Kolikšen del ploščine spodnjega pravokotnika pa je suličasti list na sredini?
Spet navijamo za točen rezultat…
Na strani Azimuth je ameriški matematični fizik John Baez povzel nekaj tudi za srednješolce zanimivih geometrijskih nalog. Med drugim sta Hipokratovi luni, o čemer sem v blogu že pisal, nekaj nalog pa je svežih in nenavadnih.
Prva naloga govori o enakostraničnem trikotniku in pravi:
Pokaži, da so obarvane ploščine na skici med seboj v preprosti zvezi.
Tale dokaz je izvedel Stane Š. Uvedel je oznake in za ustrezne ploščine, stranico trikotnika pa označimo z a.
Potem pa je “pridno” računal:
In če zdaj te izraze dobro pogledamo, hitro (u)vidimo:\\
Druga naloga pa govori o polkrogih, ki sta v krog vrisana takole:
Naloga pravi: Pokaži, da se vsota ploščin obeh pokrogov preprosto izraža.
Označimo z središče kroga, z polmer velikega kroga, z razdaljo med in dotikališčem polkrogov, polmer malega polkroga z in polmer večjega polkroga z Črtkana trikotnika sta skladna, saj se ujemata v stranici in priležnih kotih. Zato lahko preberemo iz skice zvezo med polmeroma
Ko v obeh trikotnikih uporabimo Pitagorov izrek, dobimo tudi enačbi
Potrebujemo samo drugo zvezo. Vsota ploščin obeh polkrogov torej znaša
Nazadnje smo uporabili zvezo v desnem trikotniku. Vsota ploščin polkrogov je torej enaka polovici ploščine velikega kroga. S tem je izrek dokazan.
Zadnji izrek je znan šele od leta 2011:Glej Andrew K. Jobbings, Two semicircles fill half a circle, The Mathematical Gazette 95 (Nov. 2011), 538–540.
Glej tudi geometrijski dokaz Grega Egana.