Klikni na to povezavo.
Arhivi Kategorije: Razno
Obrazci v sfernem trikotniku
Za poljuben sferni trikotnik
- Razmerje med sinusom stranice in sinusom nasprotnega kota je stalno
– sinusni obrazec, zelo spominja na tistega iz ravninske trigonometrije,
- Cosinus stranice je enak vsoti produktov cosinusov ostalih dveh stranic ter sinusov produktov teh stranic in cosinusa vmesnega kota
– cosinusov obrazec, tudi spominja na cosinusov izrek iz ravninske geometrije.
- Produkt sinusa stranice in cosinusa priležnega kota je enak produktu sinusa druge priležne stranice in cosinusa kotu nasprotne stranice minus produkt cosinusa druge priležne stranice, cosinusa nasprotne stranice in cosinusa vmesnega kota zadnjih dveh stranic.
- Iz sinusnega in sinusno kosinusnega obrazca lahko izpeljemo še tangensni obrazec
pravokotni sferni trikotnik
Je sferni trikotnik, v katerem je eden od kotov pravi, pri nas
Iz zgornjih dobimo v tem primeru deset obrazcev, ki si jih zapomnimo s pomočjo Napierjevega pravila. Elemente trikotnika zložimo v krog takole:
Pri zlaganju elementov pravokotnega sfernega trikotnika v Napierjev krog pazimo na naslednje:
- Najprej vstavimo v zgornje polje “hipotenuzo”.
- V polji poleg vstavimo hipotenuzi priležna kota.
- V preostali polji vpišemo komplemetarne kote “katet” tako, da so nasprotni nasprotnim kotom.
Pravilo pravi naslednje:
Cosinus vsakega elementa je enak produktu sinusov nasprotnih elementov ali pa produktu kotangensov sosednjih elementov.
Zapiši vseh 10 enačb, pri tem upoštevaj obrazce za komplementarne kote. Rezultate preveri v literaturi.
Tangentni krogi
Tangentne kroge si lahko ogledate tu.
Ali pa si ogledate predstavno datoteko
Geometrijska z diofantskim pridihom
Andrej je objavil naslednjo nalogo:
Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?
Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka ali v radianih pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo
Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo
Iščemo torej taki naravni števili in ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe in levo stran razcepimo. Dobimo
Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je
vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari
Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.
O neki vrsti verižnih ulomkov
Oglejmo si naslednje verižne ulomke
itd.
Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni. Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti
Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku enaki torej
ali
Od tod pa hitro prepoznamo
oziroma znan obrazec iz osnovne šole
To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.
Naloga: Tudi verižni ulomek
spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.