkt

Leonhard Euler je leta 1748 v 15.poglavju knjige Introductio in analysin infinitorum  (Uvod v analizo neskončnosti) pokazal, kako lahko produkt nekaterih faktorjev spremenimo v neskončno vrsto in obratno. Prehodimo del njegove poti.

Začnimo z geometrijskimi vrstami, ki imajo začetni člen a_1=1, in količnik k=\frac{1}{p}, pri čemer je p praštevilo. Vse te vrste so zaradi \frac{1}{p}<1 konvergentne. Spodaj je nekaj vrst z najmanjšim p:

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{1}{3125}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\frac{1}{2401}+\frac{1}{16807}+\dots\]

Pomnožimo najprej prvi dve vrsti vsak člen z vsakim in sproti urejajmo po velikosti

    \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\dots\]

Primnožimo zraven še tretjo

    \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots\]

pa četrto

    \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots\]

Opazimo, da na desni strani dobivamo prve člene harmonične vrste. Če nadaljujemo z množenjem geometrijskih vrst s količnikom k=\frac{1}{p}, pri čemer so p vsa različna praštevila, dobivamo na levi strani produkt, na desni pa vsoto

    \[\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}.\]

La levi strani je t.i. Eulerjev produkt, produkt neskončno faktorjev, kjer so p_i vsa zaporedna praštevila.Na desni strani pa dobimo  harmonično vrsto, ki je ravno Riemannova funkcija \zeta(s) za s=1, torej

    \[\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots\]

Torej

    \[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\dots}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot\dots}\]

Oba izraza, vsota in produkt, seveda divergirata.

Po zgornjem zgledu lahko množimo še druge geometrijske vrste, ki imajo količnike k=\frac{1}{p^n}, pri čemer je p praštevilo, in dobivamo vsote

    \[S=\frac{1}{1-\frac{1}{p^n}}.\]

Pri tem je n\in \mathbb{N}. Za n=1 imamo ravno zgornji primer. Za npr.n=2 pa imamo vrste

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{10}}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3⁶}+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^{10}}+\dots\]

itd.

Produkt vseh takih vrst za n=2 nam analogno zgornjemu da

    \[\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{{p_i}^2}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}.\]

Na desni strani pa se tokrat pojavi Riemannova funkcija \zeta(2)

    \[\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}.\]

Vrsta je konvergentna, seštel jo je L.Euler, ko je rešil slavni Baselski problem, njena vsota znaša

    \[\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}​_=\frac{\pi^2}{6}.\]

Za nadaljne n dobimo še druge Rimannnove funkcije \zeta(n)s splošnim predpisom

    \[\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^n}}.\]

Vse tako dobljene vrste za n\in \mathbb{N}  konvergirajo, a “lepo” vsoto imajo samo tiste s sodim n.

Lotimo se sedaj dveh nalog, povezanih z Eulerjevim produktom.

Kolikšna je verjetnost, da pri nakljucnem izboru med naravnimi števili izberemo praštevilo?

Rešitev: Verjetnost, da je izbrano število deljivo z 2, je \frac{1}{2}, da s 3, \frac{1}{3}, da je deljivo s p, torej \frac{1}{p}. Označimo iskani dogodek z A, z A_p pa dogodek, da je izbrano število deljivo s  p.  Nasprotni dogodek \overline{A}_p je potem dogodek, da izbrano število ni deljivo s p, njegova verjetnost pa je

    \[P(\overline{A}_p)=1-\frac{1}{p}.\]

Opazimo, da je dogodek A sestavljen, natančneje neskončni produkt dogodkov

A=\overline{A}_2\cap \overline{A}_3\cap \overline{A}_5\cap \dots \cap \overline{A}_p\cap\dots,

ki so med seboj vsi neodvisni. Zato je verjetnost dogodka A enaka

    \[P(A)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{p})\dots=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}.\]

Dobili smo Eulerjev produkt, torej je

    \[P(A)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{\zeta(1)}=\frac{1}{\infty}=0.\]

V imenovalcu se je pojavila harmonična vrsta, ki divergira, zato je iskana verjetnost 0.

Med naravnimi števili dve naključno izberemo. Kolikšna je verjetnost, da sta tuji?

Rešitev:Naj bo B dogodek, da sta izbrani števili tuji. Verjetnost, da je prvo število deljivo s praštevilom p, je \frac{1}{p} in enako tudi vetjetnost, da je drugo. Verjetnost, da sta obe števili deljivi s p, je torej (saj sta dogodka neodvisna) \frac{1}{p^2}, da nista deljivi s p, pa 1-\frac{1}{p^2}. Števili sta tuji, če nista deljivi hkrati z nobenim od praštevil, zato imamo

    \[P(B)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p^2})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}=0,61.\]

Posplošitev naloge na več števil pa je prepuščena bralcu.

 

 

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika,Razno,šola. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

Dodaj odgovor

Vaš e-naslov ne bo objavljen. * označuje zahtevana polja

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *

10.149 Spam Comments Blocked so far by Spam Free Wordpress