Projekcije v tehniki

V tehniki je v navadi telesa (predmete, izdelke) predočiti z risbo. Predmete narišemo v eni od značilnih projekcij, mere najlaže razberemo na risbi s pravokotnimi projekcijami (naris, tloris, stranski ris), obliko pa laže razberemo iz aksonometrične projekcije telesa, v tehniki je zaradi uporabnih lastnosti pogosto uporabljena izometrična projekcija.

Razpored pogledov je določen s pravili in standardi (v krajih čez lužo je v navadi nekolikanj drugačna razporeditev). Primer na sliki pokaže, kako se streže stvari. Na izometrični projekciji označimo smer pogleda za naris.


Tehniki so tako pogosto pred nalogo, da morajo iz ene projekcije ustvariti drugo – na papirju ali zaslonu, pred tem pa v glavi.

Kakšno telo?

V slovenskih tehničnih šolah že nekaj let poteka tekmovanje PIKO (Projekcije in kotiranje), kjer dijaki tekmujejo v znanju tehničnega risanja oz. prostorske predstavljivosti. Spodnja naloga je bila na šolskem tekmovanju 2017.

Na sliki so pravokotne projekcije (naris, stranski ris ter tloris) oglatega telesa. Narišite to telo v izometrični projekciji. Koliko rešitev ima naloga?

Geometrijska z diofantskim pridihom

Andrej je objavil naslednjo nalogo:

Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?

Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka $(n-2)\frac{180^o}{n}$ ali v radianih $(n-2)\frac{\pi}{n},$ pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo

$$\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.$$

Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo

$$mn-6m-6n=0.\qquad(1)$$

Iščemo torej taki naravni števili $m$ in $n,$ ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe $36$ in levo stran razcepimo. Dobimo

$$(m-6)(n-6)=36$$

Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je

$$36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,$$

vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari $(m,n):$

$$(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).$$

Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik  in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik  in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.