Geometrija | Vincenc Petruna, Slovenija

Andrej je objavil naslednjo nalogo:

Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?

Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka $(n-2)\frac{180^o}{n}$ ali v radianih $(n-2)\frac{\pi}{n},$ pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo

$\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.$

Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo

$mn-6m-6n=0.\qquad(1)$

Iščemo torej taki naravni števili $m$ in $n,$ ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe $36$ in levo stran razcepimo. Dobimo

$(m-6)(n-6)=36$

Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je

$36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,$

vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari $(m,n):$

$(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).$

Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.

Imejmo trikotnik ABC in na stranici $c$ poljubno točko $D.$ Zveznico $\overline{CD}$ označimo z $d$ . Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek

Izrek trdi naslednje:

$m^2a+n^2b=c(d^2+mn).$

Dokaz: Kota $\angle ADC$ in $\angle CDB$ sta suplementarna, označimo ju z $\varphi$ in $180^o-\varphi.$ Ker je $\cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),$ zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek