Dve nalogi iz Azimutha

Na strani Azimuth je ameriški matematični fizik John Baez povzel nekaj tudi za srednješolce zanimivih geometrijskih nalog. Med drugim sta Hipokratovi luni, o čemer sem v  blogu že pisal, nekaj nalog pa je svežih in nenavadnih.

Prva naloga govori o enakostraničnem trikotniku in pravi:

Rendered by QuickLaTeX.com

Pokaži, da so obarvane ploščine na skici med seboj v preprosti zvezi.

Tale dokaz je izvedel Stane Š. Uvedel je oznake P_1, P_2 in P_3 za ustrezne ploščine, stranico trikotnika pa označimo z a.

Potem pa je “pridno” računal:

    \[\displaystyle P_1=\frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}-\frac{a^2\pi}{12}\right) = \underline{\underline{\frac{a^2 \sqrt{3}}{12}-\frac{\pi a^2}{36}}}\]

    \[\displaystyle P_2= \frac{\pi a^2}{12}=\underline{\underline{\frac{1}{3} \frac{\pi a^2}{4}}}\]

    \[\displaystyle P_3=\frac{1}{3} \left( \pi \left( \frac{2}{3} \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\right)^2 -\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)=\]

    \[\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \pi \frac{4 a^2 3}{9\cdot 4} -\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)=\]

    \[\displaystyle = \underline{\underline{\frac{1}{3} \left( \frac{\pi a^2}{3} -\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)}}\]

In če zdaj te izraze dobro pogledamo, hitro (u)vidimo:\\

\displaystyle P_1+P_3= \frac{\pi a^2}{9}-\frac{\pi a^2}{36} = \frac{ \pi a^2}{3} \left( \frac{12}{9} - \frac{1}{3}\right) = \frac{ \pi a^2}{3}= P_2

 

Druga naloga pa govori o polkrogih, ki sta v krog vrisana takole:

Rendered by QuickLaTeX.com

Naloga pravi: Pokaži, da se vsota ploščin obeh pokrogov preprosto izraža.

Označimo z S središče kroga, z R polmer velikega kroga, z d razdaljo med S in dotikališčem polkrogov, polmer malega polkroga z r_1 in polmer večjega polkroga z r_2. Črtkana trikotnika sta skladna, saj se ujemata v stranici in priležnih kotih. Zato lahko preberemo iz skice zvezo med polmeroma

    \[r_2=r_1+d.\]

Ko v obeh trikotnikih uporabimo Pitagorov izrek, dobimo tudi enačbi

    \[(r_1+d)^2+r_1^2=R^2,\]

    \[r_1^2+r_2^2=R^2.\]

Potrebujemo samo drugo zvezo. Vsota ploščin obeh polkrogov torej znaša

    \[S_1+S_2=\frac{\pi}{2}\left(r_1^2+r_2^2\right)=\frac{\pi}{2}R^2.\]

Nazadnje smo uporabili zvezo v desnem trikotniku. Vsota ploščin polkrogov je torej enaka polovici ploščine velikega kroga. S tem je izrek dokazan.

Zadnji izrek je znan šele od leta 2011:Glej Andrew K. Jobbings, Two semicircles fill half a circle, The Mathematical Gazette 95 (Nov. 2011), 538–540.

Glej tudi  geometrijski dokaz Grega Egana.

Ta vnos je objavil Vinc v Geometrija. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

Dodaj odgovor

Vaš e-naslov ne bo objavljen. * označuje zahtevana polja

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *