Leonhard Euler je leta 1748 v 15.poglavju knjige Introductio in analysin infinitorum (Uvod v analizo neskončnosti) pokazal, kako lahko produkt nekaterih faktorjev spremenimo v neskončno vrsto in obratno. Prehodimo del njegove poti.
Začnimo z geometrijskimi vrstami, ki imajo začetni člen
in količnik
pri čemer je
praštevilo. Vse te vrste so zaradi
konvergentne. Spodaj je nekaj vrst z najmanjšim
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d26e50f2660dccb8f3cf85d2e7672f3f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94ec812eb37c1a1a6a35f3a88847de08_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{1}{3125}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d7dfc79c3e0327d9bd1544246a956d9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\frac{1}{2401}+\frac{1}{16807}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b675e93795c800d079f85f19ad8ef42e_l3.png)
Pomnožimo najprej prvi dve vrsti vsak člen z vsakim in sproti urejajmo po velikosti
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e25ec245b2d8f16275bb070739b4205a_l3.png)
Primnožimo zraven še tretjo
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5329d5f8e146cf6455c31e1343d6a40a_l3.png)
pa četrto
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6781a9d91f6f9a8cc7acd9f2607da1e4_l3.png)
Opazimo, da na desni strani dobivamo prve člene harmonične vrste. Če nadaljujemo z množenjem geometrijskih vrst s količnikom
, pri čemer so
vsa različna praštevila, dobivamo na levi strani produkt, na desni pa vsoto
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67744dae402ecc31a0fccf4a8c53a70f_l3.png)
La levi strani je t.i. Eulerjev produkt, produkt neskončno faktorjev, kjer so
vsa zaporedna praštevila.Na desni strani pa dobimo harmonično vrsto, ki je ravno Riemannova funkcija
za
, torej
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbf435bddd12d823dd635767346f7432_l3.png)
Torej
![Rendered by QuickLaTeX.com \[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\dots}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot\dots}\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61525dbb511ab51536c432eaf3783aa3_l3.png)
Oba izraza, vsota in produkt, seveda divergirata.
Po zgornjem zgledu lahko množimo še druge geometrijske vrste, ki imajo količnike
pri čemer je
praštevilo, in dobivamo vsote
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S=\frac{1}{1-\frac{1}{p^n}}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f0b6a20536abe3103c535e402b6f192_l3.png)
Pri tem je
Za
imamo ravno zgornji primer. Za npr.
pa imamo vrste
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{10}}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35b616127f7f8bd9f445786347dfe1e2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3⁶}+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^{10}}+\dots\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d13afe3bd780f53f79e3fc1e20b4a081_l3.png)
itd.
Produkt vseh takih vrst za
nam analogno zgornjemu da
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{{p_i}^2}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1686186546be5a714b1999565667dc4e_l3.png)
Na desni strani pa se tokrat pojavi Riemannova funkcija 
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f50f4c3611793e070815b7f5ec12fa6_l3.png)
Vrsta je konvergentna, seštel jo je L.Euler, ko je rešil slavni Baselski problem, njena vsota znaša
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}_=\frac{\pi^2}{6}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1325ecf423eb766daa737378f1c28c69_l3.png)
Za nadaljne
dobimo še druge Rimannnove funkcije
s splošnim predpisom
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^n}}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc3a968565d5f9a70c5557c1f9b16898_l3.png)
Vse tako dobljene vrste za
konvergirajo, a “lepo” vsoto imajo samo tiste s sodim
.
Lotimo se sedaj dveh nalog, povezanih z Eulerjevim produktom.
Kolikšna je verjetnost, da pri nakljucnem izboru med naravnimi števili izberemo praštevilo?
Rešitev: Verjetnost, da je izbrano število deljivo z 2, je
da s 3,
da je deljivo s
, torej
Označimo iskani dogodek z
, z
pa dogodek, da je izbrano število deljivo s
. Nasprotni dogodek
je potem dogodek, da izbrano število ni deljivo s
, njegova verjetnost pa je
![Rendered by QuickLaTeX.com \[P(\overline{A}_p)=1-\frac{1}{p}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-390b63bb25b742e95dbc98b93dc0250d_l3.png)
Opazimo, da je dogodek
sestavljen, natančneje neskončni produkt dogodkov

ki so med seboj vsi neodvisni. Zato je verjetnost dogodka
enaka
![Rendered by QuickLaTeX.com \[P(A)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{p})\dots=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5061463cc56ff310ae1f0b25fa87c3f9_l3.png)
Dobili smo Eulerjev produkt, torej je
![Rendered by QuickLaTeX.com \[P(A)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{\zeta(1)}=\frac{1}{\infty}=0.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c7f849fa8670d00e938d81ee86c73eb_l3.png)
V imenovalcu se je pojavila harmonična vrsta, ki divergira, zato je iskana verjetnost 
Med naravnimi števili dve naključno izberemo. Kolikšna je verjetnost, da sta tuji?
Rešitev:Naj bo
dogodek, da sta izbrani števili tuji. Verjetnost, da je prvo število deljivo s praštevilom
, je
in enako tudi vetjetnost, da je drugo. Verjetnost, da sta obe števili deljivi s
je torej (saj sta dogodka neodvisna)
da nista deljivi s
pa
Števili sta tuji, če nista deljivi hkrati z nobenim od praštevil, zato imamo
![Rendered by QuickLaTeX.com \[P(B)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p^2})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}=0,61.\]](http://vincenc.petruna.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d030e68aa4a6b71e00884036684a4e3_l3.png)
Posplošitev naloge na več števil pa je prepuščena bralcu.