Znana limita in njena uporaba

V srednji šoli se četrtošolci srečajo z limito

$$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1.$$

Dokaz najdejo v svojem učbeniku. Med primeri uporabe te limite pa pogosto umanjkata naslednja:

plošćina kroga

Imejmo krog s središčem $T$ in polmerom $r$, po Arhimedovo mu včrtajmo n-kotnik. Le-ta je iz $n$ skladnih enakokokrakih trikotnikov , njegova ploščina torej znaša

$$S_n=nr^2\sin{\frac{\pi}{n}}\cos{\frac{\pi}{n}}=\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}.$$

Če večamo n, gre ploščina n-kotnika proti ploščini kroga, zato je ploščina kroga S enaka

$$S=\lim_{n\to \infty}{S_n}=\frac{r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}}=  \frac{2\pi r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}}$$

Uvedimo $u=\frac{2\pi}{n}$ in opazimo, da ko gre $n\to \infty$, gre $u\to 0,$ pa lahko pišemo

$$S= \pi r^2\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=\pi r^2.$$

Dokazali smo torej obrazec za ploščino kroga.

Izračun Ludolfovega Števila

Uporabimo večkrat obrazec za sinus dvojnega kota, pa dobimo produkt n faktorjev

$$\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=$$

$$=2^2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{4}}\cos{\frac{x}{4}}=\dots$$

$$\dots=2^n\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}.$$

Delimo zgornjo enačbo z x, pa dobimo

$$\frac{\sin{x}}{x}=\frac{2^n}{x}\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}$$

ali

$$\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}$$

V prvem faktorju na desni prepoznamo nastavek znane limite in ko gre $n\to\infty ,$ gre ta faktor proti 1, dobimo pa produkt neskončnih cosinusov:

$$\frac{\sin{x}}{x}=\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2^3}}\dots$$

Na spletu najdemo,da je ta obrazec prvi našel slavni L.Euler.  A če vanj vstavimo $x=\frac{\pi}{2},$ dobimo

$$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$$

Ta izraz pa je objavil Francois Viète leta 1593, torej več kot stoletje prej. Gre tudi za prvi primer zapisa neskončnega produkta sploh.