Geometrijska z diofantskim pridihom

Andrej je objavil naslednjo nalogo:

Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?

Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka $(n-2)\frac{180^o}{n}$ ali v radianih $(n-2)\frac{\pi}{n},$ pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo

$$\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.$$

Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo

$$mn-6m-6n=0.\qquad(1)$$

Iščemo torej taki naravni števili $m$ in $n,$ ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe $36$ in levo stran razcepimo. Dobimo

$$(m-6)(n-6)=36$$

Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je

$$36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,$$

vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari $(m,n):$

$$(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).$$

Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik  in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik  in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.

Sangaku(109)

Osemkotnik

Ali je osemkotnik v spodnjem kvadratu pravilen?

Določi razmerje ploščin in obsegov osemkotnika in kvadrata. Rezultat naj bo, če se le da, točen.

Vincenc Petruna, 7 September 2014, Narejeno z GeoGebro