Najdi minimalno vrednost izraza , če so a, b in c pozitivna števila, za katera velja .
Namig: uporabi Titujevo neenakost.
————————–
Rešitev:
Uporabimo neenakost:
Enakost velja, ko je
oziroma
Najdi minimalno vrednost izraza , če so a, b in c pozitivna števila, za katera velja .
Namig: uporabi Titujevo neenakost.
————————–
Rešitev:
Uporabimo neenakost:
Enakost velja, ko je
oziroma
Če številu 45 prečrtaš prvo števko, dobiš 9-krat manjše število.
Najdi število, ki s črtanjem prve števke postane 57-krat manjše.
Koliko rešitev ima naloga?
Najdi minimalno vrednost izraza , če so a, b in c pozitivna števila, za katera velja .
Namig: uporabi Titujevo neenakost (https://brilliant.org/wiki/titus-lemma/)
Poiščite bijektivno preslikavo . Nato pa zapište še .
V srednji šoli se četrtošolci srečajo z limito
Dokaz najdejo v svojem učbeniku. Med primeri uporabe te limite pa pogosto umanjkata naslednja:
Imejmo krog s središčem in polmerom , po Arhimedovo mu včrtajmo n-kotnik. Le-ta je iz skladnih enakokokrakih trikotnikov , njegova ploščina torej znaša
Če večamo n, gre ploščina n-kotnika proti ploščini kroga, zato je ploščina kroga S enaka
Uvedimo in opazimo, da ko gre , gre pa lahko pišemo
Dokazali smo torej obrazec za ploščino kroga.
Uporabimo večkrat obrazec za sinus dvojnega kota, pa dobimo produkt n faktorjev
Delimo zgornjo enačbo z x, pa dobimo
ali
V prvem faktorju na desni prepoznamo nastavek znane limite in ko gre gre ta faktor proti 1, dobimo pa produkt neskončnih cosinusov:
Na spletu najdemo,da je ta obrazec prvi našel slavni L.Euler. A če vanj vstavimo dobimo
Ta izraz pa je objavil Francois Viète leta 1593, torej več kot stoletje prej. Gre tudi za prvi primer zapisa neskončnega produkta sploh.