Goldbachova domneva in nemogoči problem

Ivan Vidav: Teorija števil in elementarna geometrija

Članek z naslovom O nerešljivem problemu je izšel v časopisu Obzornik za matematiko in fiziko 29, 1982, str. 101-102.

Naravno število je praštevilo, če je večje od 1 in je deljivo le z 1 in s samim seboj. Najmanjše praštevilo je 2 in je edino sodo, vsa druga so liha: 3, 5, 7, 11, 13, … Vemo, da se dá vsako naravno število, ki je > 1 in ni praštevilo, razstaviti v produkt samih praštevil. Ali se dá zapisati tudi kot vsota praštevil? Prav gotovo, če se ne oziramo na število sumandov. Sodo število je na primer vsota samih dvojk. Zgled:

100 = 2 + 2 + 2 + … + 2.

Tu je na desni kar 50 sumandov. Število 100 pa lahko izrazimo tudi takole:

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 .

Vsi sumandi na desni so praštevila. Torej se dá 100 zapisati kot vsota dveh praštevil, in sicer kar na šest načinov. Poglejmo, kako je pri najmanjših sodih številih:

4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5.

Kaj hitro se prepričamo tudi o nadaljnjih ne prevelikih sodih številih 12, 14, 16, 18, … , da se izražajo kot vsote dveh praštevil. Zato se nam upravičeno vsiljuje tale

DOMNEVA. Vsako sodo število  >= 4 se da zapisati vsaj na en način kot vsota dveh praštevil.

Prvi je to domnevo izrazil C. Goldbach leta 1742 v nekem pismu L. Eulerju. Zato se imenuje Goldbachova domneva. Doslej je še nihče ni dokazal, prav tako ni nihče našel kakega protiprimera. Z računalniki so potrdili veljavnost domneve za velikansko množico sodih števil. Toda dokler nimamo strogega dokaza, ne moremo z gotovostjo trditi, da je Goldbachova domneva pravilna. Morda soda števila, ki jih ni mogoče razstaviti v vsoto dveh praštevil, obstajajo, vendar so zelo velika in se tudi najmanjše med njimi izraža v desetiškem sestavu s številko, ki ima nekaj sto števk. Če bi bilo to res, Goldbachova domneva ne bi bila pravilna, toda tega ne bi mogli nikoli odkriti s testiranjem, niti z uporabo najhitrejših računalnikov ne.

PRIPOMBA. Če se da število n vsaj na en način zapisati kot vsota dveh praštevil, bomo na kratko rekli, da je vsota dveh praštevil, če pa to ni mogoče, potem n ni vsota dveh praštevil. Naj bosta a in b naravni števili. Izjava, da je a+b vsota dveh praštevil, torej ne pomeni, da sta a in b praštevili, temveč da obstajata taki praštevili p1 in p2, da je a+b = p1+p2. Npr. število 8+6 je vsota dveh praštevil, ker je 8 + 6 = 14 = 3+11.

Kdaj je liho število vsota dveh praštevil? Ker so razen 2 vsa praštevila liha, vsota dveh lihih števil pa je soda, je liho število n vsota dveh praštevil natanko tedaj, kadar ima obliko n = p + 2, kjer je p liho praštevilo. Torej je liho število n vsota dveh praštevil, če je razlika n – 2 praštevilo, sicer pa ni. Tako je npr. 9 vsota dveh praštevil, ker je razlika 9 – 2 = 7 praštevilo, 11 ni, ker je razlika 11 – 2 = 9 = 3∙3 sestavljeno število.

Kaj lahko na splošno povemo o izražanju lihih števil, namreč tudi tistih, ki niso vsote dveh praštevil?

DOMNEVA L. Vsako liho število >= 7 se da zapisati kot vsota treh praštevil.

Denimo, da je Goldbachova domneva pravilna. Naj bo n poljubno liho število >= 7. Potem je razlika n – 3 soda in >= 4, torej je vsota dveh praštevil, npr. n – 3 = p1-p2, kjer sta p1 in p2 praštevili. Od tod dobimo n = 3 + p1 + p2. Tako smo zapisali n kot vsoto treh praštevil 3, p1 in p2. Vidimo, da iz pravilnosti Goldbachove domneve izhaja pravilnost domneve L. V obratni smeri pa ne gre; ne znamo dokazati, da je Goldbachova domneva pravilna, če je pravilna domneva L.

Domnevo L bi skoraj smeli imenovati izrek. Leta 1937 je namreč ruskemu matematiku I. M. Vinogradovu uspelo dokazati, da je vsako liho število, ki je dovolj veliko, namreč večje od N0=, vsota treh praštevil. Število N0 se v desetiškem sestavu izraža s številko, ki ima skoraj sedem milijonov števk, se pravi, da je nepredstavljivo veliko. Kljub temu je do N0 samo končno mnogo lihih števil. Treba bi bilo vsako od njih testirati, ali je vsota treh praštevil. Če je, bi bila domneva L dokazana. Žal je N0 tako velik, da tega testiranja verjetno ne bo mogoče nikoli opraviti niti z najhitrejšimi računalniki.

PRIPOMBA. Pred nekaj leti sta Chen in Wang zmanjšala omenjeno mejo N0 na število, ki ima, zapisano v desetiškem sistemu, samo okoli triinštirideset tisoč števk. Testiranje lihih števil do te meje je seveda praktično prav tako neizvedljivo.

Oglejmo si zdaj neko zanimivo nalogo, ki je rešljiva samo na en način, če je Goldbachova domneva pravilna. Glasi se takole:

Peter je izbral dve naravni števili, večji od 1. Vsoto teh števil je povedal prijatelju Tonetu, produkt pa Mirku. Tone si ogleda vsoto in telefonira Mirku:

“Ne vidim možnosti, kako bi ti lahko ugotovil vsoto.”

Čez nekaj časa odgovori Mirko:

“Imaš prav. Ne morem določiti vsote.”

Kmalu nato pa se spet oglasi Tone:

“Vem, kolikšen je produkt.”

Kateri števili je izbral Peter?

Nalogo v tej obliki je postavil Barry Wolk z univerze v Manitobi, objavil pa jo je Martin Gardner v časopisu Scientific American junija 1980. Imenoval jo je nemogoči problem, in sicer zato, ker na videz ni dan noben podatek, ki bi omogočil rešiti nalogo.

Imenujmo izbrani naravni števili x in y, vsota x+y naj bo V, produkt xy pa P. Ker sta x in y večja od 1, je P produkt najmanj dveh praštevil. Mirko, ki je poznal P, je P razstavil na prafaktorje. Vsoto bi takoj našel, če bi bil P produkt samo dveh praštevil. Recimo, da bi bilo P = 15 = 3 ∙ 5. V tem primeru bi Peter izbral števili 3 in 5, vsota pa bi bila 8. Mirko ni mogel določiti vsote zato, ker je P produkt najmanj treh prafaktorjev. Kako je Tone to vedel? Ogledal si je vsoto V in videl, da se V ne da zapisati kot vsota dveh praštevil in potemtakem P ne more biti produkt samo dveh prafaktorjev. Njegovo telefonsko sporočilo Mirku je zato vsebovalo informacijo, da V ni vsota dveh praštevil. Mirko je zdaj skušal razstaviti P na dva faktorja tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Če bi se dal P razstaviti v tem smislu samo na en način, bi Mirko dobil faktorja x in y, s tem pa vsoto V = x + y. Denimo, da bi bilo P = 18. Število 18 lahko razstavimo na dva načina v produkt dveh faktorjev, ki sta oba večja od 1, namreč 18 = 3 ∙ 6 in 18 = 2 ∙ 9. Vsota faktorjev je v prvem primeru 3 + 6 = 9. Ker je 9 = 2 + 7 vsota dveh praštevil, izbrani števili nista 3 in 6. V drugem primeru je vsota faktorjev 2+ 9 = 11, ki ni vsota dveh praštevil. Če bi bil torej produkt 18, bi Mirko ugotovil, da je Peter izbral števili 2 in 9 in da je vsota V = 11. Toda Tonetu je telefoniral, da vsote ne more najti. Zakaj ne? Videl je namreč, da se da P razstaviti vsaj na dva načina v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Ko je Tone dobil sporočilo od Mirka, je zapisal V na vse mogoče načine kot vsoto dveh sumandov

V=2+(V-2)=3+(V-3)=…

in si ogledal pripadajoče produkte 2(V-2), 3(V-3), 4(V-4) itd. Ugotovil je, da je mogoče samo enega izmed njih razstaviti še na en način v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Tisti produkt je bil pravi. Zato je lahko telefoniral Mirku, da je našel produkt.

Tone je poznal vsoto V izbranih števil, Mirko produkt P, mi pa ne poznamo niti V niti P. Kako bomo razvozlali uganko? Naštejmo, kaj vemo o naravnih številih x in y, ki jih je Peter izbral, o vsoti V in produktu P :

(i)          x in y sta večja od 1.

(ii)         V = x + y ni vsota dveh praštevil.

(iii)        Število P = xy se da vsaj še na en način razstaviti v produkt x’y’ tako, da vsota faktorjev x’ + y’ ni vsota dveh praštevil.

(iv)        Število V lahko zapišemo na en sam način kot vsoto x+ y, kjer imata sumanda x in y lastnosti, navedeni v (i) in (iii).

Dokažimo zdaj, da sta x, y, z njima pa vsota V in produkt P, z lastnostmi (i) do (iv), natanko določena, če je Goldbachova domneva pravilna.

Po (i) je vsota V = x + y najmanj enaka 4. Če drži Goldbachova domneva, je vsako sodo število > 4 vsota dveh praštevil. Pogoj (ii) potemtakem pove, da je V liho število. Tudi razlika V – 2 je liha, ni pa enaka kakšnemu praštevilu p, saj bi sicer bil V = p + 2 vsota praštevil p in 2. Zato je V – 2 sestavljeno število. Razstavimo ga v produkt ab, kjer sta faktorja a in b liha in večja od 1. Tedaj imamo V = ab + 2. Ker sta a in b liha, sta razliki a – 1 in b – 1 sodi in zato lahko pišemo a – l = 2m,
b – 1 = 2n, kjer sta m in n naravni števili > 1. Potem je a = 2m + 1, b = 2n + 1 in

V = 4mn + 2(m + n) + 3

Število V bomo zdaj na dva načina zapisali kot vsoto dveh sumandov. Najprej postavimo

x = 4mn + 2 , y = 2(m + n) + 1 .

Potem je x + y = V. Pripadajoči produkt

P = xy = (4mn + 2)(2m + 2n + 1) lahko razstavimo na dva faktorja x’ in y’ tudi takole:

x’ = 2 , y’ = (2mn + 1)(2m + 2n + l) .

Očitno sta faktorja x’ in y’ različna od faktorjev x in y v prejšnjem razcepu. Vsota novih faktorjev

x’ + y’ = (2mn + 1)(2m + 2n + l) + 2

je liho število in ni vsota dveh praštevil, ker (2mn + 1)(2m + 2n + 1) očitno ni praštevilo. Torej smo zapisali V kot vsoto x + y, pri tem pa se da pripadajoči produkt P = xy vsaj na dva načina razstaviti v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil.

Drugič razcepimo V na tale sumanda:

X = 4mn – 4m + 2 , Y = 6m + 2n + 1 .

Ta razcep je različen od prejšnjega, ker ni niti X = x, niti X = y (X je namreč sod, y lih). Oglejmo si produkt

XY = (4mn — 4m + 2)(6m + 2n + 1) .

Če postavimo

X’ = 2,   = (2mn — 2m + 1)(6m + 2n + 1) ,

je X’Y’ = XY. Privzemimo najprej, da je n > 1, torej

4mn – 4m = 4m(n – 1) > 0.

Potem je X = 4m(n – 1) + 2 > 2 in zato X > X’ = 2 ter Y’ > Y. Vsota

X’ + Y’ = (2mn — 2m + 1)(6m + 2n + 1) + 2

je liho število. Ker je zaradi n > 1 faktor 2mn — 2m + 1 večji od 1, X’ +Y’ ni vsota dveh praštevil.

Če je torej n > 1, se da V zapisati vsaj na dva načina kot vsota dveh sumandov, tako da sumanda ustrezata pogojema (i) in (iii). Zato v tem primeru V nima lastnosti (iv). Isto lahko trdimo tedaj, kadar je m > 1. Izraz (1) za V, se pravi V = 4mn + 2(m + n) + 3, se namreč nič ne spremeni, če v njem zamenjamo m in n. Tako smo ugotovili, da število V ne zadošča pogoju (iv), če je katero izmed števil m in n večje od 1.

Preostane edina možnost, da je m = n = 1. Tedaj je V = 11. Pišemo lahko

V = 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 7 = 5 + 6 .

Pripadajoči produkti so 2 ∙ 9 = 18, 3 ∙ 8 = 24, 4 ∙ 7 = 28 in 5 ∙ 6 = 30. Ugotovili smo že, da se da 18 razstaviti samo na en način v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Bralec naj se sam prepriča, da velja isto za števili 24 in 28. Pač pa lahko razstavimo 30 na dva načina v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. En razcep je 5∙6 z vsoto faktorjev 5 + 6 = 11, drugi 2 15 z vsoto 2 + 15 = 17. Niti 11 niti 17 ni vsota dveh praštevil. Vidimo, da se da 11 samo na en način zapisati kot vsota x + y tako, da sumanda x in y zadoščata pogoju (iii), namreč 11 = 5 + 6. Torej ima V = 11 tudi lastnost (iv).

Iz povedanega je razvidno, da edino števili 5 in 6 z vsoto V = 11 in produktom P = 30 zadoščata pogojem (i) do (iv). Odgovor na zastavljeno vprašanje se potemtakem glasi:

Peter je izbral števili 5 in 6.

Pri reševanju naloge smo privzeli, da je Goldbachova domneva pravilna. To nam je omogočilo dokazati, da je vsota V liho število. Če se ne zanesemo na pravilnost domneve, potrebujemo dodatni podatek, da je namreč V lih. Drugi pogoj moramo torej postaviti takole:

(ii*) V = x + y je liho število in ni vsota dveh praštevil.

Potem poteka dokazovanje kakor prej. Edino števili 5 in 6 z vsoto V = 11 in produktom P = 30 zadoščata pogojem (i), (ii*), (iii) in (iv).

Vsako naravno število n je produkt samih praštevil. Obstajajo me¬tode, s katerimi je dejansko mogoče razstaviti n v produkt praštevil s končno mnogo koraki. Tako pravi teorija, ki pa je po navadi ne zanima, koliko dela je treba opraviti pri razstavljanju. V praksi je obseg dela seveda še kako pomemben. Kar precej časa potrebujemo, da razstavimo na prafaktorje nekoliko večje število, tudi če si pomagamo z računalniki. Pri velikih številih pa je računanja toliko, da ga ne zmore v razumnem času niti najhitrejši računalnik.

Iz formulacije naloge je razvidno, da je Mirko razmeroma hitro razstavil P na prafaktorje in da je prav tako Tone kmalu pregledal vse produkte 2(V — 2), 3(V — 3), … in našel med njimi pravega. Zato Peter prav gotovo ni izbral zelo velikih števil x in y. Torej smemo domnevati, da je vsota V = x + y manjša od meje, do katere so testirali vsa soda števila in ugotovili, da je vsako izmed njih vsota dveh praštevil. Potemtakem ne potrebujemo dodatnega podatka, da je V lih in smemo ostati kar pri prvotnem pogoju (ii).

Obrazci v sfernem trikotniku

Za poljuben sferni trikotnik

(z velikimi črkami so označeni koti, z malimi stranice, vse merimo v kotnih enotah) veljajo naslednje zveze:

  1. Razmerje med sinusom stranice in sinusom nasprotnega kota je stalno $$\frac{\sin{a}}{\sin{A}}=\frac{\sin{b}}{\sin{B}}=\frac{\sin{c}}{\sin{C}}$$ – sinusni obrazec, zelo spominja na tistega iz ravninske trigonometrije,
  2. Cosinus stranice je enak vsoti produktov cosinusov ostalih dveh stranic ter sinusov produktov teh stranic in cosinusa vmesnega kota $$\cos{a}=\cos{b}\cos{c}+\sin{b}\sin{c}\cos{A},$$$$\cos{b}=\cos{a}\cos{c}+\sin{a}\sin{c}\cos{B},$$$$\cos{c}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{C}.$$  – cosinusov obrazec, tudi spominja na cosinusov izrek iz ravninske geometrije.
  3. Produkt sinusa stranice in cosinusa priležnega kota  je enak produktu sinusa druge priležne stranice in cosinusa kotu nasprotne stranice minus produkt cosinusa druge priležne stranice, cosinusa nasprotne stranice in cosinusa vmesnega kota zadnjih dveh stranic.$$\sin{a}\cos{B}=\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}$$ Sinusno-cosinusni izrek, še 5 takih enačb.
  4. Iz sinusnega in sinusno kosinusnega obrazca lahko izpeljemo še tangensni obrazec $$\tan{B}=\frac{\sin{b}\sin{a}}{\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}}$$

pravokotni sferni trikotnik

Je sferni trikotnik, v katerem je eden od kotov pravi, pri nas $C=90^o.$

Iz zgornjih dobimo v tem primeru deset obrazcev, ki si jih zapomnimo s pomočjo Napierjevega pravila. Elemente trikotnika zložimo v krog takole:

Pri zlaganju elementov pravokotnega sfernega trikotnika v Napierjev krog pazimo na naslednje:

  • Najprej vstavimo v zgornje polje “hipotenuzo”.
  • V polji poleg vstavimo hipotenuzi priležna kota.
  • V preostali polji vpišemo kompelemetarne kote “katet” tako, da so nasprotni nasprotnim kotom.

Pravilo pravi naslednje:

Cosinus vsakega elementa je enak produktu sinusov nasprotnih elementov ali pa produktu kotangensov sosednjih elementov.

Zapiši vseh 10 enačb, pri tem upoštevaj obrazce za komplementarne kote. Rezultate preveri v literaturi.

Geometrijska z diofantskim pridihom

Andrej je objavil naslednjo nalogo:

Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?

Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka $(n-2)\frac{180^o}{n}$ ali v radianih $(n-2)\frac{\pi}{n},$ pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo

$$\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.$$

Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo

$$mn-6m-6n=0.\qquad(1)$$

Iščemo torej taki naravni števili $m$ in $n,$ ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe $36$ in levo stran razcepimo. Dobimo

$$(m-6)(n-6)=36$$

Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je

$$36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,$$

vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari $(m,n):$

$$(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).$$

Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik  in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik  in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.

O neki vrsti verižnih ulomkov

Oglejmo si naslednje verižne ulomke

$$x_1=1+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{\ddots}}}},$$

$$x_2=1+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{\ddots}}}},$$

$$x_3=1+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{\ddots}}}},$$

$$x_4=1+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{\ddots}}}},$$

$$x_5=1+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{\ddots}}}},$$

itd.

Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni.  Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti $$x_i=i+1;\qquad i=1,..,5$$ Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku $x$ enaki $x^2-1,$ torej

$$x=1+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}$$

ali

$$x=1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}.$$

Od tod pa hitro prepoznamo

$$x=1+\frac{x^2-1}{1+x},$$

oziroma znan obrazec iz osnovne šole

$$x-1=\frac{x^2-1}{1+x}.$$

To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.

Naloga: Tudi verižni ulomek

$$[1;1,\overline{2}]=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}$$

spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.

Nenavadne identitete

  • Diofant

$$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2,$$

  • Bramagupta

$$(a^2-Nb^2)(c^2-Nd^2)=(ac+Nbd)^2-N(ad+bc)^2,$$

  • Aryabhata

$$(1+2+3+\dots +n)^2=1^3+2^3+3^3+\dots +n^3, $$

  • Euler

$${\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\dots\right)}^2=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\dots,$$

 

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici $c$ poljubno točko $D.$  Zveznico $\overline{CD}$ označimo z $d$. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

$$m^2a+n^2b=c(d^2+mn).$$

Dokaz: Kota $\angle ADC$ in $\angle CDB$ sta suplementarna, označimo ju z $\varphi$ in $180^o-\varphi.$ Ker je $\cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),$  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

$$\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.$$

Preuredimo in dvakrat upoštevamo $m+n=c,$ pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Kristal grafita

Kristal grafita ustvari v TikZu naslednja koda:

\begin{tikzpicture}
\foreach \z in {1,2,...,5}
\foreach \y in {1,2,...,5}
\foreach \x in {1,2,...,5}
\shade[ball color=black](\x,\z,\y) circle(0.5cm);
\end{tikzpicture}

Eulerjev produkt

Leonhard Euler je leta 1748 v 15.poglavju knjige Introductio in analysin infinitorum  (Uvod v analizo neskončnosti) pokazal, kako lahko produkt nekaterih faktorjev spremenimo v neskončno vrsto in obratno. Prehodimo del njegove poti.

Začnimo z geometrijskimi vrstami, ki imajo začetni člen $a_1=1,$ in količnik $k=\frac{1}{p},$ pri čemer je $p$ praštevilo. Vse te vrste so zaradi $\frac{1}{p}<1$ konvergentne. Spodaj je nekaj vrst z najmanjšim $p$:

$$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{1}{3125}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\frac{1}{2401}+\frac{1}{16807}+\dots$$

Pomnožimo najprej prvi dve vrsti vsak člen z vsakim in sproti urejajmo po velikosti

$$\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\dots$$

Primnožimo zraven še tretjo

$$\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots$$

pa četrto

$$\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots$$

Opazimo, da na desni strani dobivamo prve člene harmonične vrste. Če nadaljujemo z množenjem geometrijskih vrst s količnikom $k=\frac{1}{p}$, pri čemer so $p$ vsa različna praštevila, dobivamo na levi strani produkt, na desni pa vsoto

$$\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}.$$

La levi strani je t.i. Eulerjev produkt, produkt neskončno faktorjev, kjer so $p_i$ vsa zaporedna praštevila.Na desni strani pa dobimo  harmonično vrsto, ki je ravno Riemannova funkcija $\zeta(s)$ za $s=1$, torej

$$\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots$$

Torej

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\dots}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot\dots}$$

Oba izraza, vsota in produkt, seveda divergirata.

Po zgornjem zgledu lahko množimo še druge geometrijske vrste, ki imajo količnike $k=\frac{1}{p^n},$ pri čemer je $p$ praštevilo, in dobivamo vsote

$$S=\frac{1}{1-\frac{1}{p^n}}.$$

Pri tem je $n\in \mathbb{N}.$ Za $n=1$ imamo ravno zgornji primer. Za npr.$n=2$ pa imamo vrste

$$\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{10}}+\dots$$

$$\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3⁶}+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^{10}}+\dots$$

itd.

Produkt vseh takih vrst za $n=2$ nam analogno zgornjemu da

$$\prod_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{{p_i}^2}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}.$$

Na desni strani pa se tokrat pojavi Riemannova funkcija $\zeta(2)$

$$\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}.$$

Vrsta je konvergentna, seštel jo je L.Euler, ko je rešil slavni Baselski problem, njena vsota znaša

$$\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}​_=\frac{\pi^2}{6}.$$

Za nadaljne $n$ dobimo še druge Rimannnove funkcije $\zeta(n)$s splošnim predpisom

$$\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\dots=\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^n}}.$$

Vse tako dobljene vrste za $n\in \mathbb{N}$  konvergirajo, a “lepo” vsoto imajo samo tiste s sodim $n$.

Lotimo se sedaj dveh nalog, povezanih z Eulerjevim produktom.

Kolikšna je verjetnost, da pri nakljucnem izboru med naravnimi števili izberemo praštevilo?

Rešitev: Verjetnost, da je izbrano število deljivo z 2, je $\frac{1}{2}, $ da s 3, $\frac{1}{3},$ da je deljivo s $p$, torej $\frac{1}{p}.$ Označimo iskani dogodek z $A$, z $A_p$ pa dogodek, da je izbrano število deljivo s  $p$.  Nasprotni dogodek $\overline{A}_p$ je potem dogodek, da izbrano število ni deljivo s $p$, njegova verjetnost pa je

$$P(\overline{A}_p)=1-\frac{1}{p}.$$

Opazimo, da je dogodek $A$ sestavljen, natančneje neskončni produkt dogodkov

$A=\overline{A}_2\cap \overline{A}_3\cap \overline{A}_5\cap \dots \cap \overline{A}_p\cap\dots,$

ki so med seboj vsi neodvisni. Zato je verjetnost dogodka $A$ enaka

$$P(A)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{p})\dots=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}.$$

Dobili smo Eulerjev produkt, torej je

$$P(A)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{\zeta(1)}=\frac{1}{\infty}=0. $$

V imenovalcu se je pojavila harmonična vrsta, ki divergira, zato je iskana verjetnost $0.$

Med naravnimi števili dve naključno izberemo. Kolikšna je verjetnost, da sta tuji?

Rešitev:Naj bo $B$ dogodek, da sta izbrani števili tuji. Verjetnost, da je prvo število deljivo s praštevilom $p$, je $\frac{1}{p}$ in enako tudi vetjetnost, da je drugo. Verjetnost, da sta obe števili deljivi s $p,$ je torej (saj sta dogodka neodvisna) $\frac{1}{p^2},$ da nista deljivi s $p,$ pa $1-\frac{1}{p^2}.$ Števili sta tuji, če nista deljivi hkrati z nobenim od praštevil, zato imamo

$$P(B)=\prod_{p}{(1-\frac{1}{p^2})}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}=0,61. $$

Posplošitev naloge na več števil pa je prepuščena bralcu.

 

 

Pitagorov izrek – skeč

V. Petruna, feb. 2012

(skeč ob informativnem dnevu šole)

NAPOVEDOVALKA (recimo ji Anja, počasi in resno): Prekinjamo dnevnik z novico o izrednih dogodkih v Srednji šoli Črnomelj. Iz zanesljivih virov smo izvedeli, da je na danes zjutraj tej šoli izbruhnil strašen virus. Nobenega od četrtošolcev ni v šolo, situacija je dramatična, zato kličemo našo dopisnico Saro, da poroča s kraja dogodka. Sara, se slišimo?

SARA (dramatično): Dober dan, javljam se iz jedilnice Srednje šole Črnomelj, situacija tu je res izjemno težka. Dejansko nobenega od četrtošolcev danes ni v šoli. Šolske reševalne ekipe so v polni pripravljenosti, učiteljski zbor zaseda za tistimi vrati že dve debeli uri, iz zaupnih virov mi je uspelo zvedeti le, da ravnatelja složno predlagata za virus najstrožji vzgojni ukrep v zadnjih 60 letih obstoja šole. Z menoj je dr. Kristjan, vodja skupine matematikov centra za umetno inteligenco te šole, kjer so virus najprej opazili. Zastavila mu bom nekaj vprašanj. Dr. Kristjan, kako ste pravzaprav opazili virus?

DR.KRISTJAN: Hja, ko smo zjutraj prišli v službo, smo opazili, da je virus najhuje napadel in grdo zdelal Pitagorov izrek. Poglejte, kaj je naredil z njim. (Pokaže trikotnike na računalniški animaciji).

SARA(zgroženo): To je pa res resno. V spominu imam čisto drugačen Pitagorov izrek. Preverjam pri naključnih opazovalcih.

SARA:(izbere naključnega osmošolca v bližini) Iz katere šole prihajaš?

OSMOŠOLEC: Iz Podzemlja.

SARA: Kako se glasi Pitagorov izrek pri vas?

OSMOŠOLEC: (pove)

SARA: Kaj meniš o našem Pitagorovem izreku?

OSMOŠOLEC(pove)

SARA:Kvadrati seveda, ne pa ti trikotniki.

SARA(DR.KRISTJANU): Dr. Kristjan, kaj počne vaša ekipa v tem trenutku?

DR.KRISTJAN: Hja, trenutno proučujemo virus in skušamo spraviti situacijo pod kontrolo. (premakne miško, da se pokažejo petkotniki)

(klikni za špričetek animacije)

SARA:(zavpije) Mutiral je, mutiral je!!

DR. KRISTJAN: (razburjeno):Hja, res kaže, da je mutiral!

SARA: Toliko, spoštovani gledalci, direktno s kraja dogodkov. Sreča v nesreči je, da skupina naših najboljših matematikov intenzivno išče rešitev. Takoj, ko se bo zgodilo kaj novega, vam bomo o tem izčrpno poročali. Anja?

DR.KRISTJAN: (spet premakne miško, da se pokažejo trikotniki)

NAPOVEDOVALKA: Hvala, Sara. (nadaljuje s poročili).

Čez 5 minut.

NAPOVEDOVALKA: Ponovno vključujemo poročanje o izrednih dogodkih v Srednji šoli Črnomelj, kaže, da je tam prišlo do sprememb. Od tam se nam javlja naša dopisnica Sara. Sara, se slišimo?

SARA : Lepo pozdrav še enkrat gledalcem vašega dnevnika. Kaže, da se je zapletena situacija na tej šoli le pričela nekoliko razpletati. Kljub temu, da je situacija še težka, ni več brezizhodna. Z menoj je vodja skupine matematikov centra za umetno inteligenco na tej šoli, Dr.Kristjan. Dr. Kristjan, kaj se je pravzaprav zgodilo?

DR.KRISTJAN: Hja, kaže, da je virus prizadel Pitagorov izrek manj, kot se je na začetku zdelo. Nekateri člani strokovnega tima celo preverjajo domnevo, da Pitagorov izrek tudi v taki obliki še vedno velja.

SARA(razburjeno) Kaj?? Pitagorov izrek z enakostraničnimi trikotniki velja? Saj to ne more biti res!

DR.KRISTJAN: Hja, preveriti moramo najbolj neverjetne trditve. Se opravičujem, dosti dela nas še čaka. (Med tem zapiše izraze za enakost ploščin trikotnikov, jih okrajša in se zamisli.)

SARA: Toliko, spoštovani gledalci, direktno s kraja dogodkov. Sreča v nesreči je, da skupina naših najboljših matematikov torej še vedno intenzivno išče rešitev. Takoj, ko se bo zgodilo kaj novega, vam bomo o tem izčrpno poročali.

Anja?

NAPOVEDOVALKA: Sara, ali je učiteljski zbor že sprejel kakšne sklepe?

SARA: Ne, Anja, po do sedaj dostopnih podatkih še vedno zasedajo.

NAPOVEDOVALKA: Sara, ali je že kaj znanega tudi o pogrešanih četrtošolcih?

SARA: Iz nepreverjenih virov smo izvedeli, da so danes vsi na informativnem dnevu v Ljubljani. Vsi se nameravajo vrniti v šolo prihodnji teden, nekateri že v ponedeljek.

Anja?

NAPOVEDOVALKA: Hvala, Sara. (nadaljuje s poročili).

Konec

Javascript in dinamična grafika

Kažem kroglico, ki se odbija od tal in sten.

 

 

Kažem kroglico, ki se odbija od tal in sten.

 

Kriptovalute

Znana limita in njena uporaba

V srednji šoli se četrtošolci srečajo z limito

$$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1.$$

Dokaz najdejo v svojem učbeniku. Med primeri uporabe te limite pa pogosto umanjkata naslednja:

plošćina kroga

Imejmo krog s središčem $T$ in polmerom $r$, po Arhimedovo mu včrtajmo n-kotnik. Le-ta je iz $n$ skladnih enakokokrakih trikotnikov , njegova ploščina torej znaša

$$S_n=nr^2\sin{\frac{\pi}{n}}\cos{\frac{\pi}{n}}=\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}.$$

Če večamo n, gre ploščina n-kotnika proti ploščini kroga, zato je ploščina kroga S enaka

$$S=\lim_{n\to \infty}{S_n}=\frac{r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}}=  \frac{2\pi r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}}$$

Uvedimo $u=\frac{2\pi}{n}$ in opazimo, da ko gre $n\to \infty$, gre $u\to 0,$ pa lahko pišemo

$$S= \pi r^2\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=\pi r^2.$$

Dokazali smo torej obrazec za ploščino kroga.

Izračun Ludolfovega Števila

Uporabimo večkrat obrazec za sinus dvojnega kota, pa dobimo produkt n faktorjev

$$\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=$$

$$=2^2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{4}}\cos{\frac{x}{4}}=\dots$$

$$\dots=2^n\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}.$$

Delimo zgornjo enačbo z x, pa dobimo

$$\frac{\sin{x}}{x}=\frac{2^n}{x}\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}$$

ali

$$\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}$$

V prvem faktorju na desni prepoznamo nastavek znane limite in ko gre $n\to\infty ,$ gre ta faktor proti 1, dobimo pa produkt neskončnih cosinusov:

$$\frac{\sin{x}}{x}=\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2^3}}\dots$$

Na spletu najdemo,da je ta obrazec prvi našel slavni L.Euler.  A če vanj vstavimo $x=\frac{\pi}{2},$ dobimo

$$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$$

Ta izraz pa je objavil Francois Viète leta 1593, torej več kot stoletje prej. Gre tudi za prvi primer zapisa neskončnega produkta sploh.

 

Lagrangeova identiteta

Med nenavadno snovjo, ki smo jih pri matematiki spoznavali pri prof. Marijanu Skrbinšku v 2. letniku črnomaljske gimnazije leta 1968, je bila tudi Lagrangeova identiteta vektorjev. Takole se glasi

\[(\vec{a} \times \vec{b})\cdot (\vec{c} \times \vec{d})=(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c}).\]

Identiteto smo dokazali po srednješolsko tako, da smo vektorje zapisali v ortonormirani bazi. Dosti pisanja, a tudi dobrodošla vaja. Leva stran je enaka

$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot(\vec{c}\times \vec{d})=((a_1,a_2,a_3)\times (b_1,b_2,b_3))\cdot ((c_1,c_2,c_3)\times (d_1,d_2,d_3))=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot(c_2d_3-c_3d_2,c_3d_1-c_1d_3,c_1d_2-c_2d_1)= $ $=a_2b_3c_2d_3-a_2b_3c_3d_2-a_3b_2c_2d_3+a_3b_2c_3d_2+$ $+a_3b_1c_3d_1-a_3b_1c_1d_3-a_1b_3c_3d_1+a_1b_2c_1d_2+$ $+a_1b_2c_2d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_1c_1d_2+a_2b_1c_2d_1.$

Desna pa

$(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c})=$ $=(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)-(a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3)(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)=a_1b_1c_1d_1+a_1b_2c_1d_2+a_1b_3c_1d_3+a_2b_1c_2d_1+a_2b_2c_2d_2+a_2b_3c_2d_3+a_3b_1c_3d_1+a_3b_2c_3d_2+a_3b_3c_3d_3-a_1b_1c_1d_1-a_1b_2c_2d_1-a_1b_3c_3d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_2c_2d_2-a_2b_3c_3d_2-a_3b_1c_1d_3-a_3b_2c_2d_3-a_3b_3c_3d_3.$

Primerjajmo obe strani, pa res ugotovimo enakost.

O nekem neskončnem iracionalnem izrazu

kvadratni koreni

Zanimamo se za neskončne izraze oblike

$$x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(1)$$

pri čemer je $a>0.$

Vrednost takega izraza določimo tako, da najprej opazimo identičen izraz pod korenom, torej

$$x=\sqrt{a+x},$$

rešimo ustrezno kvadratno enačbo

$$x^2-x-a=0$$

in dobimo (zanima nas samo pozitivna rešitev)

$$x=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\quad\quad\quad(2)$$

Torej, če je $a=1$, dobimo zlato število

$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi,$$

če je $a=2,$ pa

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{1+8}}{2}=2.$$

Vprašajmo se, za katera števila $a$ je vrednost izraza $x$ naravno število.

V (2) opazimo, da mora biti izraz pod korenom lihi kvadrat, torej kvadrat lihega števila. Torej

$$1+4a=m^2,$$

od koder dobimo $$a=\frac{(m+1)(m-1)}{4}.\quad\quad\quad (3)$$

Upoštevajmo še, da je $m=2n-1,$ vstavimo v (3), pa dobimo

$$a=n(n+1).$$

Vrednost izraza (1) je torej naravno število, če je $a$ produkt zaporednih naravnih števil.

Andrej Jakobčič je predlagal še hitrejši dokaz:

Enaćbo $$x^2-x-a=0$$

je predelal takole

$$x(x-1)=a,$$

pa se zahteva za $a$ takoj vidi.

Število $a$ mora torej biti dvakratnik trikotniškega ali podolžno število.

tretji koreni

Ponovimo zgodbo s tretjimi koreni. Zanima nas torej, ali je kdaj izraz oblike

$$x=\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(4)$$

pri čemer je $a$ poljubno celo število, tudi celo število.

Izraz kubiramo, pa dobimo enačbo

$$x^3-x-a=0.\quad\quad\quad 5$$

Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj eno realno ničlo, recimo ji $b$. Delimo  $(5)$ z $x-b$, pa dobimo

$$x^3-x-a=(x-b)(x^2+bx+b^2-1)+b(b^2-1)-a.$$

Če naj bo $b$ ničla, mora biti ostanek $b(b^2-1)-a=0$, od koder sledi

$$a=(b-1)b(b+1).$$

Če torej hočemo, da bo rezultat celo število $b$, mora biti $a=(b-1)b(b+1).$

Pridelamo lahko torej poljubno naravno število $b>1$, če za a izberemo $a=6,24,60, 96,…$

Veljajo torej naslenje neenakosti:

$$\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots}}}}=2,$$

$$\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots}}}}=3,$$

$$\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\dots}}}}=4,$$

itd..

Mimogrede

$$\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots}}}}=P,$$ je plastična konstanta…

Posplošitev

Oglejmo si torej vgnezden radikal

$$x=\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\dots}}}}.\quad\quad\quad (6)$$

Po potenciranju dobimo polinom

$$x^n-x-a=0,$$

ok koder dobimo

$$a=x^n-x.\quad\quad\quad (7)$$

Obrnimo nalogo, pa vidimo: Če izberemo $a$ tako, da bo veljalo (7) za poljuben $x \in \cal{N},$ bo imel izraz (6) vrednost $x.$

Primeri:

Ugotovi vrednost naslednjih vgnezdenih radikalov:

$$x=\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\dots}}}},$$

$$x=\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\dots}}}},$$

$$x=\sqrt[5]{30+\sqrt[6]{30+\sqrt[5]{30+\sqrt[5]{30+\dots}}}},$$

$$x=\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\dots}}}}.$$

Medeni kviz

Copy this code into the HEAD of your HTML document –>

V.Petruna

 

MEDENI KVIZ

Test za uporabnike medu in čebeljih pridelkov-osnovni
nivo

 

V vaąem brskalniku naj bo Javascript omogočen!

Po najboljąih močeh poskusite odgovoriti na naslednjih 23 vpraąanj:

 


 

1. Kristalizacija medu je:znamenje,
da je med ponarejen,znak, da
je med slabąe kvalitete,

naravni
proces pravega pristnega medu,

znak, da
je medu primeąan beli sladkor.

   2. Strjeni med spet utekočinimo tako, da postavimo kozarec
z medom v vodo, segreto do

30C

40C

50C

60C

3. Vsak med vsebuje vsaj naslednje sladkorje:

saharozo

glukozo
in fruktozo

glukozo,
fruktozo in saharozo,

fruktozo
in saharozo

4. Kozarca z medom ne puąčamo odprtega zato, ker

se med
navzame tujega vonja

veľe vlago
iz zraka

se navzame
tujega vonja in veľe vlago iz zraka,

ga lahko
napadejo mravljinci.

5. ©tevilo aromatičnih snovi v medu je

okrog 20,

okrog 30,

okrog 40,

okrog 50.

6. V medu so tudi

kisline,

aminokisline,

kisline
in aminokisline,

kisline,
amino kisline in vitamini.

7. V medu so tudi

minerali,

minerali
in vitamini,

minerali,
vitamini in rastni hormoni,

vitamin
A.

8. Po 10. členu Pravilnika o medu in v skladu s standardom FAO je
za vse vrste medu, razen za resinega in medu iz detelj, dovoljena vsebnost
vode do

17%

19%

21%

23%.

9. Med delajo čebele iz

nektarja,

mane,

nektarja
in mane,

drevesne
smole.

10. Če izrazimo energijsko vrednost medu v kilokalorijah, (1kcal=4200J),
100 g medu da

120kkalorij

220kkalorij

320kkalorij

420kkalorij

11. Priporočjiva doza medu na dan za odraslo osebo je

50g

100g

150g

200g

12. Priporočljiva doza medu za ąportnika na dan je

50g

100g

150g

200g

13. Svetli med blagega okusa in arome, ki je idealen namaz na
kruhu in odlično sladilo, je

akacijev
med,

lipov
med,

cvetlični
med,

kostanjev
med

14. Osebam z nizkim tlakom in pri premagovanju prehlada najbolj pomaga

akacijev
med,

lipov
med,

cvetlični
med,

kostanjev
med

15. Med, ki ga čebele nabirajo na travniąkih rastlinah in je vsestransko
uporaben v kuhinji ter krepi ľile in srce, je

akacijev
med,

lipov
med,

cvetlični
med

kostanjev
med

16. Da čebele naberejo 1kg cvetličnega medu, morajo obiskati

20 tisoč
cvetov

200
tisoč cvetov

2 milijona
cvetov

20 milijonov
cvetov

17. Najbogatejąi s cvetnim prahom je

akacijev
med,

lipov
med,

cvetlični
med,

kostanjev
med.

18. v 10g kostanjevega medu je lahko cvetnega prahu do

tisoč
delcev,

10 tisoč
delcev,

100 tisoč
delcev,

1 milijon
delcev.

19. Na prebavila, jetra in nespečnost ugodno deluje

akacijev
med,

lipov
med,

cvetlični
med,

kostanjev
med

20. Mano izločajo

listne
uąi na travniąkih rastlinah

drevesa,

listne
uąi na drevesih,

to je
meteoroloąki pojav

21. Med svetlo do temno rjave barve in močnega okusa, ki krepi odpornost
organizma in pomaga pri vnetju ľrela, je

akacijev
med,

lipov
med,

cvetlični
med,

gozdni
med.

22. Med vrhunske kakovosti  po 11.členu Pravilnika o medu ne
sme vsebovati vode več kot

15%,

18,6%,

21%,

23%.

23. Pekovski ali industrijski med po  12.členu Pravilnika o
medu ne sme vsebovati vode več kot

15%,

18,6%,

21%,

23%.

 

 

 

Free JavaScripts provided

by The
JavaScript Source

 

Posplošitev neke naloge

V Quori je bila objavljena naslednja naloga:

Poišči vse take peterke naravnih števil $(a,b,c,d,e)$, ki zadoščajo enačbi $$abcde=a+b+c+d+e.$$

Tam najdete tudi njeno rešitev.

Andrej pa je to nalogo posplošil takole:

Pokaži, da ima za vsak n enačba $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ (do permutacij natanlčno) vsaj eno rešitev $(x_1,x_2,\dots x_n)$, pri tem pa so vsi $x_i$ naravna števila.

Odgovor na njegovo vprašanje sem preformuliral  takole:

Izrek: Za poljubno naravno število $n>1$ ima enačba $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ vsaj $n(n-1)$ rešitev takih, da so komponente naravna števila. Dobimo jih, če permutiramo komponente n-terice  $(1,1,\dots 1,2,n)$.

Dokaz:  Če je $n=2,$ zapišemo enačbo kot

$$x_1x_2-x_1-x_2=0.$$

Prištejemo na obeh straneh enačbe $1$ in nato razcepimo levo stran. Dobimo

$$(x_1-1)(x_2-1)=1.$$

Od tod dobimo rešitev $x_1=x_2=2$.

Za splošen n pa ravnamo takole: Ker je enačba  $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ homogena, brez škode za splošnost vzamemo $x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n.$ Najprej obdelamo možnost, da so vsi $x_i$ enaki. Dobimo enačbo

$$x_n^n=nx_n$$

in iz nje $$x_n^{n-1}-n=0,$$

ki nima naravnih rešitev. Torej možnost enakih $x_i$-jev odpade. Preostane torej

$$x_1x_2\dots x_n< nx_n$$

in po deljenju z $x_n$

$$2\leq x_1x_2\dots x_{n-1}\leq n-1.$$

Produkt $ x_1x_2\dots x_{n-1}$ je torej enak nekemu naravnemu številu $a$ med vključno $2$ in $n-1$.

Za $a=2$ dobimo

$ x_1x_2\dots x_{n-1}=2.$

Vzemimo npr. $x_{n-1}=2.$ Potem morajo biti $x_1=x_2=\dots=x_{n-2}=1,$ od koder dobimo $x_n=n.$

Rešitve enačbe v množici naravnih števil so torej vse permutacije komponent n-terice $$(1,1,\dots 1,2,n),$$ teh pa je $n(n-1).$

 

 

TikZ in preseki krivulj

LaTeXov risarski dodatek TikZ zna preko svoje knjižnice intersections presečišča krivulj tudi izračunati. Tako na primer koda

\usetikzlibrary{intersections}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={opacity=1, black, above left}]
\draw [name path=ellipse1] (2,0.5) ellipse (5cm and 1cm);
\draw [name path=ellipse2, rotate=40] (2,0.5) ellipse (5 and 1);
\fill [red, opacity=0.9, name intersections={of=ellipse1 and ellipse2}]
%(intersection-1) circle (2pt) node {1}
(intersection-2) circle (2pt) node {2}
%(intersection-3) circle (2pt) n
ode {3}
(intersection-4) circle (2pt) node [below]{4};
\draw [blue](intersection-2)--(intersection-4);
\end{tikzpicture}

ustvari naslednjo risbico Screen Shot 08-27-15 at 08.29 AM   Preostali presečišči zagledaš, če odkomentiraš vrstici v kodi.

LaTeX in kemija – pisanje strukturnih formul

Pred časom sem naletel na  knjižnico S. Fujite XyMTeX, s pomočjo lkatere se dajo pisati or. risati prelepe strukturne formule. Primer kode:

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{xymtex}% to use for large capacity of computer
\usepackage{carom}
\usepackage{hetaromh}
\usepackage{aliphat,hcycle}
\usepackage{fusering}
\usepackage{locant}
\usepackage{epic}
\usepackage{sizeredc}
%\usepackage{xymman}
\changeunitlength{0.07pt}
\begin{document}
V. Petruna\hfill\today\\
\\
\Large
\centerline{Strukturne formule in \LaTeX\ z \XyMTeX om}
\\
\normalsize

Pa narišimo strukturno formulo enega benzenovega derivata
\vskip-3mm
\begin{figure}[h]
\centerline{\bzdrv{1==OH;3==OH}}
\end{figure}
pa še tri formule bromovo klorovega benzena - r,l,c
\vskip-3mm

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\bzdrv[r]{1==Br;4==Cl}
\bzdrv[l]{1==Br;4==Cl}
\bzdrv[c]{1==Br;4==Cl}
\end{center}
\end{figure}

pa še malo benzenokinonov - p in o. Poglej, kako se napiše dvojna vez:
\begin{center}
\bzdrv[p]{1D==O;4D==O;2==Me}
\bzdrv[o]{1D==O;2D==O;4==Me}
\end{center}
Naftaleni in naftokinoni se pišejo takole - oglišča imajo oznake od 1 do 8
\begin{center}
\naphdrv{1==OH;5==NH$_2$}
\naphdrv[p]{1D==O;4D==O;8==OH}
\end{center}
pa cikloheksani
\begin{center}
\cyclohexanev{1D==O;2Sa==Cl;2Sb==Cl}
\cyclohexaneh{1D==O;4Sa==Cl;4Sb==Cl}
\end{center}
različice dimetilcikloheksanov
\begin{center}
\cyclohexanev{2A==CH$_3$;3B==CH$_3$}
\cyclohexanev{2SA==CH$_3$;2SB==H;%
3SB==CH$_3$;3SA==H}
\end{center}
\end{document}

ustvari naslednji dokument kemijas

Hadamardove matrike in kode

Pred dobrimi dvajsetimi leti sem na nekem seminarju na ljubljanski  FMF dobil pri prof. S. Klavžarju seminarsko nalogo, v kateri naj bi spoznal in opisal kode, ki prepoznavajo in popravljajo napake pri prenosu informacij. Matematično je bila naloga prav zahtevna, a vredna truda, saj je odprla povsem nova obzorja.Ker je izmenjave  informacij čedalje več in v njem sodeluje vse več medijev, naloga sploh ni izgubila na aktualnosti, prej nasprotno. Zato jo objavljam.

Hadamardove matrike in kode

Simulacija radioaktivnega razpada v preglednici

O radioaktivnem razpadu jeder

Atomska jedra v splošnem niso stabilna. Vsa z vrstnim številom $Z>92,$ številna pa že prej, razpadejo na drugo jedro tako, da oddajo delce $\alpha$, $\beta $ ali sevanje $\gamma .$  Razpad posameznega jedra je čisto  slučajen – kvantni proces in nikakor ne moremo napovedati za jedro vnaprej, kdaj bo razpadlo. Pač pa velja za veliko množico jeder (npr. reda velikosti Avogadrovega števila $N_A=6,0\cdot 10^{26}/kmol $) statistična zakonitost, da je  število razpadov v časovni enoti premo sorazmerno številu nerazpadlih  jeder. Če torej označimo z  $ \frac{dN}{dt} $ število v časovni enoti razpadlih jeder, z $N $ pa število nerazpadlih jeder, velja zveza

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N.$

Pri tem je premo  sorazmernostni faktor $\lambda$ razpadna konstanta, ki določa hitrost razpada, predznak pa je negativen zato, ker se število nerazpadlih jeder v odvisnosti od časa manjša. Če označimo število jeder na začetku $(t=0)$ z $N_o$, lahko izpeljemo zvezo

$N(t)=N_oe^{-\lambda t}=N_oe^{-\frac{t}{\tau}}.$.

  V zadnjem zapisu smo uvedli razpadni čas $\tau$ kot čas, v katerem se število nerazpadlih jeder $e$-krat, to je približno 2,7 -krat, zmanjša. Vidimo torej, da razpad velikega števila jeder v odvisnosti od časa opisuje padajoča  eksponentna funkcija. Včasih zapišemo zgornjo zvezo tudi kot eksponentno funkcijo z osnovo 2, torej kot

\[N(t)=N_o\cdot 2^{-\frac{t}{t_\frac{1}{2}}}\]

Pri tem je je  $t_\frac{1}{2}$ razpolovni čas, torej čas, v katerem se število nerazpadlih jeder dvakrat zmanjša.  Pokažemo lahko, da med obema značilnima časoma obstaja zveza

\[t_{\frac{1}{2}}=\tau \ln{2}.\]

Razpadni časi so za posamezne zotopa  značilni in  silno različni – od let (skoraj stabilni izotopi, npr. $^{238}U$), do  delčkov sekunde za najbolj nestabilne.

Simulacija radioaktivnega razpada s kovanci

V šoli lahko radioaktivni razpad jeder simuliramo z metanjem kovancev – naj npr. kovanec, ki pade z grbom navzor, predstavlja jedro, ki je razpadlo. Npr. 100 kovancev damo v zaprto škatlo, škatlo dobro potresemo, nato jo izpraznimo na mizo, odstranimo grbe, ostale kovance pa preštejemo in damo ponovno v škatlo. Postopek ponavljamo, dokler je v škatli kaj kovancev. Pri metanju posameznega kovanca je padec grba slučajen dogodek, ki ne moremo vnaprej napovedati. A pri metanju dovolj velike množice kovancev upravičeno pričakujemo, da bo padla približno polovica grbov. Zato pri taki simulaciji pričakujemo razpolovni čas  $t_\frac{1}{2}=1$ korak, torej razpadni  čas $\tau$  približno  1,44 koraka in razpadno konstanto $\lambda=0,693/korak$. Poglejmo, kako se bo izid poskusa ujemal z napovedjo. Zapisujemo, koliko “jeder” ostane nerazpadlih po vsakem koraku. Eden od možnih izidov je naslednji:

korak 0 1 2 3 4 5 6 7
N 100 48 22 13 6 3 2 1

Tabela1:  Število kovancev v škatli pred  tresenjem v odvisnosti od korakov. Izida z N=0 ne upoštevamo več. Vnesemo točke v program za delo s preglednicami (Excel, Calc)  ali kar v programGeogebra, da dobimo graf. Screen Shot 08-24-15 at 08.02 PM   Ker se nam zdi odvisnost eksponentna, poskusimo modelirati z eksponetno trendno črto1 (v Geogebri izberemo ukaz  EksponetnaTrendnaČrta[(x1,y1),(x2,y2),…..(xn,yn)]) . V algebrskem oknu Geogebre ali v preglednici preberemo funkcijski predpis prilagoditvene funkcije, ki modelira razpad. Dobimo npr.

$N(t)=90,109\cdot e^{-0,65 t}=90,901e^{-\frac{t}{1,44}}.$

Začetno število jeder se po modelu razlikuje za skoraj 10%, razpadna konstanta l pa za skoraj 6%. Opazimo, da se rezultat v modelu le približno ujema z napovedjo. Prva izboljašava, ki nam pride na misel, je, da vzamemo več kovancev, druga pa, da poskus večkat ponovimo in tabeliramo povprečja pri posameznem koraku. Obe izboljšavi prineseta izide, ki se dosti bolj ujemajo z napovedjo, vendar sta obe časovno potratni.  Ena od možnih rešitev zadnjega problema je, da uporabimo še več tehnologije. Zato si torej  oglejmo, kako lahko simuliramo  razpad jeder v preglednici

Simulacija radioaktivnega razpada v preglednici

Razpad posameznega jedra prav lahko simuliramo tudi v programu za delo s preglednicami. Naj npr. celica s vsebino 0 predstavlja razpadlo, celica z vsebino 1 pa nerazpadlo jedro. O tem, ali bo posamezno jedro razpadlo ali ne, naj odloča funkcija RAND(), ki vrne naključno realno število iz intervala [0,1). Pogoj za razpad jedra bomo v preglednici torej oblikovali takole  

=IF(RAND()>0,5;vsebina_prejšnje_celice;0)

To pomeni: če je naključna vrednost večja od 0,5, se v to celico vpiše vsebina prejšnje celice, ki je lahko 1 ali 0, odvisno od tega, ali je jedro razpadlo že prej ali ne. Sicer pa jedro razpade in v celico, v kateri je ta formula, se vpiše 0. Začnemo s stolpcem s 100 celicami, katerih vsebina je 1. To pomeni, da imamo na začetku 100 nerazpadlih jeder. ( Število lahko povečamo do več tisoč.) V preglednico torej zapišemo (izraz  pred dvopičjem je naslov celice v preglednici, izraz med dvopičjem in vejico vsebina celice, izraz med vejicama pa dodatno navodilo):

B6:1  , kopiraj vsebino B6 od B7do vključno  B105, 

C6: =IF(RAND()<0,5;0;B6) ,kopiraj formulo od C7do vključno  C105, 

,Kopiraj formule v stolpcu C6:C105 vsaj  6 stolpcev desno,

A4:korak

B4:0

C4:=B4+1, kopiramo formulo do I4,

A5:N B5: =SUM(B6:B105), kopiramo formulo do vključno I5.

Ko vse vnesemo, je vsebina zgornjih dveh vrstic  102 vrstične tabele v preglednici (približno) taka:

Korak 0 1 2 3 4 5 6 7
N 100 48 30 14 6 3 2 1

Te podatke narišemo in aproksimiramo z eksponentno trendno črto. Dobimo naslednji graf, ki prikazuje  število nerazpadlih jeder od korakov: Screen Shot 08-24-15 at 08.26 PMTrendna črta pa ima tokrat enačbo

$N(t)=98,58\cdot e^{0,67t}.$

No   se tokrat razlikuje od 100 samo za 1,5%, razpadna konstanta pa za 3%. Ta model razpada je torej precej boljši kot prej.

 Opombe in namigi za izboljšave modela

Nekateri programi za de spreglednicami (tudi Excel)  imajo nastavljeno avtomatsko izračunavanje tabele po vsakem vnosu. To pomeni, da se  tabela po vsakem vnosu ponovno preračuna in kadar so v njenih celicah naključne vrednosti, seveda spremeni. Če nas to moti, lahko v nastavitvah izključimo avtomatsko preračunavanje, lahko pa ga izkoristimo za izbiro tistega modela razpada, ki se bolj ujema z napovedjo. Zavedati se moramo, da je 100 jeder na začetku zelo malo v primerjavi z realističnem vzorcem izotopa, v katerem je število jeder  primerljivo z Avogadrovim številom .  Zato so odstopanja od eksponentnega upadanja lahko opazna. Odstopanja modela lahko še zmanjšamo, če:

  • povečamo število jeder v naši preglednici,
  • povečamo število poskusov (npr. na 11.listu preglednice zberemo povprečja nerazpadlih jeder po istem koraku na listih 1-10. )

Do boljšega ujemanja pride tudi, če je razpadna konstanta  $\lambda$ manjša.   Če npr. želimo, da v posameznem koraku razpade samo 10% jeder,  kopiramo v celice formulo

=IF(RAND()>0,9;0;vsebina_prejšnje_celice)

Račun pokaže, da je v tem primeru

 $N(t)=N_o\cdot 0,9^t.$

 Torej je  razpadna konstanta  tokrat $\lambda=0,1.$ Ob  upoštevanju teh namigov relativna odstopanja modela zlahka zmanjšamo pod 1 odstotek. Primer: Če delamo v preglednici z  10000 jedri,  dobimo npr. naslednjo tabelo:

korak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N 10000 8969 8048 7236 6496 5838 5290 4745 4271 3823 3460 3096 2779

Podatki dajo naslednji graf Screen Shot 08-26-15 at 07.37 AM   Relativna napaka napovedi števila  jeder na začetku je pri tem modelu$\frac{\Delta N_o}{N_o}=0,31\%,$   za razpadno konstanto pa $\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=0,6\%. $

 

Moji profesorji

Učitelji so imeli name med izobraževanjem velik vpliv. Večina je svoje delo opravljala brezhibno, za nekatere pa se je poznalo, da jim je poučevanje več kot posel in srečo sem imel, da je bilo takih kar precej. Zaenkrat opisujem tri, ki so name pustili izreden vtis, skoraj gotovo pa bom še katerega dodal.

Marijan Skrbinšek

Bil je moj srednješolski profesor matematike. Poučeval je po novih novcatih učbenikih F. Križaniča Aritmetika, algebra in analiza (slavni AAA) in po za te učbenike prirejenih vajah Ivana Štalca, geometrijo pa po Pucljevih učbenikih.

Tako smo spoznali snov, ki se ni predavala v srednji šoli ne prej ne kasneje: linearno programiranje v prvem letniku, Boolovo algebro od drugega do četrtega letnika, vrteže stožnic, matrike in markovske verige v tretjem (iz tega poglavja je morda najlepša naloga v Križaničevi knjigi, ki se začne takole : »V gradu straši, a ne vsako noč…«), algebrske strukture, specialno teorijo relativnosti, uporabo integrala v fiziki za računanje težišč in vztrajnostnih momentov teles in celo diferenčne enačbe. Poleg tega je imel še svoje dodatke. Odvod z ekstremi smo jemali že v 2. letniku, sam pa je dodal še Lagrangeovo identiteto pri vektorjih, funkcije dveh spremenljivk, parcialne odvode in računanje ekstremov raznih ploskev. Spomnim se, kako je razlagal računanje teh ekstremov :«Ploskev nasekljamo pravokotno kot čebulo……«. Pokazal nam je tudi razvoj v Taylorjevo vrsto ter vrste za $e^x$, $\sin{x}$ in $\cos{x}$. Ne bom dal roke v ogenj, a mislim, da smo zapisali celo Eulerjevo zvezo med njimi.

Pri urah matematike sem pisal skoraj vsako profesorjevo besedo tako, da sem na levi strani imel tabelsko sliko, da desni pa tekst. Matematiko sem delal tudi doma, še več pa sem učil sošolce.

Na konferenco smo imeli dve preverjanji: eno ustno pred tablo in šolsko nalogo.

Ustno preverjanje je bilo nenapovedano, a predvidljivo, saj je bilo samo nekaj ur pred konferenco. Domačih nalog profesor ni gledal, pri ustnem spraševanju a mu je moral vprašani prinesti pokazat zvezek z nalogami za vajo. Če je bilo v njem precej rešenih nalog, je vprašani ostal kljub neznanju nekaj časa pred tablo, sicer pa se je skoraj takoj usedel. Vprašanje je bilo običajno eno samo.

Šolsko nalogo so sestavljale tri naloge, od katerih sta bili dve lahki in samo ena nekoliko bolj zahtevna. Profesor jih je napisal na tablo, vsi smo pisali enake naloge. Točkovanja ni bilo, a če si rešil dve nalogi, je bila to 3, pri eni rešeni pogosto že 2.

Na žalost je polovica sošolcev bolj zaradi nerednega sprotnega dela kot zaradi obsega snovi zašla pri matematiki v hude težave in tisti, ki smo matematiko znali, smo imeli obilico dela, da smo jih spravili do pozitivnih ocen, čeprav zahteve za pozitivno oceno niso bile hude.

Prej nisem imel nobene primerjave, a v Ljubljani sem na študiju matematike ugotovil, kako dobro podlago imam v primeri s kolegi iz ostalih šol. Profesor mi je dal čudovito popotnico, prepotrebno za uspešno nadaljevanje študija.

Fran Dominko

imageFran Dominko Velja za največjega slovenskega astronoma. Suhoparni podatki iz Wikipedije pravijo, da se je rodil v istrskem mestecu Vodnjan pri Pulju, študiral fiziko v Bologni, deloval kot asistent na tamkajšnjem astronomskem inštitutu. Od tam leta 1932 pred fašizmom zbeži v Beograd, postane profesor matematike in urednik časopisa Saturn. 2.svetovno vojno preživi v partizanih v Istri in Primorju, po vojni pa pomaga obnoviti beograjsko zvezdarno. 1948 prevzame katero za astronomijo v Ljubljani. Predava po vsej Jugoslaviji, izdaja efemeride, vodi izgradnjo astronomske opazovalnice na Golovcu, je pobudnik češko-jugoslovanskega projekta gradnje zvezdarne na Hvaru.
V letih 1973 in 1974. je pedagoškim matematikom predaval predmeta Obča in Sferna astronomija. Nanj me vežejo neverjetno lepi spomini. Posebnost njegovih predavanj je bila, da je skoraj vsako uro pričel s komentarji novic iz Primoskega vestnika. Nas študente je osveščal o krivicah, ki jih trpi slovenska manjšina v Italiji. (35 let kasneje sem prebral, da so pred sprejetjem zaščitnega zakona za Slovence v Italiji Rezijani protestirali s harmoniko in petjem (slovenskih!) pesmi, češ da oni niso Slovenci, temveč Rezijani, in to tudi dosegli). Tudi med pavzami se je z nami družil, takoj je našel stik z nami in se pogovarjal.

Njegovo zavzemanje za manjšino pa sem v resnici razumel še mnogo kasneje, ko sem se bolj poglobil v trpljenje Primorcev in Istranov pod fašizmom.

Odločil sem se, da bom pri njem delal oba izpita naenkrat. Pričela sva z Občo astronomijo. Nekoliko napihnjeno sem mu povedal, da astronomskih konstant ne znam, ker je to itak samo piflarija, da jih lahko kadarkoli pogledam v priročnik in da bi jih sicer takoj po izpitu pozabil. Z današnjega stališča presenetljivo je prenesel to moje utemeljevanje, pričela sva, vse konstante, ki sem jih potreboval, je povedal on in po kaki uri sva tudi končala s tem delom z mojo oceno dobro. Od vsebine se spomnim samo izpeljave enačbe o gibanju raket in zakaj mora le-ta imeti več stopenj, da pride v Zemljino orbito. Ne spomnim se, ali smo omenili, da je ta teorija delo našega rojaka Hermana Potočnika-Noordunga.

Prešla sva na Sferno astronomijo. Gre za matematično disciplino, pri kateri z trigonometričnimi obrazci, ki veljajo na sferi, astronomi računajo in napovedujejo razne pojave. Precej temeljito sem jo naštudiral, saj se mi je priljubila – večina nalog se prevede na iskanje pravokotnih sfernih trikotnikov in uporabo trigonometričnih zvez za ta trikotnik. Tudi profesorju je bilo moje zanje všeč, dobil sem prav dobro in tako malo popravil prejšnji vtis.

Samo 5 let kasneje sem v gimnazijskih programih astronomijo z velikim užitkom poučeval tudi sam po knjigi Marijana Prosena Astronomija, ki je najbrž še vedno najboljši učbenik iz splošne astronomije pri nas. In prav ta avtor je ravno v teh dneh (oktober 2007) izdal knjigo o našem velikem astronomu. Naslov knjige je Fran Dominko v slovenski astronomiji.

Ivan Kuščer

imageProfesorja Kuščerja sem spoznal na tretji stopnji, v 1. letniku pedagoške fizike. Predaval je predmet Osnove klasične fizike. Teorijsko fiziko sem sicer poznal poznal že prej, a ta predavanja so bila nekaj posebnega. Bilo me je strah, saj sem se kot edini matematik znašel med fiziki in nisem vedel, ali znam dovolj fizike. A pri tem predmetu se je to izkazalo za prednost. Spomnim se začetka – okrog dveh nekoliko razmaknjenih obročev napnemo milnično opno, da dobimo v sredini stisnjeno cev iz milnice. Kakšno krivuljo zavzame milnica? Gre za nalogo iz variacijskega računa, ko je treba upoštevati, da se opna postavi tako, da je površinska energija najmanjša. S pomočjo literature sem nalogo pravilno rešil in jo imel priliko predstaviti kolegom. Profesor pa je moje izvajanje pospremil z besedami: »Matematik je fiziku nujno potreben, da tisto, kar fizik opazi, smiselno zapiše.« V resnici pa sem se predmetu osupel spoznal, da je večina matematike, ki sem jo študiral, tudi dejansko uporabna v fiziki ter da mi na marsikaterem področju znanja celo manjka. Včasih je bilo tako hudo, da se je zdelo, da so matematiko za opis narave iznašli fiziki. Nenavadno in čudovito je, da je za to primerna ravno matematika.
Profesor Kuščer nam je redno dajal domače naloge. Meni (pa tudi ostalim) so bile tako težke, da se mi sprva niti sanjalo ni, kako bi nalogo naredil. Hiteč domov na vlak sem v soboto v knjigarni kupil kako knjigo s tem v zvezi in v nedeljo se mi je posvetilo, kako bi morala naloga izgledati, do četrtka pa sem jo tudi zares naredil. Tako je šlo teden za tednom, ogromno sem se naučil. Mehanika tekočin, Navier-Stokesova enačba (njenih rešitev še danes ne poznajo), elektrika, magnetizem, Maxwellove enačbe, specialna teorija relativnosti, statistična fizika. Ob njegovi razlagi specialne teorije relativnosti sem navdušeno vzkliknil:«Kako lepa teorija!«, profesor Kuščer pa mi je odvrnil: »Da, tudi sam se znova zaljubim vanjo, ko jo spet razlagam.«

Nekoč smo imeli piknik kar v ropotarnici fakultete. Nekdo je pekel hrenovke, žulili smo pivo in se pogovarjali. Povprašal sem profesorja o njegovih učiteljih in na dolgo in široko je pričel praviti o najbolj znanem slovenskem matematiku Josipu Plemlju, ki se je leta 1918 ob ustanovitvi Univerze vrnil v Ljubljano in postavil na noge fakulteto za matematiko. A po njegovih besedah je v tedanji Ljubljani je manjkalo ustvarjalnega duha, zato je omenjeni matematik večino časa presedel kartajoč v kavarni Evropa, tako da je bilo njegovega sicer bleščečega znanstvenga dela konec.

Ravno na tem pikniku mi je povedal tudi svoj pogled na poučevanje. Pravi, da se dober učitelj rodi, da je sam že od mladega neprestano nekomu nekaj razlagal in da je prav možno, da je to nekaj v zvezi z erotiko. Bogve, kako bi razumeli to izjavo v današnjih časih!

Še vedno se spomnim izpita iz Osnov klasične fizike pri njem. Izpit je zgledal tako, da smo bili prisotni vsi slušatelji. Izpit smo delali samo trije, sam sem bil drugi na vrsti, moj prvi kolega je bil odličen in dobil oceno 9. Najprej sem bil vprašan teorijo gibanja tekočin. Ven me je vlekla matematika, premetaval sem tenzorje, ki sem se jih sicer naučil pri fiziki, opravil razcep na enega brezslednega in enega identičnega in to je bilo dovolj. Drugo vprašanje je bilo iz statistične fizike, katero dodiplomski fiziki sicer imajo, sam pa zanjo nisem slišal kaj več kot pri tem predmetu. A na srečo sem moral sešteti enegijska stanja in ven je prišla znana matematična vrsta in vse sem sorazmerno lepo izpeljal, tako da sem izpit končal z oceno 10 – edino desetko v vsej moji študijski karieri.

Ponovno sva se srečala leta 1984 na zboru društva matematikov, fizikov in astronomov na Črnem Vrhu, kjer sem v dvorani pred množico predstavil svoje pravkar razvito učilo za računalniško merjenje trkov na zračni drči. Po predavanju je prišel k meni, si še enkrat podrobno ogledal vse poskuse in nama z izdelovalcem drče čestital za dosežek.

Zadnjič sva se videla leto kasneje tudi na zboru društva leta 1986 v Gozd Martuljku, kjer je imel predavanje o difuziji svetlobe v megli im merjenju s fotografskim svetlomerom. Z ženo sva sedela v restavraciji, ko je prisedel k nama in me pričel prepričevati, naj vendar končam študij. Odvrnil sem mu, da nimam motivacije, saj sem znanje pobral, naziv pa mi v šolstvu prav nič ne koristi. A preroško mi je odvrnil: “Boste videli, časi se bodo prav kmalu spremenili!” In so se res.

Ivan Kuščer je tudi nestor slovenskega potapljanja. Potapljal se je že leta 1937 s splavom, na katerem so z zračno tlačilko in cevjo pošiljali potapljaču zrak vse do globine 20m. Marsikaj o tem najdete tudi na spletu, če vpišete njegovo ime. Objavljal je v Proteusu, glasilu naravoslovnega društva. Povezan je tudi razvojem snemanja filmov pod vodo. Sicer je zame bil in ostal pojem naravoslovca – njegovo znanje je bilo široko naravoslovno, še v 80 letih je imel predavanje o obisku vulkana na Liparskih otokih. Po Ljubljani se je vozil izključno s kolesom, hodil je tudi v hribe.

Nekaj posebnega so njegovi srednješolski učbeniki fizike. Bralca silijo, da venomer nekaj računa, razmišlja o prebranem in si tako ustvarja odnos do snovi.

Precej njegove literature pa je tudi širše naravoslovne. Na slovenskih spletnih straneh nisem o Ivanu Kuščerju našel nič posebnega, zato pa sem na tujih našel http://www.aip.org/pt/vol-53/iss-8/p63b.html.

Gimnazijska leta

23. april 2007

Gimnazijska leta

Srednješolska leta so vsakemu nekaj posebnega. V tem času postajamo odrasli, naše doživljanje okolice je še posebej intenzivno, doživljaji se nam zarišejo v spomin za vse življenje. Svoje opisujem iz več razlogov. Prvič zato, da bralci spoznajo, kako smo preživljali gimnazijska leta nekoč kot ena od generacij – 20. matura – Gimnazije Črnomelj. In drugič – v nasprotju z denimo Angleži ne damo na tradicijo nič. Ne zavedamo se, da je do danes z naše šole prišlo že 55 maturitetnih generacij in da bo letošnja matura 56. po vrsti. Bralec lahko sam izračuna, katera matura bo in je na to ponosen.

Prvi šolski dan

Gimnazijo Črnomelj sem obiskoval od leta 1966 do 1971. Še vedno se zelo dobro spominjam svojega prvega srednješolskega dne. Takratna gimnazija je bila na Župančičevi ulici v stavbi današnjega dijaškega doma. Obsegala je vsega pet razredov: enega prvega, enega drugega, dva tretja in enega četrtega.

V učilnici v drugem nadstropju se nas je gnetlo 33 nadobudnežev. Naša razredničarka je postala Mihaela Roth, profesorica biologije in kemije. Bila je zelo stroga in dosledna, pri njenih urah smo se veliko naučili. Ravnatelj pa je bil Janez Kambič, matematik, z izrednim smislom za humor in občutkom za delo z mladimi. V lepem spominu so mi ostali učenci višjih letnikov, ki so nas obiskali med glavnim odmorom. Razkropili so se po klopeh med nami in prijazno spraševali, od kod je kdo. Tudi sami se nismo vsi poznali med seboj, saj smo prišli iz različnih šol. Zazdelo se mi je, da so nas takoj sprejeli medse in to je veljalo tudi vnaprej.

Pouk in predmetnik

Pouk smo imeli vsa 4 leta tudi ob sobotah, tehnični pouk v prvih dveh letih in predvojaško vzgojo v zadnjih dveh pa popoldne. A ur je bilo zato na dan med 4 in 6, običajno 5. Večino pouka smo imeli v matični učilnici, le za geografijo, biologijo in kemijo ter v četrtem letniku fiziko smo imeli specializirano učilnico.

Predmetnik je bil podoben zdajšnjemu, tuja jezika sta bila angleščina ali nemščina kot prvi in francoščina kot drugi jezik. Kemija in biologija in geografija sta je trajali prva tri leta, fizika pa zadnja tri leta po 2,5, 2,5 in v četrtem letniku 3,5 ure, saj je bilo še 35 ur astronomije. V tretjem letniku smo imeli od družboslovnih predmetov sociologijo in psihologijo, v četrtem pa filozofijo.

Zgodovino, slovenski jezik, oba tuja jezika in matematiko smo poslušali vsa 4 leta. Od bolj ideoloških predmetov sta bila predvojaška vzgoja v 3. in 4. letniku ter samoupravljanje s temelji marksizma in družbena ureditev v četrtem letniku.

Konference so bile štiri, med prvim in drugim polletjem so bile 14-dnevne zimske počitnice, dvodnevna praznika sta bila Dan republike 29.november in Praznik dela 1.maj.

Šport

Športno življenje na šoli je bilo zelo razvito. Telesno vzgojo nas je imel prve dve leti prof. Logar, ki je bil precej strog. Njegova posebnost je bila , da je nekoliko škilil in ko smo stali v zboru, je bilo zelo napeto, ko je tulil na enega, tresel pa se je čisto nekdo drug. Odločil se je, da bo iz nas naredil športno pismene in to mu je tudi uspelo, kljub joku sošolk, da bodo imele premišičaste noge. Sorazmerno malo smo imeli iger z žogo (razen odbojke, ki sem jo nekaj časa celo treniral), veliko pa dela na orodjih in atletike. Spomnim se, kako smo plezali po vrvi samo z rokami ter tekmovali, kdo bo prej na vrhu. Od orodij smo imeli predvsem preskok in bradljo. V začetku je ob pogledu name godrnjal, da nisem dovolj gibčen, a kasneje sem z rezultati v atletiki in na orodjih več kot zadovoljil njegov kriterij. Včasih smo imeli športno vzgojo tudi v razredu. Prof. Logar nam je predaval o posamezni športni disciplini, npr. orodje pri orodni telovadbi ali kolektivni šport, in to zelo podrobno – taktične variante, ocene sodnikov, itd. Še danes, ko spremljam kak športni dogodek, zaradi njegove razlage opažam podrobnosti, ki jih ostali prezrejo.

Rokometno igrišce z asfaltno podlago smo imeli pod nosom in dosti časa smo prebili tam. Prav tako smo imeli na podstrešju, pa tudi v kleti stavbe mizo za namizni tenis in vsako prosto uro smo imeli neverjetne dvoboje dvojic. Tudi sicer smo se zelo zanimali za šport ter redno študirali Sportske novosti, tedaj edini športni časopis.

Športna dneva smo imeli dva: eden je bil namenjen pohodu, na drugem pa je prevladovala atletika. Posebej zadnji je bil zelo privlačen, cela šola je celo leto vedela, kdo je prvak v kaki disciplini.

Gotovo je vse to vplivalo, da imam še danes do športa zelo pozitiven odnos. Z nekaterimi se še vedno rekreaktivno ukvarjam, če pa bi moral izbrati najljubšega, s katerim bi se želel ukvarjati, je to gotovo deseteroboj. Tabele zanj dobite nekje v tej skupini, preizkusite se vsaj v nekaterih disciplinah.

Naravoslovje

Iz prvega letnika se spomnim predvsem biologije. Občudoval sem dve leti starejšega sošolca, ki je prihajal v šolo ob 4:30 z vlakom iz Otovca, nato pa v biološkem kabinetu (profesorica mu je dala ključ!) do pričetka pouka ob osmih mikroskopiral. V prvem letniku je bila razdeljena na botaniko v prvem polletju in zoologijo v drugem. Spomnim se, kako resno sem študiral razmnoževanje mahov in praproti. Ker si nisem nič predstavljal, je bilo moje učenje precej na pamet. Prav tako je bilo z živalskim sistemom. Še zdaj se spomnim kolobarnikov, hidre ter enoceličarjev paramecija in evglene, kaj dosti več pa mi ni ostalo. V drugem letniku smo imeli somatologijo – nauk o ustroju človeškega telesa. Zelo podrobno smo obravnavali posamezne dele človeškega telesa. Priznam,da mi je bilo pri pogledu na okostnjaka nekoliko neprijetno in tudi sicer se pri tem predmetu nisem dobro počutil. Enkrat smo secirali žabo in gledali, kako ji bije srce, a nisem doumel znanstvene poante poskusa, žaba pa se mi je smilila. V tretjem letniku pa se mi je zdela biologija najlepša. Del je obsegala paleontologijo in razvoj vrst s vsemi slavnimi biologi, del pa križanje, za katerega se mi je tedaj zdelo, da ga dobro razumem. Dosti kasneje, ko sem se pričel ukvarjati s čebelarstvom, sem marsikatero poglavje iz srednje šole znova obudil, poglobil, pa tudi na novo odkril.

Kemija je bila prve dve leti anorganska, tretje pa organska. Ni mi delala težav, čeprav moram priznati, da sem nekatere sorazmerno osnovne stvari razumel dosti kasneje. Recimo to, da kemijska formula velja, če vanjo vstavljaš atome ali pa kiloatome oz. kilomole snovi. Pojma kilomol v srednji šoli nisem dobro razumel, čeprav je definicija čisto preprosta: to je toliko kilogramov spojine, kolikor znaša njena relativna molekulska masa. Ta definicija je fizikalna. Zdi se mi, da kemiki uporabljajo manj razumljivo definicijo.

Tudi znanje iz kemije mi pride velikokrat prav. Recimo, ko zatiram varoo z mravljinčno kislino, pa moram narediti iz 80 procentne 60 procentno. Še huje z oksalno kislino. Za zatiranje varoe naj bi se uporabljala 3 procentna raztopina v 1:1 mešanici sladkor-voda. Da je zadeva še bolj komplicirana, je oksalna kislina naprodaj v obliki dihidrida, kar pomeni, da ima vsaka molekula kisline že vezane nekaj vode. Nek prodajalec je nekaj let nazaj napačno izračunal koncentracijo, zato je precej čebelarjev, ki so s kupljeno mešanico tretirali, ostalo brez čebel.

Še ena biološko kemijska naloga: Medica (medeno vino) se dela iz mešanice medu in vode. Vanjo stresete izbrane kvasovke, zaprete z vrelno vehoin čakate 6 mesecev, da zadeva odvre, nato pa še ravno toliko časa, da se zbistri. Someljeji (strokovnjaki za vino) pravijo, da morajo biti v dobrem vinu v ravnotežju kislina, sladkor in alkohol. Denimo, da želite pripraviti 12 procentno medico s 30 Oechsli nepovretega sladkorja. Koliko medu in koliko vode boste dali v 50 litrsko cisterno?

Fizika je bila prve dve leti brez poskusov, obsegala pa je mehaniko, toploto, valovanje in optiko. Kalkulatorjev seveda še ni bilo (enega prvih iz tovarne Digitron Buje sem kupil leta 1979), zato smo računali peš, v četrtem letniku pri elektriki in atomiki pa z velikim logaritemskim računalom pred tablo. Računati se je dalo na kvečjemu dve mesti natančno. V četrtem letniku pa smo videli nekaj poskusov in celo imeli prve eksperimentalne vaje.

Kljub temu, da sem v četrtem letniku hodil k fizikalnemu krožku, kjer smo slišali celo za specialno teorijo relativnosti, izpeljano iz pravkar izšle knjige Janeza Strnada, sem imel o precej fizikalnih pojavih napačne predstave. Teh sem se jih zavedel precej boleče šele v drugem letniku fakultete, saj sem izpit iz fizike opravil z veliko težavo.

V četrtem letniku fizike smo imeli tudi 35 ur astronomije, ki me je zelo pritegnila. Takrat smo tudi prvič opazovali zvezdno nebo z majhnim, a zmogljivim refraktorjem premera 47mm slovenske tovarne Vega. V glavnem smo opazovali planete (Mars, Venerine mene, Jupiter s štririmi vidnimi lunami, Saturnov obroč), pa tudi meglico v Andromedi in v pasu Oriona. Današnji ceneni teleskopi imajo na žalost dostikrat zelo površno brušene leče, tako da slika ni ostra.

Ljubezen do astronomije me spremlja vse do danes. Zanima me tako razvoj kozmologije (nauk o nastanku vesolja) kot opazovalna astronomija.

Slovenski jezik

V prvem letniku smo imeli tako svetovno kot domaco književost. Spomnim se zelo dobrega učbenika za svetovno književnost ter učbenika za literarno teorijo, slovnice pa smo imeli Toporišičeve. Predmet sem imel zelo rad iz več razlogov. Vsaj trije učenci v razredu smo bili knjižni molji in smo 70\% knjig, ki smo jih obravnavali, dejansko tudi prebrali, tako da smo se s profesorico lahko kar strokovno pogovarjali o prebranem. Sam sem precej dobro pisal,tako da smo v tretjem letniku vzeli šolsko glasilo Plamen v svoje roke in ga nismo spustili do konca 4. letnika. Na žalost smo si pri eni številki privoščili tudi neokusnost z naslovnico. Petokrako zvezdo smo zavili v duhovniško štolo. Posebnih posledic ni bilo, le ravnatelj ni hotel poslati tega izvoda v izmenjavo v slovensko gimnazijo v Celovec, s katero je imel tedaj stike.

Iz tega časa se spomnim tudi naslednjega dogodka: Nekje sem prebral, da je pravkar izšla v slovenšcini knjiga ruskega pisatelja Aleksandra Solženicina Prvi krog. Pisatelj – tedaj že disident- v njej opisuje življenje znanstvenikov v stalinističnih zaporih – gulagih. Omenil sem to moji profesorici, ki je bila hkrati tudi knjižničarka, in čez nekaj dni mi jo je sveže kupljeno prinesla v razred, da sem jo prvi prebral.

To pa seveda ne pomeni, da ga nisem nikoli polomil. Ravno na maturi sem uspešno obravnaval neko Aškerčevo pesem, nato pa je bilo treba povedati še nekaj njegovega življenjepisa – izpraševalko je predvsem zanimalo, kaj je bil po poklicu. Logično sem sklepal, da so v tistih časih bili izobraženci samo duhovniki ali učitelji. Pa sem rekel, da je bil učitelj….

Matematika

Ni šlo vse tako gladko, kot bi kdo mislil. V prvem četrtletju prvega letnika nas je učil ravnatelj, obravnavali smo največji skupni delitelj in večkratnik ter poenostavljanje izrazov in s tem nisem imel težav. A zamenjali smo učitelja, Marjan Skrbinšek je imel zame nekam dolgočasen stil razlage, pa sem izpulil iz torbe kavbojski roman in ga prebiral pod klopjo. Profesor me nikoli ni opozoril. A ko sem bil vprašan, nisem spravil iz sebe nič pametnega, potem pa sem še šolsko pisal nezadostno. Posledica tega je bila seveda, da sem imel v spričevalu matematiko v 1. polletju 1. letnika nezadostno.

Ker je bil moj ponos zelo ranjen, sem štirinajstdnevne počitnice izrabil za učenje matematike. Ker nisem imel svojih zapiskov, sem se učil iz učbenika(slavne Algebre, aritmetike in analize Franceta Križanica, ravno to leto je izšla, bili smo ena redkih šol, ki je že delala po njej). Imel sem kar velike težave z razumevanjem dokazov o deljivosti števil. In tako je naneslo, da sem bil spet vprašan in spet žalostno pogorel. Najhujše pa bilo to, da je nezadostno oceno profesor pospremil še z besedami: “Kaže, da se še nisi pričel uciti!”

Vse svoje sile sem vpregel v matematiko. Dobil sem ustno prvo pozitivno oceno, nato pa sem dve šolski nalogi pisal odlično in končno končal 1.letnik z oceno dobro(3). Naslednja leta pa sem si zapisoval skoraj vsako profesorjevo besedo. Težav ni bilo več, sošolci so se pričeli zatekati k meni po pomoč. Matematika je postala moj najljubši predmet, izbral sem si jo tudi za maturo. Ob koncu 4. letnika sem se počutil nekako utrujen in naveličan vsega, le matematiko sem še rad delal. Zato sem si jo izbral tudi za svoj poklic.

V Ljubljani šele sem opazil, kako dobro podlago imam v primeri s kolegi iz ostale Slovenije. V Črnomlju smo bili edini, ki smo delali po novem učbeniku.Moj profesor mi je dal zelo bogato popotnico. Sedaj poskušam podobno ravnati tudi sam.

Tuji jeziki

Imel sem posluh za jezik in dobro osnovo iz osnovne šole, tako da sem pri angleškem jeziku dobro shajal brez posebnega učenja. S slovnico nisem imel nikoli težav, v četrtem letniku pa mi je pričelo primanjkovati besed. Kasneje sem ta jezik veliko uporabljal in to počnem še danes, še vedno grem pogledat za neznano besedo v slovar v namizju mojega računalnika. Ko bi takrat imeli današnjo tehniko!

Drugi tuj jezik pa je bila francošcina. Spomnim se, da sem se tega jezika precej učil, predvsem s slovnico sem popisal nekaj zvezkov. Bila mi je zelo všeč, še sedaj znam povedati odlomke iz Malega princa. V četrtem letniku sem kupil broširane knjige s poezijo Boudlaira, Verlaina in Rimbauda in bil ponosen, da lahko berem njihove pesmi v originalu. A na žalost kasneje tega jezika nisem več obnavljal, saj sem ga pri svojem delu srečal zelo poredko.

Med študijem sem se že v prvem letniku srečal z ruščino, saj je bilo v njej precej dostopne strokovne literature. Po študiju pa sem zelo pogrešal, da ne znam nemško, in pričel sem se učlti tudi ta jezik. Zaenkrat ga znam toliko, da razumem, ce kdo pocasi govori in da lahko s pomočjo slovarja prevedem tekst, ki me zanima.

Družboslovje

Geografija nas je spremljala prve tri leta. V tretjem letniku smo imeli pol leta geologijo, ki me je s svojimi dobami zelo pritegnila. Sicer smo morali poznativse elektrarne in vse rudnike v Jugoslaviji in jih pokazati na zemljevidu. Delo smo si olajšali tako, da smo si na zemljevidih vse označili. S predmetom nisemimel težav, sem pa kasneje ob potovanjih ugotovil, da imam o posameznih pokrajinah zelo napačne predstave: Kosovo sem si predstavljal gorato, Makedonijo pa ravninsko, v resnici pa je ravno obratno. Idealno bi bilo pouk združiti z ogledom pokrajin.

Naj končam s vprašanjem za bodoče geografe: Zakaj na jugovzhodnem pobočju Nanosa, ki se zdi kot naročeno za vinogradništvo, ni vinogradov?

Zgodovina je bila edini predmet, ki me v srednji šoli ni zanimala in sem je jo učil z muko. Seveda sem sčasoma spremenil odnos do te vede in danes z veseljem preberem kak tekst oziroma si ogledam kako dokumentarno oddajo. Šele dosti kasneje sem se pričel zavedati, kako zelo pomembno je poznavanje preteklosti za razumevanje sedanjosti.

Prihologija mi je v tretjem letniku odprli nov, zanimiv pogled na posameznika, sociologija pa na človeško družbo. Učbenik za psihologijo je bil primeren, za sociologijo pa ne. Krona vsega naj bi bila filozofija v 4. letniku. Osvojil sem nek pregled filozofskih razmišljanj, a moje znanje je bilo preveč naučeno in zelo plitko. Najbrž bi morali dosti več prebirati izbrane tekste posameznih filozofov. Spomnim se, da nismo imeli niti učbenika. Tako mi
od nemških klasičnih filozofov ni ostalo skoraj nič razen imen, nekoliko bolj, predvsem skozi literaturo, se mi je približal eksistencializem s Sartrom in Camusom, navdušil pa me je Herbert Marcuse. Eno od redkih del, ki sem jih prebral, je bilo Nietzschejevo delo Rojstvo tragedije iz duha glasbe (Die
Geburt der Tragödie aus dem Geiste der Musik, 1872), sem osupel spoznal, kako lahko gleda na grško dramatiko klasični filolog. Na žalost je bil tudi fond ur za sociologijo in filozofijo zelo omejen.

Predvojaška vzgoja

Namen predmeta je bil, da se pripravimo na obrambo domovine. K občutku ogroženosti je pripomogel čas hladne vojne, izvenblokovska usmerjenost tedanje države pa tudi močan vpliv armade na celotni ustroj. Zanimivo, da se po mojem odhodu iz gimnazije občutek ogroženosti celo stopnjeval in so študentje leta 1979 morali obvezno 14 dni preživeti v vojašnicah, obstajali pa so celo ženski oddelki.

Učil nas je upokojeni polkovnik. Bil je bolj praktik, kot teoretik, zato nam je vedno poskušal pokazati kaj praktičnega. Imel nas je rad in ker je bil do nas preveč popustljiv, smo si ga včasih prav nesramno privoščili. V tedanji kasarni se je dogovoril, da nam vojaki kaj pokažejo. Mulci smo se usedli v gostilno v gradu in ga skozi okno opazovali, kako jo maha proti garnizonu. Ko je naslednjič spraševal, zakaj nas ni bilo v garnizon, smo mu zatrjevali, da smo se dogovorili, da bo pouk v šoli. To se je še nekajkrat ponovilo, vse dokler nam ni zagrozil s kaznimi.

V garnizonu pa bi enkrat kmalu prišlo do nesreče. Lezli smo v samohodko in vojaki so nam kazali, kako se daje granata v cev (seveda brez granate). Ravno ko sem bil jaz na vrsti, sem roko zadnji hip umaknil, sicer bi mi jo masivno železje zaklepa stisnilo.

Precej smo tudi streljali z zračnimi puškami v tarčo. Ker sem dobro streljal, me je imel polkovnik posebej rad in večkrat rekel, da bi me dal v vojni za ostrostrelca.

Priljubljena vaja je bilo tudi izvidništvo. Polkovnik nas je odpeljal na Griček in razdelil v dve skupini. Zamaskirati smo se morali z vejami, nato pa čimbolj neopaženo, na posameznih mestih plazeče priti od Vojne vasi do železniškega nadvoza, pri tem pa nas je z Gricka opazoval z daljnogledom.

Naša skupina je zavila z Grička naprej  v gostilno Skubic, nato v Vojno vas in tam za dve uri zalegla v travi, nato pa prišla nazaj na Gricek. Naš polkovnik je ocenil sosednjo skupino takole: “Vama trojke, vas sam više puta primetio.”In nato se obrne še k nam: “A vama čiste petice, vas uopšte nisam primetio!”

Tako je šlo do zadnje ure, ko je na Gričku ukazal: “Petruna, postroji vojsku!” Ob slovesu nam je rekel: “E momci, bili ste mangupi. Ali ja volim mangupe, jer su to najbolji vojnici!”. Imel je solze v očeh, pa tudi nam se je milo storilo.

Mladinska organizacija

Od sedmega razreda osnovne šole smo bili vsi člani Zveze socialistične mladine Slovenije (ZSMS), revija Mladina pa je bilo naše glasilo. Enkrat sem bil celo delegat naše šole v Mladinskem domu v Bohinju, a ne spomnim se, da bi kaj usodnega sklenili. Mladinska organizacija je imela enkrat letno občni zbor v Kulturnem domu. To nam je bilo všec, ker so odpadle tri ure pouka. Zelo vsebinskih razprav se ne spomnim, spomnim se pa ene, ki se nam je zdela takrat zelo pomembna: Kako dolge lase lahko nosijo fantje in kako kratka krila dekleta? To je bil namrec čas Beatlov in Mary Quant. Razpravo je s solomonsko rešitvijo presekal ravnatelj: “Lasje so lahko dolgi, a ne predolgi. Krila pa so lahko kratka, a ne prekratka!”

Klub OZN

Zelo pomemben krožek na šoli je bil tudi klub OZN. Ukvarjal naj bi se z zunanjo politiko in oblikovanjem politicnega nazora mladih. Spomnim se sošolca, ki je pridobil v tem klubu precej samozavesti in retoričnih spretnosti, svoja prepričanja pa je utrjeval tako, da je med razpravo demokratično tolkel s pestjo po mizi.

Novoletne obdaritve

Spomnim se, da smo imeli v prvih dveh letnikih medsebojno novoletno obdaritev, ki nam jo je predlagala naša razrednicarka. Kupili smo darila dodoločene vsote, nato pa obdarili nakljucnega sošolca. Ne spomnim se, kaj sem podaril, dobro pa so mi ostala v spominu darila, ki sem jih dobil. Prvo leto mi je ena od sošolk podarila Žepni bonton (najbrž ni bila zadovoljna z mojim obnašanjem), drugo leto druga sošolka dve kolosalni, za moja leta skoraj pretežki knjigi: Umetnikov mladostni portret Jamesa Joycea ter Faulknerjevo Svetlobo v avgustu. Knjigi sta izšli v zbirki 100 romanov, ki se je proslavila s poceni izdajami svetovnih uspešnic. Brati ta dela je težko, prvič sem se srečal z modernim romanom in načinom pisanja, ki se mu pravi tok zavesti in ki smo ga obravnavali šele na koncu šolanja.

Glasba

Najpomembnejši vir zabavne glasbe je bil radio. Spomnim se, kako je Slovenija ob 16.10 utihnila in cakala reklamo za nek whisky, ki se je pričela s skladbo Beatlov I feel fine. Od drugih virov so nekateri imeli gramofone. Male plošče s po eno skladbo na vsaki strani so se vrtele z 45 obrati na minuto,večje longplejke pa na 33. Zelo redki so bili magnetofoni, ki so zapisovali glasbo na magnetni trak. Kasetofonov še ni bilo.

Moj najljubši vir novosti na glasbenem področju je bil radio Luksemburg. Na srednjem valu ponoči je bil presenetljivo čist, vrteli so lestvico angleškegaglasbenega časopisa New Musical Express. Ta lestvica se je nahajala tudi v reviji Stop, ki je prav tedaj pričela izhajati. radio sem poslušal pozno v noč, vadil angleščino in po šoli žvižgal uspešnice tri mesece prej, kot jih je pričel predvajati domači radio.

Pri pouku glasbe sem se srečal tudi z resno glasbo. Skupinsko poslušanje Smetane in Dvoržaka v razredu na razdrapanem gramofonu me tedaj ni pritegnilo.So pa nekatere zabavne glasbene skupine so priredile dele skladb in te priredbe so postale svetovne uspešnice. Spomnim se priredbe Mozartove Kleine Nacht Musik in Hačaturjanovega Plesa s sabljami. Danes poslušam glasbo ne glede na zvrst.

Šolski red in disciplina

Ob prihodu učitelja v razred smo vstali in tako pozdravili učitelja. Ta način je ostal še dolgo v navadi, izginil je z začetkom kabinetnega pouka in zaklepanja učilnic. Odnos do učiteljev je bil približno tak kot danes, čutili smo, da nas hoče vsak kar najvec naučiti in pripraviti na življenje. Ocenjevalo se je tudi vedenje, morebiten ukor je to oceno znižal. Ocene so seveda ostale zapisane v spričevalu.

Obstajala je hora legalis – po osmi uri gimnazijci nismo smeli biti zunaj, razen četrtošolci, ki so smeli na večerno kino predstavo. Tudi v lokale ni bilo dovoljeno zahajati. A ker prepovedano najbolj vleče, smo ta pravila seveda kršili in ne spomnim se, da bi bil kdaj kdo zaradi tega kaznovan.

Tudi kajenje v šoli je bilo prepovedano. Posledica tega je bila, da smo pričeli v srednji šoli kaditi skoraj vsi fantje (razen enega) in da sem se te ogabne razvade komaj odvadil skoraj trideset let kasneje. Kadili smo na stranišču in balkonu v drugem nadstropju, učitelji so nas tolerirali, ravnatelj pa je, preden je zavil v “kadilnico”, poslal v predhodnico kakega dijaka, rekoč: “Povej jim, da prihaja Kambic pogledat, ali kdo kadi.”

Maturantski ceremonial

Za maturo sem dobil novo obleko. Prebral sem maturantski govor, ki se mi je takrat zdel seveda imenitno sestavljen, v katerem sem povedal kaj o naših profesorjih, pa tudi o naših zanamcih. V maturantski ključ je naša genaracija inovativno zarezala svoje znamenje kar z motorno žago. Sledilo je še skupinsko slikanje – ena od sošolk je posebej izstopala, ker si je oblekla v Trstu kupljene vroče hlačke – nato pa v hotel na kosilo, pa v Semič v zidanico enega od sošolcev. Proti jutru pa iz Semica peš nazaj v Črnomelj. Zjutraj smo viseli na zoreči češnji ene od naših profesoric in zobali. Kondicije – take in drugačne – smo očitno imeli dovolj.

Matura

Maturitetni preizkus je potekal tri dni. Slovenski jezik in samoupravljanje z družbeno ureditvijo sta bila obvezna predmeta. Tretji predmet je moral biti matematika ali tuj jezik. Prva dva sta bila pisni del izpita iz slovenskega jezika in matematike. Izbral sem za tretji predmet matematiko in za četrti angleški jezik. Prva dva dni sta bila pisni del izpita iz slovenskega jezika in matematike, vse štiri ustne preizkuse pa smo imeli isti dan v dopoldanskem času. Po štirje dijaki smo se izmenjavali pred tričlansko komisijo, odgovarjali na postavljena vprašanja in se tudi poslušali med seboj. Čeprav je bil ta način precej naporen, je bil v primeri z današnjo maturo kratek in rezultate smo zvedeli cez nekaj dni. Sam sem bil s svojimi čisto zadovoljen: od 20 točk sem jih osvojil 16 in se skupaj s sošolko po uspehu uvrstil čisto na vrh.

Če bi moral izbirati med svojo in sedanjo maturo, bi izbral svojo. Naloge so sestavili in izpraševali moji učitelji, na katere sem bil navajen. Naloge zato seveda niso bile nič lažje, a rezultati so prišli bistveno prej, vseskupaj se mi je zdelo tudi precej bolj življensko in domače.

Za konec

Toliko zaenkrat o mojih gimnazijskih letih. Spominov je seveda še in ker ravno iz tega obdobja ne bledijo, se prav lahko zgodi, da bom sčasoma dodal še kaj. A za začetek je toliko kar dovolj.

20matura

Grafika na spletni strani, Javascript in HTML5

Matematik želi prikazati matematično grafiko na zaslonu, po možnosti na spletni strani in -še bolj zaželjeno – po možnosti dinamično. Na začetku je te prikaze sprogramiral sam. Nato pa je bila v preteklih desetletjih razvita vrsta orodij, od tistih za prikaz grafov do orodij za modeliranje, ki se uporabljajo namensko npr. v strojništvu, gradbeništvu.  Programiranje je domala izginilo, sploh pa iz šol.  Slovenske firme danes vneto iščejo programerje, v glavnem brezuspešno. Nekatere jih morajo celo uvažati iz vzhodnih držav.

Sam sem se z dijaki precej ukvarjal z računalniško grafiko, najprej v strem dobrem Turbo Pascalu v operacijskem sistemu DOS, pod Okni pa v nadaljevanju Pascala  – programu Delphi. Dijaki so znali napisati samostojne grafične aplikacije, pretežno simulacije fizikalnih pojavov, in ti programi so se preko orodja Activex dali zaganjati tudi preko spleta. Napredno za tiste čase ob koncu tisočletja, a tudi povezano s težavami. Brskalnik je moral imeti varnostne nastavitve znižane, Delphi pa je bil plačljiv program in je kar nenadoma izginil, skupaj s svojo različico Kilix za Linux.

Sredi prejšnjega desetletja sem na nekem seminarju opazoval predavatelja, kako uspešno je zganjal grafiko na spletni strani z običajnim Javascriptom. Prikaz mi je bil zelo všeč, dosti manj pa koda. Sem pač scrkljan tako od Pascala in Delphija, da ko slišim C++, skoraj dobim ošpice, največ, kar lahko še prezvečim, je Python. Poleg tega se mi je zdelo, da uporablja trike iz CSS. Kljub temu sem napisal nekaj kratkih programov v Javascriptu, pa jih tudi hitro pozabil zaradi obilice drugega dela.

Potem pa mi je prišel v roke standard zadnje verzije HTML-ja, torej HTML 5.0. Podpirajo ga vsi moderni brskalniki, pa tudi mobilne priprave. Postal sem pozoren na njegovo podporo grafiki in sklenil sem, da spet poskusim. Tole je (s pomočjo priročnika seveda) pravkar ratalo. Ni bogvekaj in nič ne miga, je pa dokaz, da se da:

<html>
<head>
	<style type="text.css">
		canvas {border: 1px solid black}
	</style>
</head>
<body>
<h3>Moja prva grafika v HTML5</h3>
<canvas id="mycanvas" width="800" height="500"></canvas>
<script language ="Javascript">
var canvas = document.getElementById('mycanvas');
var c = canvas.getContext('2d');
c.fillStyle="red";
c.fillRect(0,0,20,10);

c.lineWidth=1;
c.beginPath();
c.moveTo(0,100);
c.lineTo(201,100);
c.stroke()

c.beginPath();
c.moveTo(100,0);
c.lineTo(100,120);
c.stroke()

for (i=-100;i<100;i++)
{
c.fillStyle="black";
c.lineColor="red";
c.lineWidth=3;
c.beginPath();
c.moveTo(i+100,100-i*i/100);
c.lineTo(i+101,100-i*i/100);
c.stroke()
}
</script>

</body>
</html>

zgornja koda  nam da naslednji graf kvadratne funkcije:

HTML5 ima navo značko platno <canvas>, na katerega lahko rišemo na spletni strani. Canvas je poznal tudi Delphi, zato  je pojem poznan. Nanj rišemo z ukazi iz Javascripta, kot so drawRect, fill in drawImage.

 

Moja prva grafika v HTML5


Rabljene knjige naprodaj

Posodobljeno januarja 2017. Knjige so izključno iz moje knjižnice, rabljene, a ohranjene. Navedeno je število strani in orientacijska cena v evrih. Knjige lahko prevzamete osebno v Črnomlju na Cankarjevi 2a ali po pošti po povzetju. Poštnino plačate sami. Kontaktni naslov vincenc.petruna@gmail.com   ali tel. +386 040 397 676.

Beletristika

  1. H. Balzac, Trije občudovalci, 300,………………………………………5
  2. D.Vejnović, Od plemen do narodov v Afriki, 270,………. …………………5
  3. Chomsky, Zbrani spisi, 600,……………………………………………20
  4. Hartford, Dragi ekonomist pod krinko, 190,………………………………15
  5. Šurc, V imenu države, Odprodaja…………………….. ……………….10
  6. Hofer, Sonja Kovalevska,230,…………………………………………..10
  7. Holt, Sedma devica,250,……………………………………………… 10
  8. Dangella, Stella Termogen ali Leta preizkušnje, 800,……….. ….. ……..15
  9. Heurgon, Življenje in navade Etruščanov, 300,……………………………10
  10. Mate, Široka usta, vesele in pkre Ribnčana Urbana,94,…………………….10
  11. Blair, Zbogom reka Kwai,400,…………….. …………………………..10
  12. Klevišar, Rudnik Kanižarica 1857-1997, 200,……………………………..10
  13. Padežnik, Pod plaščem naivnosti, 200,……………………….. ……….. 5
  14. Sheldon, Diamantna dinastija, 200,…………………………………….  8
  15. Jurčič,  Med dvema stoloma, Lepa Vida,400,………………………………10
  16. Chomsy, Izbranispisi,550………………………………………………20
  17. Jurčič,Zbrano delo, 350,…………………………………………….. 15
  18. Bečić, Gundosava (cirilica),140,………………………….. …………..3
  19. Jaeger, Amok, 250,…………………………………………………….8
  20. Lavrenčič, Osem križanih tolarjev,200,…………………………………..8
  21. Munn, Izgubljena legija, 250,………………………………………….10
  22. Greene, Človeški faktor,300,…………………………………………..10
  23. Vestdijk, Otok ruma,400,………………………………………………10
  24. Shaw, Pigmalilion in druge drame, 450,….. …………………………….15
  25. Heinrich, Sam proti Palermu,400,……………………………………….10
  26. Hašek, Dobri vojak Švejk1 (430)………………………………………..15
  27. Menart,  Stihi mojih dni 230,…………… ……………………………10
  28. Zupan, Igra s hudičevim repom, 254,…………………………………….10
  29. Zupan, Menuet za kitaro, 420,………………………………………….15
  30. Lipuž, Zmote dijaka Tjaža,150,…………………………………………10
  31. Fortunes, Goat-Foot God, (angleščina) 351……………………………….10
  32. Dular, Mlini ob Kolpi umirajo,53,………………………………………10
  33. McCullough, Drugo ime za ljubezen,300,………………………………….10
  34. Finžgar, Pod svobodnim soncem, 550,…………………………………….15
  35. Jurčič,Zbrano delo, 350,………………………………………………15
  36. Steinbeck, Vzhodno od raja,700,………………………………………. 20
  37. Plutarh, Življenje velikh Rimljanov, 400………………………………..20
  38. Grošelj, Bela obzorja, 130,……………………………………………15
  39. Javoršek, Adasmovo jabolko, 180………………………………………..10
  40. V.Zupan, Menuet za kitaro, 2004, 400 strani, ……………………………20
  41. D.Fortune, The Goat-foot God,1989, 350 strani, (angleščina) ………………15
  42. F.Lipuš, Zmote dijaka Tjaža, 1997, 150 strani, ………………………….20
  43. R. Hubbard, K zvezdam, 1995, 140 strani,……………………………… .15
  44. J.Kugy, Vojne podobe iz Julijskih Alp, 1995, 80, ………………………..20
  45. P.Kornhauser, Zakaj sem ponosen, da sem zdravnik,2013,500,. ………………40
  46. M.Račič, Na krilih atletike,2013,170,…………………………………..20
  47. R.Scheckley, Menjava duha,1966,170,…………………………………….10
  48. J.Hašek, Prigode dobrega vojaka Švejka v 1. svetovni vojni1,1982,450,………20
  49. J.Jurčič, Domen in druge povesti,1952,222 strani,………………………..15

Čebelarstvo

  1. Čebelarski zbornik Celje 2009,…………………………………………10
  2. Grad, Čmrlji v Sloveniji, 120,…………………………………………10
  3. Janša, O rojenju čebel, 30,……………………………………………10
  4. Janša, O rojenju čebel, 30,……………………………………………10
  5. Senegačnik, Med naša vsakdanja hrana in zdravilo,1966,80,…………………25
  6. Sklenar, Imkerpraxis (nemščina),411,……………………………………20
  7. J.Rihar, Čebelarjenje v nakladnem panju, 176,……………………………20
  8. J.Rihar, Vzrejajmo boljše čebele,2003, 250 strani,……………… ………20
  9. Trstenik, Naše pčelarstvo (cirilica), 136,………………………………10
  10. Trstenik, Zbornik radova iz pčelarstva, 140,……… ……………………10
  11. Verbič, Vzrejajmo najboljše čebele,180,…………………………………20
  12. Vošnjak, Propolis, 120…………………………….. ………………..20
  13. Pušnik, Kirarjev panj, 100…………………………………………….15
  14. NItzchmann, Lexikon der Bienenkunde (nemščina),400,………………………20
  15. Bukovec, Sodobno čeberlarsstvo 1,(430)………………………………….40
  16. Kropej, Poslikane panjske končnice,(95)…………………………………20
  17. Meglič, Varoja, čebela, čebelar (180)…………………………………..10
  18. V.Umeljić, U svetu cveča i pčela 1 2003,(cirilica) 720,…………………..40
  19. V.Umeljiić, U svetu cveča i pčela 2 2003,(cirilica) 720,………. ………..40
  20. V.Umeljić, U svetu pčela, 2003,280,…………………………………….20
  21. V.Umeljić, Čebelarstvo za začetnike in strokovnjake,2012,535,……………..40
  22. Mlaker, Čebela se predstavi, 111,…………………………………….. 15
  23. Peradin, Nove metode pčelarenja, 1956,350,…………… ………………..30
  24. Debelak, čebelarjeva opravila, 80,……………………………………..20/li>
  25. Sacić, Pčelarstvo,170 (hrvaščina)………………………. …………….10
  26. Čerimagič, Bolesti, štetočine i trovanja pčela, hrvaščina, 128…………….15
  27. Božič, Čebelarski raziskovalni tabor Bohinjska Bistrica, 46,…….. ……….5
  28. Jurančič, Čebeloreja,150……………………………………. ……….20
  29. Šivic, Živeti s čebelami, 100………………………………………….40
  30. Abadžič, Pčele i zdravje, 260………………………………………….40
  31. Sodobno čebelarstvo 2, 500……………………………………… ……40
  32. J.Kantar, Matica misaona imenica, 300 strani, …………… …………….15
  33. E.Herold, Čebele in zdravje, 1974, 250 strani,………….. ……………..15
  34. F.Lakmayer, Umni čebelar1, 1907, 200 strani,…………………………… 50
  35. F.Lakmayer, Umni čebelar2, 1908, 190 strani,…….. …………………… 50
  36. M.Fraser,Anton Janša O rojenju čebel, 2008, 30 strani,…………………. .20
  37. Z.Avram, Sa pčelama u biznis, Od početnika do prof., 2005,300……………..30
  38. F. Tomažin, Uzgoj matica i pčela po sistemu T.F.2002,270 strani,…………. 30
  39. M.Meglič,Varoja,čebela,čebelar,2007,150 strani,………………………….20
  40. J.Verbič, Vrednost in poraba medu, 1932,23 strani, preprint,………………15
  41. Zdravstveno varstvo čebel, priročnik za čebelarje, 1987,91,strani,…………10
  42. F.Prezelj, Čebelarjevo leto, 1999,100 strani,preprint,……………………15
  43. M?Vošnjak, Propolis zdravilo jutrišnjega dne,2000,120. strani,…………….20
  44. M.Vošnjak, Propolis zdravilo jutrišnjega dne,1978,133 strani, …………….25
  45. Čebelarstvo na Notranjskem, 2002,40strani,……………….. ……………10
  46. Društvo pčelara Trstenik, Zbornik radova iz pčelarstva,1997,140,cirilica,…..15
  47. Društvo pčelara Trstenik, NAše pčelarstvo,2003,140,cirilica,………………15
  48. Pčelarska udruga vukovarsko srijemske županije, Pčelarski dani,20,…………10
  49. 36.dnevi čebelarstva, Zbornik,2013,50 strani,………………………….. 10
  50. D.Korbar, V vrtincu čebel, 1996,110strani, preprint,………… ………….20
  51. J.Kantar, Sa zdravim pčelama u XXI.vek, 2001,140 strani,………………….20
  52. Nitschmann,Lexikon der Bienenkunde, 2002,400 strani, ……………………..50
  53. V.Pušnik, Kirarjev panj,2009,100,………………………………………15
  54. J.Rihar, Mana iglavcev, 2003,130 strani, ……………………………….20
  55. R.Savić, Pčelarstvo,1991,170 strani, …………………………………..15
  56. M.Manček,Iz dnevnika čebelice Medke,2005,25 strani,………………………15

 

 

 

Matematika

  1. I.Vidav, Teorija števil in elementarna geometrija,110……… ……….5
  2. Vidav, Višja matematika3,550……………………………………………..20
  3. E.Kramar, Zbirka nalog iz verjetnostnega računa, 60…………….10
  4. Graselli, Osnove teorije števil, 200,……………………………………..10
  5. Dakić, Zbirka zadataka za 1. razred gimnazije,25 ………………… 8
  6. Simonović, Uvod u konačnu matematiku,170… …………………….5
  7. Batagelj, Rešene naloge iz matematike 1967-1975, 180…………8
  8. Legiša, Vektorji, potence in koreni, kvadratna funkcija, 210…… 5
  9. Legiša, Odvod, integrali, 220……………………………………………….5
  10. Legiša, Štalec, Odvod, integral,200,…………………………………….4
  11. Legiša, Geometrija v ravnini,190,………………………………………..5
  12. Legiša, Geometrija v ravnini,130…………………………………………4
  13. Legiša, Geometrija v ravnini, priročnik za učitelja,43………….. 10
  14. Legiša, Kotne funkcije, trigonometrija, 138,…………………………..5
  15. Legiša, Kotne funkcije, trigonometrija, 138,…………………………..5
  16. Legiša, Polinomi, Rac.funkcije,krivulje 2.reda,160…………………5
  17. Arnuš, Polinomi, racionalne funkcije, krivulje 2.reda,124………..3
  18. Arnuš, Polinomi, racionalne funkcije, krivulje 2.reda,124………..3
  19. Legiša, Polinomi, Rac.funkcije,krivulje 2.reda,160…………………5
  20. F.Križanič, Splošno in posebno,330…………………………………..40
  21. Križanič, matematika 1,190,…………………………………………… 10
  22. Križanič, matematika 2,190,…………………………………………… 10
  23. Križanič, matematika 3,190,…………………………………………….10
  24. Križanič, matematika 4,190,…………………………………………… 10
  25. Križanič, Vektorji, matrike, tenzorji,260,……………… ………….. 20
  26. Križanič, navadne diferencialne enačbe in variavijski račun..30
  27. D.Blanuša,Viša matematika 2.dio,400………………………………10
  28. Kuroš, Kurs višjej algebri, ruščina, 430,……………………. ……. 20
  29. Simonovič, Uvod u teoriju verovatnoće i matematičku statistiku,200……………………………………………………………………8
  30. Weeks, Oblika prostora, 212,…………………………………………… 5
  31. Jamnik, Matematična statistika,400………………………………… 20
  32. Jamnik, Verjetnostni račun, 400,………………………………………20
  33. Jamniik, Verjetnostni račun in statistika,163,………… ………….10
  34. Dakić,.Matematika2 učbenik i zbirka zadataka za 2.r. gimnazije 1.dio………………………………………………………………………………20
  35. Dakić,.Matematika2 učbenik i zbirka zadataka za 2.r. gimnazije 2.dio………………………………………………………………………………20
  36. Dakić,.Matematika3 učbenik i zbirka zadataka za 3.r. gimnazije 2.dio………………………………………………………………………………20
  37. Modic. Trikotniki. Konstrukcije. Algebrske rešitve.120,……….15
  38. Čibej, Kombinatorika, 55,………………………………………………. .10
  39. Čibej, Priročnik za učitelje,Kombinatorika, ver.račun, statistika,150,………………………………………………………………….20
  40. Čibej, Kombinatorika, verjetnostni račun, statistika,220,………………….10
  41. Čibej, Kombinatorika, verjetnostni račun, statistika,220,………………….10
  42. Evropski matematični kenguru 2002-2004,205,…………………………….. 20
  43. Dolenšek, Zbirka nalog kotne funkcije, trigonometrija,111…………………..5
  44. Dolenšek, Zbirka nalog kotne funkcije, trigonometrija,111…………………..5
  45. Oblak, Naloge in vaje iz matematike, prva vadnica,140………………………5
  46. Oblak, Naloge in vaje iz matematike, druga vadnica,140……………………..5
  47. Oblak, Naloge in vaje iz matematike, četrta vadnica,140…………………….5
  48. Savnik, Izbrane naloge za intenzivni pouk matematike v 1.letniku……………10
  49. Palman, Trokut i kružnica,210,………………………………………….15
  50. Štalec, Zbirka vaj iz AAA za 1. razred gimnazije,110……………………….5
  51. Štalec, Zbirka vaj iz AAA za 4. razred srednjih šol,110…………………….5
  52. Grešak, Zbirka nalog elementarne funkcije, kompleksna števila,165……………5
  53. Pavliha, Zbirka nalog Geometrija v ravnini, 140,…………………………..5
  54. Savnik, Izbrane naloge za intenzivni pouk matematike, 70…………………..15
  55. Bartolj, Zbirka nalog za pripravo na pisni del mature osnovna raven…………10
  56. Matematika, Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995-2000,170,……………10
  57. Hafner, Modeli geometrijskih teles,………………………………………5
  58. Zaicev, Elementarnaja matematika (ruščina),600,……………………………5
  59. Demidovič, Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize, 480…………..15
  60. Sadowski, Matematika in šport,192,………………………………………10
  61. Uščumlić, Zbirka zadataka iz više matematike 1, 640,………………………30
  62. 365 sudokujev za mojstre,320,…………………………………………..10
  63. Tomšič, Matematika 3…………………………………………………..10
  64. Apsen, Repetitorij više matematike 2, 350………………………………..15
  65. Apsen, Repetitorij više matematike 3 (hrvaščina), 460,…………………….15
  66. Apsen, Riješeni zadaci više matematike uz 3.deo repetitorija, 400…………..20
  67. Apsen, Riješeni zadaci više matematike 2(hrvaščina),380……………………15
  68. Jurčič, Kosta, Zbirka nalog iz matematike,273,……………………………10
  69. Devide, Matematika kroz kulture i epohe, 170……………………………..20
  70. Drobne, Statistika vaje 150…………………………………………….10
  71. Erjavec, Somatologija, leto 1881, 108,…………………………………..15
  72. Milčinski, Zbrani spisi,460,……………………………………………10
  73. Cronin, Zvezde gledajo z neba 1, 371,……………………………………10

Fizika

  1. Kladnik, Osnove fizike za tehnike, 1.del, 400…………………………….30
  2. Kladnik, Osnove fizike ya tehnike, 2.del  600…………………………….30
  3. Kodba,Fizikalne enačbe,60,………………………………………………5
  4. Hribar, elektrika, svetloba snov, 300……………………………………40
  5. Hribar, Elektrika, svetloba in snov, zbirka nalog,75,………………………5
  6. Kladnik, Zbirka fiz. problemov z rešitvami, elektrika, optika, atomika………40
  7. Cvahte, Fiz. naloge iz vsakdanjega življenja, 60 domačih poskusov…………..10
  8. Kuščer, Fizika 1.del: Mehanika250,………………………………………10
  9. Kuščer, Fizika 2.del: Toplota, 250,……………….-……………………10
  10. Kuščer, Matematične naloge iz fizike,300,………………………………..20
  11. Battestin, Fizikalni praktikum 1, Mehanika,330,……………….. ………..20
  12. Battestin, Fizikalni praktikum 2, Elektrika,330,………………………….20
  13. Battestin, Fizikalni praktikum 3,Optika,330,……………………………..20
  14. SVIO, Fizika, naloge za preverjanje znanja,121,……………………………5
  15. Herrmann, Fizika, gibalna količina, entropija,150,………………………..10
  16. Šolinc, Skozi fiziko z rešenimi nalogami, kinematika, statika250,……——-.15
  17. Oljhovski, Kurs teoretičeskoi mehaniki dlja fizikov (ruščina),560,………….10
  18. Sears, College physics, (angleščina)…………………………………….10
  19. Mihelič, Meteorologija (130)……………………………………………15
  20. Roth, Vremenoslovje za vsakogar,260,…………………………………….25
  21. Nikolič, Fitoterapija, 250,…………………………………………… 15
  22. Oxlade, 150 Great Science Experiments,250,……………………………….25
  23. Koškin, Priročnik elementarne fizike, 240,……………………………….10
  24. Leksikon fizika,250,…………………………………………………..15
  25. Laue, Kratka zgodovina fizike,140,……………………………………….5
  26. Kladnik, svet elektronov in atomov, …………………………………….10
  27. Ahlin, Izpitna vprašanja iz fizike,40,……………………………………5
  28. Tomič, Vraničar, Zbirka nalog iz fizike,250………………………………10
  29. Tomič, Plut, Vaje iz fizike, 150………………………………………..10
  30. Hawking, Vesolje  v orehovi lupini,  300…………………………………30
  31. Sears,Zemanjsy, College Physics, 1971,1000 strani,………………………..20
  32. G.Roth, Vremenoslovje za vsakogar,1992,250,………………………………20
  33. Oljhovski, KUrs teoretičeskoi mehaniki dlja fizikov.(ruščina)….. …………20

Računalništvo

  1. U.Mesojedec, Delphi od začetka do aplikacije, 350,…………… ………….10
  2. I.Gerlič, Prvi koraki v Logo, 170,………………………………………10
  3. Bratko, Programski jezik Pascal z razširitvami turbo pascala,218…………….5
  4. James. the spectrum Book of games,140,……………………………………4
  5. Batagelj itd, Uvod v računalništvo naloge, 96,…………………………….4
  6. Nahtigal, Ukrotimo podatke, (Word, Excel, Access, PP)……………………..10
  7. Batagelj, Enajsta šola računalništva,395,………………………………..20
  8. Hetland, Beginning Python from novice to professional, 600,………………..30
  9. Hribar, HTML 4.0,300…………………………………………………..15
  10. Šuler, Spoznajmo Visual Basic (5 in 6),430,………………………………10
  11. Turk, Mirko tipka na radirko,150,………………………………………..5
  12. Lokar , Turbo Pascal 6.0,60,…………………………………………….3
  13. Delphi5 Developers guide 1400…………………………………………..20
  14. Borland Turbo Pascal Reference Guide, 460………………………………..10
  15. Borland Turbo pascal Object oriented programming guide,120…………………10
  16. Virant, Logične osnove odločanja in pomnjenja v rač.sistemih, 370…………..10
  17. Bosnič, Moodle, priročnik, 80…………………………………………..10
  18. Lokar, Turbo Pascal,80………………………………………………….5
  19. Anderson, dBase3 Tips and Traps,250……………………………………..10
  20. Lokar, Začeti z dBase4,60……………………………………………….5
  21. Grlica, Quattro Pro, 250……………………………………………….10
  22. Teach yourself E-commerce programming with ASP in 21 days,600………………20
  23. Zupan, Uporaba računalniških metod v kemiji,261…………………………..15
  24. Založnik, dBase3 plus Clipper, 330………………………………………20
  25. Swan, Delphi 4 Bible, 950,……………………………………………..20
  26. Jakupovič, Autocad,200…………………………………………………10
  27. MIhir Kumar Das, Learning CAD with AutoCAD,200……………………………20
  28. Moj mikro, Mirko tipka na radirko, 160…………………………………..10
  29. Wechtersbach,Obdelava podatkov in dBase3+,140…………………………….10
  30. Derive User manual, 245………………………………………………..10
  31. Benkovič, Računalništvo zbirka nalog 130…………………………………10
  32. Bratko, Računalništvo s programskim jezikom Pascal,270…………………….15
  33. Klavžar, MS DOS,50……………………………………………………. 5
  34. Excel 5 za windows korak za korakom,375,…………………………………15
  35. Šuler, Spoznajmo Microsoft Visual Basic,420………………………………20
  36. Bratko, Programski jezik Pascal z razširitvami Turbo Pascala,210……………10
  37. Jensen,Wirth, Pasca user manual and report, 150…………………………..10
  38. Kostrevc, Računalništvo in informatika, 189,……………………………..15
  39. Wall, Odkrijte Visual Cafe, 370…………………………………………20
  40. Špiler, Uvod v računalništvo in programski jezik BASIC, 150………………..10
  41. Kris Jamsa, DOS The Comlete Reference, 1300,……………………………..20
  42. R.A. Sparkes, The ZX Spectrum in science teaching,320,…………………….20
  43. Čretnik, Gerlič, Delovni zvezek k učbeniku Računalništvo in inf……………..5
  44. Žitnik, Tehnika programiranja, 100……………………………………….5
  45. The Spectrum Book of games, 140…………………………………………10
  46. Davis, Learn Java now, 350,…………………………………………….15
  47. Nahtigal, Ukrotimo podatke,250………………………………………….20

Astronomija

  1. P. Kunaver, potovanje v vesoljstvo,125,…………….. …………………..15
  2. Greene, Čudovito vesolje, 400,…………………………………………..30

Elektronika

Kralj, Šuhel,Elektronski sestavni deli in sestavi, 450……20

Priročniki in slovarji

  1. Marasović, Dioklecianova palača, 150……………………………………..10
  2. Razvoj znanosti, enciklopedija 150……………………………………….10
  3. Ivanič, Kratka ilustrirana zgodovina Slovencev, 140………………………..15
  4. Mladinskaa knjiiga, Atlas, svet v števikah, države sveta, 300……………….20
  5. Hornby,Oxford Students Dictionary, 2nd edition, 750,……………………….20
  6. J.Kotnik, Slovensko angleški slovar,760…………………………………..10
  7. Duden:Nemsko slovenski slikovni slovar,850………………………………. 20
  8. Lake, Kako premagujemo žalost, 150,……………………………………….5
  9. Ziherl, Kako se upremo alkoholu,198,………………………………………5
  10. Coleman, Stres in vaš želodec, 70,………………………………………..5
  11. Tyrer, kakko živetis stresom, 95,…………………………………………5
  12. Medvešček, Živeti s sladkorno boleznijo, 186,……………………………..10
  13. Pečjak, Hitro in uspešno branje, 140,…………………………………….10
  14. Ješe, Katalog jugoslovanskih kovancev 1920-1988,……………………………5
  15. Petrovič, Osnove parazitologije človeka,280, ………………………………8
  16. Plutarh, Življenje velikih Rimljanov,440,…………………………………20
  17. City Guide for Budva & Montenegro, 230,………………………………..5
  18. Kemija splošni priročnik, 700……………………………………………20
  19. Kralj Šuhel, Elektronsko sestavni deli in sestavi,450,……………………..10
  20. Božac, Gobarski vedež,(330)………………………-…………………….20
  21. Cortese, Sadje – moč naravne hrane, (310)…………………………………15
  22. Squire, Vrtni škodljivci in bolezni, (80)…………………………………15
  23. Seidel, Slikovni rastlinski ključ,(280)…………………………………..15
  24. Krušič, Stare kulture, velika ilustrirana enciklopedija,160,………………..20
  25. Gregori, Naši ptiči, 308,……………………………………………….15
  26. Babnik, Sadno drevje, sajenje,gojenje, rez,120,……………………………15
  27. Bjjić, Zlarin,200,……………………………………………………..10
  28. Derganc, Osnove prve pomoči za vsakogar,400,………………………………10
  29. Torre,Popravila v hiši,230,……………………………………………..10
  30. SAZU, Slovenski pravopis,1950,930,……………………………………….20
  31. Stroji, velika ilustrirana enciklopedija,259………………………………30
  32. Pawson, Knjiga o robotih,200…………………………………………… 20
  33. Gööck, Lepi skrivnostni svet, 220………………………………………..20
  34. Rak, Radiostezija in bajaličarstvo na Slovenskem, 133………………………40
  35. Gööck, Uredimo si stanovanje, 300………………………………………..20
  36. Medvešček, Živeti ss sladkorno boleznijo, 180……………………………..20
  37. Pokorn, Vitki živijo dlje,150……………………………………………20
  38. Gordon:trening večje učinkovitosti za učitelje,100…………………………15
  39. Pečjak, Hitro in uspešno branje,150,……………………………………..20
  40. Bjažič, Zlarin, kratka povijest i rječnik, 205…………………………….20
  41. Biseri Jadrana:Otok Vis,250……………………………………………..20
  42. Kondor, Razgledi v književnosti 1918-194………………………………… 15
  43. Barbour, Stopinje na Luni, 140………………………………………….10
  44. Popravi sam, priročnik za dom, vrt, delavnico in prosti čas,570……………..30
  45. Sociologija, gradivo za srednje šole, 400…………………………………20
  46. Heurgon, Življenje in navade Etruščanov, 280………………………………30
  47. Berti, Uffizi, 140……………………………………………………..15
  48. Rubinstein:Učitelj po naključju, kako obvladati razred,135………………….20
  49. Zohar, Duhovna inteligenca, 250………………………………………….20
  50. A.Skaza, Kletarjenje je užitek,1991,152,………………………………….20
  51. T.Mihelič, MEteorologija, priročnik za letalce, 1948,125 strani, ……………20
  52. B.Greene, Čudovito vesolje,1999, 400 strani, ……………………………..30
  53. Stare kulture velika ilustrirana enciklopedija, 1983,170,…………………..25
  54. Pompei 2000 years ago and today, 2000’123 strani, …………………………25
  55. Z.Nikolić, Fitoterapija, 2001,250 strani,……………………………….. 20

 

 

 

 

Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo $R=1\Omega$.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja $R_x$?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo $R_x$ dodamo eno vejo.

Velja

$$R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x$$

$$R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x$$

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za $R_x$

$$R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0$$

$$R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R$$

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom $R_x=\varphi=1,618…$.
$R_x$ je pravzaprav enak številu zlatega reza $\varphi$.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

$R_1=R=1$

$R_2=R+R=2R=2$

$R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5$

$R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666$

$R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6$

$R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625$

$R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615$

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, …$$
alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

TikZ(4)-risanje grafov funkcij

Koda za risanje grafov elementarnih funkcij je približno naslednja

%V.Petruna, grafi fukcij, območje risanja  je[-3,5]
\begin{tikzpicture}[domain=-3:5]
%mreža
\draw[thin,color=gray,dotted] (-3.1,-3.1) grid (3.9,3.9);
%osi
\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,4.2) node[above] {$f(x)$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node at(\x,0)[below]{$\x$};
\node at(0,\x)[right]{$\x$};
}
%funkcije
\begin{scope}[ultra thick]
\draw[color=red] plot (\x,\x) node[right] {$f(x) =x$};
\draw[color=blue] plot (\x,{-sin(\x r)}) node[right] {$f(x) = -\sin x$};
\draw[color=orange] plot (\x,{0.05*exp(\x)-3}) node[right] {$f(x) = 
\frac{1}{20} \mathrm e^x-3$};
\draw[color=magenta,domain=-1:5] plot (\x,{sqrt(\x+1)}) node[right] {$f(x) =  \sqrt {x+1}$};
\end{scope};
\end{tikzpicture}

Tale koda nam da naslednjo precej profesionalno sličico funkcij

funkcije

Prekopirajte kodo v QTikZ in jo spreminjajte, tako da dobite grafe drugih funkcij.

Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]
    2. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]
    3. Določi vrednost verižnega ulomka \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]
    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je \(R_1=10\Omega\)  in \(R_1=15\Omega.\) .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo \[x=\sqrt{2+x}\]. Rešitev te enačbe, ki ustreza, je \(x=2.\)
  2. Ravno tako označimo \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\] dobimo enačbo \[x^2=2x\], kateri ustreza rešitev \(x=2.\)
  3. Podobno označimo \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]. Tokrat dobimo enačbo \[x=1+\frac{1}{x}\]  oziroma kvadratno enačbo \[x^2-x-1=0,\]ki ima za rešitev zlato število \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]   Od tod dobimo  kvadratno enačbo  \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\] ki ima  rešitev\[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]

Neskončni vgnezdeni radikali(1)

Med neskončnimi vgnezdenimi radikali oblike

\[\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\dots}}}}}\]

pri čemer je \(n\in \mathbb{N}\), so nekateri taki, da je nihova vrednost naravno število, npr.

\[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}}=2\]

in

\[\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}}}=3\]

Za kakšna števila \(n\) je to res?

Shrinivasa

Ko prebiram delo indijskega matematika Shrinivase Ramanujana, ostajam osupel nekako tako kot ob pogledu na strop Sikstinske kapele in se spomnim na verz iz Župančičeve Dume:

...
kot da se niso rodili iz matere,
kot da goram se iz bokov izvili so
....

Zapisi trditev, ki jih je našel ta matematični genij brez formalne matematične izobrazbe (poguglajte, tudi njegov življenjepis je nekaj posebnega!), delujejo  kot nekaj izven zemeljskega, prej božanskega kot človeškega. Formule je velikokrat navajal brez dokazov in z njimi  osupljal  matematični svet zgodnjega 20. stoletja Lahko je bilo preveriti, da so njegove trditve resnične, a ostali matematiki so imeli polne roke dela, da so ugotovili, kako je Ramanujan prišel do njih.  Taka nam še razumljiva trditev je denimo

\[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots } } } }=3.\]

Izrazu zaporednih korenov na levi pravimo neskončni vgnezdeni radikal. Trditev lahko preverimo tako, da zračunamo nekaj zaporednih približkov, število približkov lahko bistveno povečamo strojno in ugotovimo, da je le-ta resnična. Toda, kako je Ramanujan prišel do nje?

Danes sem našel članek indijskega statističnega instituta, izdan ob obletnici Ramanujanovega rojstva. Naslovnica je pomenljiva
Za neskončnim vgnezdenim radikalom v naslovu je čudovita zgodba, ki se prične prav preprosto, namreč takole:
\(x+n=\sqrt{(x+n)^2}=\sqrt{n^2+x^2+2xn}=\sqrt{n^2+x(x+n+n)}\)       (1)
V rezultatu opazimo, da se je pod korenom znova pojavil izraz \(x+n\), torej imamo možnost neskončnega ponavljanja – rekurzije. Nadaljujemo z zadnjim faktorjem v prejšnjem korenu

\[x+2n=\sqrt{(x+2n)^2}=\sqrt{4n^2+x^2+4xn}=\sqrt{n^2+(x+n)(x+2n+n)},\]

\[x+3n=\sqrt{(x+3n)^2}=\sqrt{9n^2+x^2+6xn}=\sqrt{n^2+(x+2n)(x+3n+n)},\]

in tako naprej.  Opravimo ustrezne zamenjave v zadnjih faktorjih korenov, pa iz (1) dobimo Ramanujanov obrazec

\[x+n=\sqrt{n^2+x\sqrt{n^2+(x+n)\sqrt{n^2+(x+2n)\sqrt{\dots}}}}.\]

Za \(x=2\) in \(n=1\) nam ta obrazec res da
\[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots } } } }=3,\]

v obrazcu iz naslova članka pa je \(x=199\) in \(n=1\), gre torej za 120-letnico Ramanujevega rojstva.

Pa še naloga za vas: Izračunajte naslednji neskončni vgnezdeni radikal

\[\sqrt{25+55\sqrt{25+60\sqrt{25+65\sqrt{25+\dots } } } }\]

Pravokotno sestavljanje sinusnih nihanj

Sestavimo tokrat nihanji pravokotno, torej  \[ x=a\sin{\omega_1 t}\] in \[y=a \sin{(\omega_2t+\varphi)}\]. Za obe nihanji smo izbrali enako amplitudo a, krožni frekvenci \[ \omega_1,\omega_2\] sta različni, \( \varphi \) pa je fazna razlika med obema nihanjema.

  • Naj bo za začetek \[\omega_1=\omega_2=1\]  in \[\varphi =0\]. Enačbi nam dasta

\[x=a \sin{(\omega_1t)},~y=a \sin{(\omega_1t)}\]

ali

\[y=x,\]

kar je enačba simetrale lihih kvadrantov – v našem primeru je to daljica, ki leži na tej simetrali.

  • Če je  \[\omega_1=\omega_2=1\]  in \[\varphi =180^o\], dobimo daljico na simetrali sodih kvadrantov.
  • Če je \(\omega_1=\omega_2=1\)  in \(\varphi =90^o,\) je

\[x=a \sin{(\omega_1t)},~y=a \cos{(\omega_1t)}\]

ali (pokaži!)

\[x^2+y^2=a^2.\]

To je krožnica s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in polmerom a.

  •   pri ostalih faznih zamikih dobimo elipso.
  • Pri drugih frevencah pa dobimo sklenjene krivulje le, je razmerje frekvanc racionalno ptevilo, npr, 1:2, 2:3, 3:4, itd. Te krivulje se imenujejo Lissajousove krivulje in poljubno si lahko ogledate na spodnjem prikazu. Krivuljo brišete s CTRL -F, nova pa se nariše, ko premikate drsnik t.

Rast svetovnega prebivalstva

Na tej Wikipediini strani, ki govori o rasti prebivalstva na planetu in posameznih regijah, najdemo naslednji graf:

Procent rasti svetovnega prebivalstva na leto v odvisnosti od časa. Iz grafa npr. razberemo, da se je prebivalstvo nahitreje večalo leta 1962 -2,2% na leto, nato pa se je procent rasti manjšal, tako da je znašal leta 2009 “samo” 1,1% na leto. Modri del črte je napoved za naslednja leta.

Kaj lahko matematik napove iz teh podatkov?  Najprej korajžno  predpostavimo,  da bo letni procent rasti linearna funkcija časa. Katera linearna funkcija? Najbolj pravilno bi jo bilo določiti z metodo najmanjših kvadratov, pa nimamo podatkov zbranih v tabeli. Lahko bi tudi grafično poiskali premico, ki se podatkom najbolj prilega, nato pa zapisali njeno enačbo.  A za našo natančnost bo dovolj, če uporabimo kar enačbo premice skozi  točki in sicer naslednji:

\[ (1962,2.2\%) \] in \[ (2009,1.1\%) \]

Dobimo enačbo

\[ y-0,022=-\frac{0,011}{47}(x-1962) \]

Nato uporabimo preglednico – prvi stolpec (A)  naj bodo leta od 1962 po 1 leto naprej, drugi (B) pa prirastek, izračunan  po zgornjem obrazcu. Formulo kopiramo toliko let, da pridemo v stolpcu B do 0.  Dobimo naslednji graf:

Model napovedi relativnega letnega prirastka ljudi na planetu.

Ugotovimo torej, da  po tej napovedi lahko  pričakujemo ničelni letni prirastek leta 2056.

Ocenimo še število prebivalcev  planeta leta 2056.  V preglednici nastavimo še tretji stolpec “št.prebivalcev”,  in na vrh (npr. v C2) vpišemo 3,16 milijarde, podatek, ki nam ga ljubeznivo ponudi stran Wolframalpha, potem ko za iskalni niz vpišemo “human population 1962”.  V nadaljevanju (od C3 naprej) pa kopiramo formulo  =C2*(1+B3), pri čemer je v stolpcu B procent prirastka.

Dobimo naslednji graf:

Kaže, da bo takrat na planetu malo pod devet miljard  ljudi, natančneje 8,725 milijarde.

Za primerjavo, Woframalpha je nekoliko bolj pesimističen, saj predvideva že leta 2050 9,13 milijard prebivalcev.  Od tega naj bi v Sloveniji živelo 1,95 milijona ljudi.

Natančnost takega modeliranja je odvisna od točnosti ugotavljanja procenta rasti. Leto, ko je prebivalstvo preseglo 7 milijard, je model napovedal približno leto prepozno, kar ni slabo. Naprej pa  je model tem bolj nezanesljiv,čim dlje v prihodnost gremo…saj lahko pride kaj vmes….a bolje vsaj nekaj kot nič, kajti brez modela bi nam preostala samo vedeževalka….:-)

Kletarjenje

Gruzija – zibelka vina

Сумасшедшая француженка в Грузии

Wine lovers have a lot to thank Georgia for.This is where wine production first began, over 7000 years ago.Archaeological remains suggest that as early as 4000 BC grape juice was being placed in underground clay jars, or Kvevri, to ferment during the winter.
Georgia is a land famed for its natural bounty. These days there are over 500 species of grape in Georgia, a greater diversity than anywhere else in the world, with around 40 of these grape varieties being used in commercial wine production.
The vine is central to Georgian culture and tightly bound to their religious heritage. It is common for families throughout Georgia to grow their own grapes and produce wine. Feasting and hospitality are central pillars of Georgian culture, and traditional banquets are presided over by a toastmaster, or Tamada, who proposes numerous toasts throughout the meal, and ensures the wine flows liberally.

Georgia: The Land Where Wine Was Born

ქართული ღვინის ისტორია History Of Georgian Wine

Kletarjenje v Gruziji

Qvevri

Jožko Gravner 2

Jožko Gravner 3

Gravner anfora parte prima

Gravner amfora parte seconda

Intervju z Gravnerjem v Objektivu

Plošča(1)

Na koliko načinov lahko na šahovski plošči izberemo belo in črno polje tako, da nikoli nista v isti vrstici ne v istem stolpcu?

sah1

Propeler

V enem od Matematičko-fizičkih listov zasledim zadnjič nalogo o naslednjem elisi (propelerju) podobnem liku:

prosnovnaVprašanje tam je bilo, kolikšen je obseg tega propelerja, če je stranica očrtanega mu kvadrata 1.  Dal sem nalogo v obtok in prvi je odgovoril Andrej Jakobčič. Njegov odgovor se glasi

\[ o=\frac{3\pi}{2} \]

in je pravilen.  Poskusite priti do rešitve tudi vi. Namig: Pot do rešitve je povezana z nekim pravilnim večkotnikom…

Andrej je še spotoma pripomnil, da bi bila prav zanimiva tudi njegova ploščina. Pa poglejmo, če res:

Najprej izračunamo ploščino neobrezane vetrnice:

cela vetrnicaPloščino enega kraka te vetrnice dobimo npr. tako, da od ploščine pokroga odštejemo enakokrak trikotnik iz četrtine kvadrata (pokaži kako). Torej je ploščina celotne vetrnice enaka

\[ S_1=4(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2}-1. \]

Od te ploščine odštejemo ploščino \[ 4\cdot S_2 \] štirih koncev krakov, torej likov oblike

kos3S to ploščino pa je več dela. Najprej opazimo, da lik lahko transformiramo v ploščinsko enak lik oblike

pro4Pozor, ta lik ni krožni izsek!  Krožni izsek s ploščino \[S_3 \]dobimo, če narišemo še naslednji daljici

pro5pngTo ploščino pa dobimo preprosto

\[ S_3=\frac{r\cdot l}{2}=\frac{r^2 \alpha}{2}=\frac{{\frac{1}{2}}^2\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{48}. \]

Do ploščine rdečega lika pridemo, če od te ploščine odštejemo ploščini rumenih trikotnikov, ki sta skladna in enakokraka. Ploščino enega dobimo tako, da od dveh delov dvanajstkotnika odštejemo en del šestkotnika

pro6Torej  je \[ S_2=\frac{\pi}{48}-\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{16},\]

iskana ploščina propelerja pa

\[  S=\frac{\pi}{2}-1-4\cdot S_2=\frac{\pi}{2}-1-\frac{\pi}{12}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\doteq 0,376.\]

Približna vrednost cele vetrnice pa je \(0,57. \).

Če popredalčkamo to nalogo – obseg spada nekam na konec prvega letnika, ploščina pa v konec tretjega…. a nikar se ne pustite predalčkati tudi vi…

TKiZ(3)

Koda

\begin{tikzpicture}[]
\foreach \z in {8,6,4,2}
{
\foreach \x in {1,3,5,7}
\foreach \y in {1,3,5,7}
\shade[shading=ball, ball color=gray](\x+2+0.8*\z,\y+2+0.5*\z) circle(0.6cm);
\foreach \x in {2,4,6,8,10}
\foreach \y in {2,4,6,8,10}
\shade[shading=ball, ball color=red](\x+0.8*\z,\y+0.5*\z) circle(1cm);
}
\end{tikzpicture}

nam da

Vprašanje: Če je polmer rdeče kroglice R in se siva kroglica dotika 4 rdečih kroglic, kolikšen je polmer sive kroglice?

TkiZ(2)

Koda

\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{tikzpicture}[]
\foreach \z in {3,2,1,0}
{
\foreach \x in {2,4,6,8,10}
\foreach \y in {2,4,6,8,10}
\draw [fill=red,opacity=1](\x+\z,\y+\z) circle(1cm);
\foreach \x in {3,5,7,9}
\foreach \y in {3,5,7,9}
\draw [fill=blue](\x,\y) circle(0.41cm);
}
\end{tikzpicture}

pa nam da naslednjo grafiko

TikZ (1)

Zadnji teden se precej ukvarjam s profesionalno grafiko  TikZ, ki se lahko uporablja npr. z LaTeXom in podobnimi programi.  Program za Ubuntu je KTikZ, za Okna pa QTikZ.  V levo okno program pišemo kodo, v desnem pa se nam (samodejno) kaže grafika, ki jo lahko uporabimo v besedilu ali samostojno, saj ima izvoz v najpomembnejše formate. Kako se kaj piše, pa zvemo, če v googla vpišemo “ktikz manul” in za začetek morda dodamo  besedo “minimal”, nazadnje pa ne spregledamo tistega za verzijo 2.10 z nekaj čez 700 stranmi, pretežno risbami.

Tako nam recimo koda:

\begin{tikzpicture}[rotate=18,scale=0.8]
%V.Petruna,junij 2012, n-kotnik z nastavljivim n-jem in velikostjo
\foreach \r in {5}
{
\foreach \n in {15}
{
\foreach \x in {1,2,...,\n}
{
\draw [cyan] ({\r*cos(360*(\x-1)/ \n)}, {\r*sin(360*(\x-1)/ \n)})-- ({\r*cos(360*\x / \n)}, {\r*sin(360*\x/ \n)});
\foreach \y  in {1,2,...,\n}
\draw [cyan,ultra thin] ({\r*cos(360*(\x-1)/ \n)}, {\r*sin(360*(\x-1)/ \n)})-- ({\r*cos(360*\y / \n)}, {\r*sin(360*\y/ \n)});
}
}
}
\end{tikzpicture}

da naslednjo prisrčno grafiko


in s to kodo imamo rešeno risanje pravilnih n- kotnikov enkrat za vselej.

Verjetnost in Facebook(2)

Andrej sprašuje naslednje:“Kolikšna je verjetnost, da imajo trije od mojih 61 FB prijateljev v istem dnevu rojstni dan?”

Prijazno so me opozorili, da je v prejšnjem izračunu napaka. Poskusimo torej znova:

Verjetnost, da ima oseba na določen dan v (neprestopnem) letu rojstni dan, je

\[p=\frac{1}{365},\]

da ga  nima, pa

\[1-p=\frac{364}{365}.\]

Vprašajmo se, kolikšna je verjetnost, da ima v danem dnevu rojstni dan natanko k izmed n oseb.  To pomeni, da ima v tem dnevu k oseb rojstni dan, n-k pa ne. Ker so rojstni dnevi oseb paroma neodvisni med seboj, gre za zaporedje neodvisnih poskusov.  Prešteti moramo torej, koliko je produktov oblike

\[p^k(1-p)^{n-k}.\]

Teh pa je toliko, kolikor je kombinacij n elementov reda k brez ponavljanja. Tako pridemo do Bernoullijeve formule

\[P_n(k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}.\]

ki pove, kolikšna je verjetnost, da se dogodek A (v tem primeru “ima rojstni dan”) zgodi natanko k- krat, če so poskusi neodvisni.  Iskan odgovor na Andrejevo vprašanje (kolikšna je verjetnost, da imajo v določenem dnevu natanko 3 ljudje rojstni dan) je torej

\[P_{60}(3)={60 \choose 3}\left(\frac{1}{365}\right)^3\left(\frac{364}{365}\right)^{57},\]

kar je nekaj več kor 6 desettisočink.  Verjetnost, da imajo v določenem dnevu rojstni dan vsaj trije, da dobimo npr. tako, da od 1 odštejemo verjetnosti dogodkov, da ima v tem dnevu  rojstni dan 0, 1 in 2 osebi.

Trikotno tabelo teh verjetnosti lahko naredimo kar v kaki preglednici. Binomski simbol realiziramo s funkcijo =COMBIN(N;K).

Poglavja iz kvantne mehanike v srednji šoli

uvod

Zakaj na molekule zraka teža navidezno ne deluje, saj se ne zberejo na tleh? Zakaj se molekule neprestano gibljejo, biljardne krogle pa se vedno ustavijo? Po premisleku opazimo, da za delce, kot so molekule in atomi, veljajo drugačni fizikalni zakoni kot za makroskopske delce. Podobni premisleki in dodatni poskusi pa povedo, da za dovolj majhne, t.i. kvantne delce zakoni klasične fizike sploh ne veljajo. Nič ne moremo povedati o tiru takega delca, 2. Newtonov zakon za delec ne velja. Vse kar o kvantnem delcu lahko zvemo, je njegova valovna funkcija \[\Psi=\Psi(t,x,y,z),\qquad\qquad\qquad\qquad(1)\] ki sama fizikalnega pomena nima, njen kvadrat pa pove verjetnost, da se delec ob času \(t\) nahaja na mestu \((x,y,z).\) Valovno funkcijo delca zvemo, ko za dalec zapišemo in rešimo Schrödingerjevo enačbo. Ta za stacionarno stanje (s časom nespreminjajoče se) in v enodimenzionalni obliki zgleda takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-W_p)\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(2)\]

Pri tem so \(m\) masa delca, \(W\) njegova skupna energija, \(W_p\) njegova potgencialna energija, \(h=6,6\cdot10^{-34}Js\) pa Planckova konstanta. Ni jasno, kako je Schrödinger prišel do nje, a didaktika fizike ponuja  izpeljavo, ki si jo bomo ogledali v nadaljevanju.

Izpeljava Schrödingerjeve enačbe

Opišimo s s funkcijo \(\Psi\) sinusno valovanje, ki se širi v smeri x-osi. Torej \[\Psi(t,x)=\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\] pri čemer je \(\Psi_o\) amplituda, \(\omega=2\pi\nu\) krožna frekvenca in \[k=\frac{2\pi}{\lambda}\qquad\qquad\qquad\qquad(3)\] valovno število, v katerem je skrita valovna dolžina valovanja \(\lambda.\)

Stacionarno stanje dobimo, če nas zanima samo krajevna slika. Zato pribijmo čas (kot pri fotografiranju) in \(\Psi\) dvakrat parcialno odvajajmo. Dobimo

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\qquad\qquad\qquad\qquad(4)\]. Upoštevajmo še (3), pa lahko zapišemo krajevni del valovne enačbe (4) takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+k^2\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(5)\]

Sedaj pa se spomnimo na fotoefekt. Šele A. Einstein ga je pojasnil s postavko, da je svetloba ne le valovanje, temveč tudi curek delcev – fotonov, katerim je pripisal tudi maso, ki izvira iz njihove energije. Če namreč povežemo energijo fotona \(W=h\nu\) z formulo za energijo iz sprecialne teorije relativnosti, dobimo

\[h\nu=mc^2,\qquad\qquad\qquad\qquad(6)\]

od tod pa izraza za maso fotona

\[m=\frac{h\nu}{c^2}\qquad\qquad\qquad\qquad(7)\]

in njegovo valovno dolžino

\[\lambda=\frac{h}{mc}.\qquad\qquad\qquad\qquad(8)\]

Zadnja enačba je napeljala Louisa de Brogliea na misel, da se tudi gibajoči delci obnašajo kot valovanje, pa jim je v skladu z (8) pripisal valovno dolžino

\[\lambda=\frac{h}{mv},\qquad\qquad\qquad\qquad(9)\]

pri čemer je \(m\) masa, \(v\) pa hitrost delca.

Upoštevajmo (9) pri naslednjem računu

\[k^2=\frac{4\pi^2}{\lambda^2}=\frac{4\pi^2m^2v^2}{h^2}=\frac{8\pi^2mW_k}{h^2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(10)\]

Vstavimo rezultat v (5) in upoštevajmo še, da je kinetična energija delca enaka razliki med celotno in potencialno energijo, torej \[W_k=W-W_p,\qquad\qquad\qquad\qquad(11)\] pa res dobimo (2).

Ponazorimo vse te ugotovitve na treh primerih in primerjajmo tudi kvantno stanje s klasičnimi pričakovanji.

 Delec v vodoravni cevi

To je tudi edini primer, ki ga lahko obdelamo skoraj na ravni srednješolske matematike. Imejmo delec mase m, ki je zaprt v vodoravni cevi dolžine L. Klasično bi pričakovali, da ima lahko poljubno (nenegativno) kinetično energijo, in da je za vse točke cevi enako verjetno, da ga najdemo tam.

Za kvantni delec pa najprej zapišemo Schrödingerjevo enačbo

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}W\Psi=0\]

Upoštevali smo, da je \(W_p\) delca enaka 0, saj je cev vodoravna.  Enačba je podobna tisti od sinusnega nihanja in tudi rešitev je podobna, torej

\[\Psi(x)=\Psi_o\sin{\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}x}.\qquad\qquad\qquad\qquad(12)\]

Zapisali smo valovno funkcijo delca v cevi. Upoštevajmo še robni pogoj

\[\Psi(L)=0,\qquad\qquad\qquad\qquad(13)\]

od koder dobimo

\[\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}L=n\pi,\qquad\qquad\qquad\qquad(14)\]

pri čemer imenujemo n kvantno število, ki zavzame vrednosti \(n=1,2,3,\dots .\) Od tod izrazimo energijo delca

\[W_n=\frac{h^ 2}{8mL^2}n^2.\qquad\qquad\qquad\qquad(15)\]

Opazimo prvo važno razliko med klasičnim in kvantnim delcem. Medtem ko je energija klasičnega delca zvezna in lahko zavzame poljubne vrednosti, je energija kvantnega delca diskretna, spreminja se lahko samo v skokih. Energija kvantnega delca tudi ne more biti 0, je pa najmanjša v stanju \(n=1.\)

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]

Valovne funkcije delca za prva 4 kvantna števila

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]


Kvadrat teh funkcij pove verjetnost, kje se delec nahaja, torej
\[P_n=\Psi_n^2=\Psi_o\sin^2{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(17)\]

Opazimo torej, da je ta verjetnost odvisna od kvantnega števila n. Pri \(n=1\) je najbolj verjetno, da najdemo delec na sredini, pri \(n=2\) pa, da ga najdemo na prvi in tretji četrtini cevi, itd.

Grafi verjetnosti , da je delec na mestu x palice, za prva 4 kvantna števila.

Spet opazimo, da se verjetnost kvantnega delca zelo razlikuje od verjetnosti klasičnega delca. Verjetnost kvantnega delca se verjetnosti klasičnega delca približa šele v limiti, ko gre \(n\to\infty\).

Harmonični oscilator

Klasično je harmonični oscilator lahko telo mase m, pripeto na vzmet s koeficientom k, kvantno pa si lahko predstavljamo atom v dvoatomni molekuli, v kateri ime vlogo sile vzmeti medatomska sila,  Klasični delec se nahaja vedno med na intervalu \([-s_o,s_o]\), pri čemer je $s_o$ amplituda nihanja. Najbolj verjetno je, da delec najdemo v skrajnih legah legi, najmanj pa, da ga najdemo v ravnovesni legi, saj gre skoznjo najhitreje. Graf verjetnosti klasičnega delca, da ga najdemo v legi x,  ima torej približno naslednjo obliko

Za kvantni delec pa je vse, kar lahko na našem nivolju naredimo, da zapišemo Schrödingerjevo enačbo, ki v enodimenzionalni obliki zgleda takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-\frac{kx^2}{2})\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(18)\]

Upoštevali smo, da je potencialna energija v tem primeru prožnostna energija delca.

Rešiti enačbe v srednji šoli sicer ne znamo, a zgodba se ponovi. Energija delca je spet kvantizirana, a zaradi oblike potencialne energije tokrat drugače kot prej.

\[W=\frac{h\nu}{2}+nh\nu=h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right).\qquad\qquad\qquad\qquad(19)\]

To pomeni, da so razmiki med energijskimi stanji tokrat enakomerni.

JSXGraph(2)

Potrebni datoteki

Najprej potrebujemo datoteki

Datoteki snamemo le, če želimo uporabljati program lokalno brez spleta. V glavo HTML dokumenta vstavimo

<head>
 <link rel="stylesheet" type="text/css" href="jsxgraph.css" />
 <script type="text/javascript" src="jsxgraphcore.js"></script>
</head>

Če pa želimo naš HTML dokument prikazati na spletu, datotek ni treba snemati, samo kličemo jih. Tedaj vstavimo v glavo dokumenta kodo

<head>
 <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css" />
 <script type="text/javascript" src="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js"></script>
</head>