Znana limita in njena uporaba

V srednji šoli se četrtošolci srečajo z limito

    \[\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1.\]

Dokaz najdejo v svojem učbeniku. Med primeri uporabe te limite pa pogosto umanjkata naslednja:

plošćina kroga

Imejmo krog s središčem T in polmerom r, po Arhimedovo mu včrtajmo n-kotnik. Le-ta je iz n skladnih enakokokrakih trikotnikov , njegova ploščina torej znaša

    \[S_n=nr^2\sin{\frac{\pi}{n}}\cos{\frac{\pi}{n}}=\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}.\]

Če večamo n, gre ploščina n-kotnika proti ploščini kroga, zato je ploščina kroga S enaka

    \[S=\lim_{n\to \infty}{S_n}=\frac{r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}}=  \frac{2\pi r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}}\]

Uvedimo u=\frac{2\pi}{n} in opazimo, da ko gre n\to \infty, gre u\to 0, pa lahko pišemo

    \[S= \pi r^2\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=\pi r^2.\]

Dokazali smo torej obrazec za ploščino kroga.

Izračun Ludolfovega Števila

Uporabimo večkrat obrazec za sinus dvojnega kota, pa dobimo produkt n faktorjev

    \[\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=\]

    \[=2^2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{4}}\cos{\frac{x}{4}}=\dots\]

    \[\dots=2^n\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}.\]

Delimo zgornjo enačbo z x, pa dobimo

    \[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{2^n}{x}\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}\]

ali

    \[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}\]

V prvem faktorju na desni prepoznamo nastavek znane limite in ko gre n\to\infty , gre ta faktor proti 1, dobimo pa produkt neskončnih cosinusov:

    \[\frac{\sin{x}}{x}=\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2^3}}\dots\]

Na spletu najdemo,da je ta obrazec prvi našel slavni L.Euler.  A če vanj vstavimo x=\frac{\pi}{2}, dobimo

    \[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\]

Ta izraz pa je objavil Francois Viète leta 1593, torej več kot stoletje prej. Gre tudi za prvi primer zapisa neskončnega produkta sploh.

 

Lagrangeova identiteta

Med nenavadno snovjo, ki smo jih pri matematiki spoznavali pri prof. Marijanu Skrbinšku v 2. letniku črnomaljske gimnazije leta 1968, je bila tudi Lagrangeova identiteta vektorjev. Takole se glasi

    \[(\vec{a} \times \vec{b})\cdot (\vec{c} \times \vec{d})=(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c}).\]

Identiteto smo dokazali po srednješolsko tako, da smo vektorje zapisali v ortonormirani bazi. Dosti pisanja, a tudi dobrodošla vaja. Leva stran je enaka

(\vec{a}\times \vec{b})\cdot(\vec{c}\times \vec{d})=((a_1,a_2,a_3)\times (b_1,b_2,b_3))\cdot ((c_1,c_2,c_3)\times (d_1,d_2,d_3))=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot(c_2d_3-c_3d_2,c_3d_1-c_1d_3,c_1d_2-c_2d_1)= =a_2b_3c_2d_3-a_2b_3c_3d_2-a_3b_2c_2d_3+a_3b_2c_3d_2+ +a_3b_1c_3d_1-a_3b_1c_1d_3-a_1b_3c_3d_1+a_1b_2c_1d_2+ +a_1b_2c_2d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_1c_1d_2+a_2b_1c_2d_1.

Desna pa

(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c})= =(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)-(a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3)(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)=a_1b_1c_1d_1+a_1b_2c_1d_2+a_1b_3c_1d_3+a_2b_1c_2d_1+a_2b_2c_2d_2+a_2b_3c_2d_3+a_3b_1c_3d_1+a_3b_2c_3d_2+a_3b_3c_3d_3-a_1b_1c_1d_1-a_1b_2c_2d_1-a_1b_3c_3d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_2c_2d_2-a_2b_3c_3d_2-a_3b_1c_1d_3-a_3b_2c_2d_3-a_3b_3c_3d_3.

Primerjajmo obe strani, pa res ugotovimo enakost.