Arhivi Kategorije: Matematika

Lagrangeova identiteta

Objavljeno ,

Med nenavadno snovjo, ki smo jih pri matematiki spoznavali pri prof. Marijanu Skrbinšku v 2. letniku črnomaljske gimnazije leta 1968, je bila tudi Lagrangeova identiteta vektorjev. Takole se glasi

    \[(\vec{a} \times \vec{b})\cdot (\vec{c} \times \vec{d})=(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c}).\]

Identiteto smo dokazali po srednješolsko tako, da smo vektorje zapisali v ortonormirani bazi. Dosti pisanja, a tudi dobrodošla vaja. Leva stran je enaka

(\vec{a}\times \vec{b})\cdot(\vec{c}\times \vec{d})=((a_1,a_2,a_3)\times (b_1,b_2,b_3))\cdot ((c_1,c_2,c_3)\times (d_1,d_2,d_3))=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot(c_2d_3-c_3d_2,c_3d_1-c_1d_3,c_1d_2-c_2d_1)= =a_2b_3c_2d_3-a_2b_3c_3d_2-a_3b_2c_2d_3+a_3b_2c_3d_2+ +a_3b_1c_3d_1-a_3b_1c_1d_3-a_1b_3c_3d_1+a_1b_2c_1d_2+ +a_1b_2c_2d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_1c_1d_2+a_2b_1c_2d_1.

Desna pa

(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c})= =(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)-(a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3)(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)=a_1b_1c_1d_1+a_1b_2c_1d_2+a_1b_3c_1d_3+a_2b_1c_2d_1+a_2b_2c_2d_2+a_2b_3c_2d_3+a_3b_1c_3d_1+a_3b_2c_3d_2+a_3b_3c_3d_3-a_1b_1c_1d_1-a_1b_2c_2d_1-a_1b_3c_3d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_2c_2d_2-a_2b_3c_3d_2-a_3b_1c_1d_3-a_3b_2c_2d_3-a_3b_3c_3d_3.

Primerjajmo obe strani, pa res ugotovimo enakost.

Uporna kocka

Objavljeno ,

uporovna kocka in tetraeder

Imejmo kocko, katerih stranice sestavljajo enaki upori 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
R=1 Ω

*** Error message:
Unicode character Ω (U+03A9)
leading text: $R=1 Ω

.

Kakšna je nadomestna upornost med

  1. krajiščema telesne diagonale
  2. krajiščema diagonale ploskve
  3. krajiščema stranice kocke?

Reši podobno nalogo za tetraeder!

Nalogo reši še praktično, tako da dejansko zmeriš upornost.

O nekem neskončnem iracionalnem izrazu

Objavljeno ,

kvadratni koreni

Zanimamo se za neskončne izraze oblike

    \[x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(1)\]

pri čemer je a>0.

Vrednost takega izraza določimo tako, da najprej opazimo identičen izraz pod korenom, torej

    \[x=\sqrt{a+x},\]

rešimo ustrezno kvadratno enačbo

    \[x^2-x-a=0\]

in dobimo (zanima nas samo pozitivna rešitev)

    \[x=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\quad\quad\quad(2)\]

Torej, če je a=1, dobimo zlato število

    \[\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi,\]

če je a=2, pa

    \[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{1+8}}{2}=2.\]

Vprašajmo se, za katera števila a je vrednost izraza x naravno število.

V (2) opazimo, da mora biti izraz pod korenom lihi kvadrat, torej kvadrat lihega števila. Torej

    \[1+4a=m^2,\]

od koder dobimo

    \[a=\frac{(m+1)(m-1)}{4}.\quad\quad\quad (3)\]

Upoštevajmo še, da je m=2n-1, vstavimo v (3), pa dobimo

    \[a=n(n+1).\]

Vrednost izraza (1) je torej naravno število, če je a produkt zaporednih naravnih števil.

Andrej Jakobčič je predlagal še hitrejši dokaz:

Enaćbo

    \[x^2-x-a=0\]

je predelal takole

    \[x(x-1)=a,\]

pa se zahteva za a takoj vidi.

Število a mora torej biti dvakratnik trikotniškega ali podolžno število.

tretji koreni

Ponovimo zgodbo s tretjimi koreni. Zanima nas torej, ali je kdaj izraz oblike

    \[x=\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(4)\]

pri čemer je a poljubno celo število, tudi celo število.

Izraz kubiramo, pa dobimo enačbo

    \[x^3-x-a=0.\quad\quad\quad 5\]

Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj eno realno ničlo, recimo ji b. Delimo  (5) z x-b, pa dobimo

    \[x^3-x-a=(x-b)(x^2+bx+b^2-1)+b(b^2-1)-a.\]

Če naj bo b ničla, mora biti ostanek b(b^2-1)-a=0, od koder sledi

    \[a=(b-1)b(b+1).\]

Če torej hočemo, da bo rezultat celo število b, mora biti a=(b-1)b(b+1).

Pridelamo lahko torej poljubno naravno število b>1, če za a izberemo a=6,24,60, 96,...

Veljajo torej naslenje neenakosti:

    \[\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots}}}}=2,\]

    \[\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots}}}}=3,\]

    \[\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\dots}}}}=4,\]

itd..

Mimogrede

    \[\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots}}}}=P,\]

je plastična konstanta…

Posplošitev

Oglejmo si torej vgnezden radikal

    \[x=\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\dots}}}}.\quad\quad\quad (6)\]

Po potenciranju dobimo polinom

    \[x^n-x-a=0,\]

ok koder dobimo

    \[a=x^n-x.\quad\quad\quad (7)\]

Obrnimo nalogo, pa vidimo: Če izberemo a tako, da bo veljalo (7) za poljuben x \in \cal{N}, bo imel izraz (6) vrednost x.

Primeri:

Ugotovi vrednost naslednjih vgnezdenih radikalov:

    \[x=\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\dots}}}},\]

    \[x=\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\dots}}}},\]

    \[x=\sqrt[5]{30+\sqrt[6]{30+\sqrt[5]{30+\sqrt[5]{30+\dots}}}},\]

    \[x=\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\dots}}}}.\]

Anton Berce: Naravni številski sistem

Objavljeno ,

Moj prijatelj in študijski kolega Anton Berce v članku Naravni številski sistem razširi pojem faktorsko na negativna števila, razloži naravni  številski sistem in uvede relativne binomske formule.

Avtor piše o članku naslednje:

“V recenzijo Obzorniku sem ga prvič poslal jeseni 2004, potem pa pilil po pripombah recenzentov do pomladi 2005, pozno poleti pa mi je urednik sporočil, da so dolgo tehtali ali bi objavili ali ne, vendar pa je prevladalo mnenje, da je za bralce Obzornika prezahteven. Sicer mi je res predlagal da temo poenostavim, meni pa je zmanjkovalo volje in moči in tudi službene ter druge obveznosti, ki sem jih vsaj eno leto zaradi članka odlagal so začele terjati obresti. ”

Kliknite na povezavo:

THE NATURAL NUMBER SYSTEM