Arhivi Kategorije: Razno

Stewartov izrek

Objavljeno ,

Imejmo trikotnik ABC in na stranici c poljubno točko D.  Zveznico \overline{CD} označimo z d. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

    \[m^2a+n^2b=c(d^2+mn).\]

Dokaz: Kota \angle ADC in \angle CDB sta suplementarna, označimo ju z \varphi in 180^o-\varphi. Ker je \cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

    \[\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.\]

Preuredimo in dvakrat upoštevamo m+n=c, pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Kristal grafita

Objavljeno ,

Kristal grafita ustvari v TikZu naslednja koda:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}
\foreach \z in {1,2,...,5}
\foreach \y in {1,2,...,5}
\foreach \x in {1,2,...,5}
\shade[ball color=black](\x,\z,\y) circle(0.5cm);
\end{tikzpicture}

*** Error message:
Environment tikzpicture undefined.
leading text: \begin{tikzpicture}

Eulerjev produkt

Objavljeno ,

Leonhard Euler je leta 1748 v 15.poglavju knjige Introductio in analysin infinitorum  (Uvod v analizo neskončnosti) pokazal, kako lahko produkt nekaterih faktorjev spremenimo v neskončno vrsto in obratno. Prehodimo del njegove poti.

Začnimo z geometrijskimi vrstami, ki imajo začetni člen a_1=1, in količnik k=\frac{1}{p}, pri čemer je p praštevilo. Vse te vrste so zaradi \frac{1}{p}<1 konvergentne. Spodaj je nekaj vrst z najmanjšim p:

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{1}{3125}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\frac{1}{2401}+\frac{1}{16807}+\dots\]

Pomnožimo najprej prvi dve vrsti vsak člen z vsakim in sproti urejajmo po velikosti

    \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\dots\]

Primnožimo zraven še tretjo

    \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots\]

pa četrto

    \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots\]

Opazimo, da na desni strani dobivamo prve člene harmonične vrste. Če nadaljujemo z množenjem geometrijskih vrst s količnikom k=\frac{1}{p}, pri čemer so p vsa različna praštevila, dobivamo na levi strani produkt, na desni pa vsoto

    \[\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}.\]

La levi strani je t.i. Eulerjev produkt, produkt neskončno faktorjev, kjer so p_i vsa zaporedna praštevila.Na desni strani pa dobimo  harmonično vrsto, ki je ravno Riemannova funkcija \zeta(s) za s=1, torej

    \[\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots\]

Torej

    \[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\dots}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot\dots}\]

Oba izraza, vsota in produkt, seveda divergirata.

Po zgornjem zgledu lahko množimo še druge geometrijske vrste, ki imajo količnike k=\frac{1}{p^n}, pri čemer je p praštevilo, in dobivamo vsote

    \[S=\frac{1}{1-\frac{1}{p^n}}.\]

Pri tem je n\in \mathbb{N}. Za n=1 imamo ravno zgornji primer. Za npr.n=2 pa imamo vrste

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{10}}+\dots\]

    \[\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3⁶}+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^{10}}+\dots\]

itd.

Produkt vseh takih vrst za n=2 nam analogno zgornjemu da

    \[\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{{p_i}^2}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}.\]

Na desni strani pa se tokrat pojavi Riemannova funkcija \zeta(2)

    \[\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}.\]

Vrsta je konvergentna, seštel jo je L.Euler, ko je rešil slavni Baselski problem, njena vsota znaša

    \[\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}​_=\frac{\pi^2}{6}.\]

Za nadaljne n dobimo še druge Rimannnove funkcije \zeta(n)s splošnim predpisom

    \[\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^n}}.\]

Vse tako dobljene vrste za n\in \mathbb{N}  konvergirajo, a “lepo” vsoto imajo samo tiste s sodim n.

Lotimo se sedaj dveh nalog, povezanih z Eulerjevim produktom.

Kolikšna je verjetnost, da pri nakljucnem izboru med naravnimi števili izberemo praštevilo?

Rešitev: Verjetnost, da je izbrano število deljivo z 2, je \frac{1}{2}, da s 3, \frac{1}{3}, da je deljivo s p, torej \frac{1}{p}. Označimo iskani dogodek z A, z A_p pa dogodek, da je izbrano število deljivo s  p.  Nasprotni dogodek \overline{A}_p je potem dogodek, da izbrano število ni deljivo s p, njegova verjetnost pa je

    \[P(\overline{A}_p)=1-\frac{1}{p}.\]

Opazimo, da je dogodek A sestavljen, natančneje neskončni produkt dogodkov

A=\overline{A}_2\cap \overline{A}_3\cap \overline{A}_5\cap \dots \cap \overline{A}_p\cap\dots,

ki so med seboj vsi neodvisni. Zato je verjetnost dogodka A enaka

    \[P(A)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{p})\dots=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}.\]

Dobili smo Eulerjev produkt, torej je

    \[P(A)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{\zeta(1)}=\frac{1}{\infty}=0.\]

V imenovalcu se je pojavila harmonična vrsta, ki divergira, zato je iskana verjetnost 0.

Med naravnimi števili dve naključno izberemo. Kolikšna je verjetnost, da sta tuji?

Rešitev:Naj bo B dogodek, da sta izbrani števili tuji. Verjetnost, da je prvo število deljivo s praštevilom p, je \frac{1}{p} in enako tudi vetjetnost, da je drugo. Verjetnost, da sta obe števili deljivi s p, je torej (saj sta dogodka neodvisna) \frac{1}{p^2}, da nista deljivi s p, pa 1-\frac{1}{p^2}. Števili sta tuji, če nista deljivi hkrati z nobenim od praštevil, zato imamo

    \[P(B)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p^2})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}=0,61.\]

Posplošitev naloge na več števil pa je prepuščena bralcu.

 

 

Pitagorov izrek – skeč

Objavljeno ,

V. Petruna, feb. 2012

(skeč ob informativnem dnevu šole)

NAPOVEDOVALKA (recimo ji Anja, počasi in resno): Prekinjamo dnevnik z novico o izrednih dogodkih v Srednji šoli Črnomelj. Iz zanesljivih virov smo izvedeli, da je na danes zjutraj tej šoli izbruhnil strašen virus. Nobenega od četrtošolcev ni v šolo, situacija je dramatična, zato kličemo našo dopisnico Saro, da poroča s kraja dogodka. Sara, se slišimo?

SARA (dramatično): Dober dan, javljam se iz jedilnice Srednje šole Črnomelj, situacija tu je res izjemno težka. Dejansko nobenega od četrtošolcev danes ni v šoli. Šolske reševalne ekipe so v polni pripravljenosti, učiteljski zbor zaseda za tistimi vrati že dve debeli uri, iz zaupnih virov mi je uspelo zvedeti le, da ravnatelja složno predlagata za virus najstrožji vzgojni ukrep v zadnjih 60 letih obstoja šole. Z menoj je dr. Kristjan, vodja skupine matematikov centra za umetno inteligenco te šole, kjer so virus najprej opazili. Zastavila mu bom nekaj vprašanj. Dr. Kristjan, kako ste pravzaprav opazili virus?

DR.KRISTJAN: Hja, ko smo zjutraj prišli v službo, smo opazili, da je virus najhuje napadel in grdo zdelal Pitagorov izrek. Poglejte, kaj je naredil z njim. (Pokaže trikotnike na računalniški animaciji).

SARA(zgroženo): To je pa res resno. V spominu imam čisto drugačen Pitagorov izrek. Preverjam pri naključnih opazovalcih.

SARA:(izbere naključnega osmošolca v bližini) Iz katere šole prihajaš?

OSMOŠOLEC: Iz Podzemlja.

SARA: Kako se glasi Pitagorov izrek pri vas?

OSMOŠOLEC: (pove)

SARA: Kaj meniš o našem Pitagorovem izreku?

OSMOŠOLEC(pove)

SARA:Kvadrati seveda, ne pa ti trikotniki.

SARA(DR.KRISTJANU): Dr. Kristjan, kaj počne vaša ekipa v tem trenutku?

DR.KRISTJAN: Hja, trenutno proučujemo virus in skušamo spraviti situacijo pod kontrolo. (premakne miško, da se pokažejo petkotniki)

(klikni za špričetek animacije)

SARA:(zavpije) Mutiral je, mutiral je!!

DR. KRISTJAN: (razburjeno):Hja, res kaže, da je mutiral!

SARA: Toliko, spoštovani gledalci, direktno s kraja dogodkov. Sreča v nesreči je, da skupina naših najboljših matematikov intenzivno išče rešitev. Takoj, ko se bo zgodilo kaj novega, vam bomo o tem izčrpno poročali. Anja?

DR.KRISTJAN: (spet premakne miško, da se pokažejo trikotniki)

NAPOVEDOVALKA: Hvala, Sara. (nadaljuje s poročili).

Čez 5 minut.

NAPOVEDOVALKA: Ponovno vključujemo poročanje o izrednih dogodkih v Srednji šoli Črnomelj, kaže, da je tam prišlo do sprememb. Od tam se nam javlja naša dopisnica Sara. Sara, se slišimo?

SARA : Lepo pozdrav še enkrat gledalcem vašega dnevnika. Kaže, da se je zapletena situacija na tej šoli le pričela nekoliko razpletati. Kljub temu, da je situacija še težka, ni več brezizhodna. Z menoj je vodja skupine matematikov centra za umetno inteligenco na tej šoli, Dr.Kristjan. Dr. Kristjan, kaj se je pravzaprav zgodilo?

DR.KRISTJAN: Hja, kaže, da je virus prizadel Pitagorov izrek manj, kot se je na začetku zdelo. Nekateri člani strokovnega tima celo preverjajo domnevo, da Pitagorov izrek tudi v taki obliki še vedno velja.

SARA(razburjeno) Kaj?? Pitagorov izrek z enakostraničnimi trikotniki velja? Saj to ne more biti res!

DR.KRISTJAN: Hja, preveriti moramo najbolj neverjetne trditve. Se opravičujem, dosti dela nas še čaka. (Med tem zapiše izraze za enakost ploščin trikotnikov, jih okrajša in se zamisli.)

SARA: Toliko, spoštovani gledalci, direktno s kraja dogodkov. Sreča v nesreči je, da skupina naših najboljših matematikov torej še vedno intenzivno išče rešitev. Takoj, ko se bo zgodilo kaj novega, vam bomo o tem izčrpno poročali.

Anja?

NAPOVEDOVALKA: Sara, ali je učiteljski zbor že sprejel kakšne sklepe?

SARA: Ne, Anja, po do sedaj dostopnih podatkih še vedno zasedajo.

NAPOVEDOVALKA: Sara, ali je že kaj znanega tudi o pogrešanih četrtošolcih?

SARA: Iz nepreverjenih virov smo izvedeli, da so danes vsi na informativnem dnevu v Ljubljani. Vsi se nameravajo vrniti v šolo prihodnji teden, nekateri že v ponedeljek.

Anja?

NAPOVEDOVALKA: Hvala, Sara. (nadaljuje s poročili).

Konec