Geometrijska z diofantskim pridihom

Andrej je objavil naslednjo nalogo:

Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?

Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka (n-2)\frac{180^o}{n} ali v radianih (n-2)\frac{\pi}{n}, pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo

    \[\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.\]

Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo

    \[mn-6m-6n=0.\qquad(1)\]

Iščemo torej taki naravni števili m in n, ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe 36 in levo stran razcepimo. Dobimo

    \[(m-6)(n-6)=36\]

Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je

    \[36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,\]

vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari (m,n):

    \[(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).\]

Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik  in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik  in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.

O neki vrsti verižnih ulomkov

Oglejmo si naslednje verižne ulomke

    \[x_1=1+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{\ddots}}}},\]

    \[x_2=1+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{\ddots}}}},\]

    \[x_3=1+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{\ddots}}}},\]

    \[x_4=1+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{\ddots}}}},\]

    \[x_5=1+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{\ddots}}}},\]

itd.

Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni.  Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti

    \[x_i=i+1;\qquad i=1,..,5\]

Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku x enaki x^2-1, torej

    \[x=1+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}\]

ali

    \[x=1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}.\]

Od tod pa hitro prepoznamo

    \[x=1+\frac{x^2-1}{1+x},\]

oziroma znan obrazec iz osnovne šole

    \[x-1=\frac{x^2-1}{1+x}.\]

To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.

Naloga: Tudi verižni ulomek

    \[[1;1,\overline{2}]=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}\]

spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.