Arhivi Kategorije: Fizika

Nostalgija(2)

Objavljeno ,

Zadnjič sem pisal o tem, kako je Logo kakor feniks ponovno vstal iz pepela, tokrat v preobleki Pythonove želvje grafike. Nekaj preprostih ukazov , pa vam program lahko riše lepe krivulje. Grafika pa lahko postane nekaj posebnega, če pri njenem nastajanju uporabite rekurzijo – programerski prijem, s katerim velik problem razdelite na identične, a nekoliko manjše probleme. Seveda se to da narediti samo pri posebnih problemih. Včasih smo občudovali Hilbertove krivulje, krivulje Sierpinskega, hanojske stolpiče, celo permutacije se dajo programirati rekurzivno. A tokrat (pogled skozi okno pove, da še vedno sneži) si oglejmo Kochovo snežinko.

Koda je naslednja:

#Kochova snežinka, V.Petruna feb.2013
from Tkinter import *
import math
import turtle
a=80
def koch(x,stopnja):
    if stopnja<1:
        turtle.forward(x)
    else:
        koch(x/3,stopnja-1)
        turtle.left(60)
        koch(x/3,stopnja-1)
        turtle.right(120)
        koch(x/3,stopnja-1)        
        turtle.left(60)
        koch(x/3,stopnja-1)
turtle.heading()
turtle.penup()
turtle.setpos(-600,0)
turtle.pendown()
for n in range(5):    
    for i in range(3):        
        koch(243,n)
        turtle.right(120)
    turtle.penup()
    turtle.forward(243)
    turtle.pendown()
mainloop()

Dolžina 243 ni izbrana naključno, saj je to 3^5. Tako se izognemo napaki zaradi necelega deljenja. Program nam ustvari naslednjo risbico

Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Objavljeno ,

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo R=1\Omega.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja R_x?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo R_x dodamo eno vejo.

Velja

    \[R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x\]

    \[R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x\]

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za R_x

    \[R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0\]

    \[R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R\]

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom R_x=\varphi=1,618....
R_x je pravzaprav enak številu zlatega reza \varphi.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

R_1=R=1

R_2=R+R=2R=2

R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5

R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666

R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6

R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625

R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti

    \[\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, ...\]

alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

Radialni pospešek-izpeljava

Objavljeno ,

Izpeljava radialnega pospeška krožečega telesa sodi vsaj v srednji šoli med težje razumljivo snov, ki zahteva kar dobro tako matematično kot fizikalno podlago – od matematike elementarni  vektorski račun, poznavanje limitnega procesa, radianov in formule za krožni lok, od fizike pa računanje s silami in formule pri kroženju.  Razumevanje nam utegne olajšati naslednja animacija

S to animacijo nazorno pokažemo, da količnik dveh poljubno majhnih količin v splošnem ni majhen. Pokažemo tudi tako smer kot velikost radialnega pospeška. Ne pozabi opaziti, da v limitnem procesu velikost razlike hitrosti \Delta v lahko zamenjamo z dolžino pripadajočega krožnega loka. Tako pridemo do velikosti radialnega pospeška

    \[a_r=lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}}=lim_{\Delta t \to 0}{\frac{v\omega\Delta t}{\Delta t}}=\omega v=r\omega^2=\frac{v^2}{r}.\]

Poglavja iz kvantne mehanike v srednji šoli

Objavljeno ,

uvod

Zakaj na molekule zraka teža navidezno ne deluje, saj se ne zberejo na tleh? Zakaj se molekule neprestano gibljejo, biljardne krogle pa se vedno ustavijo? Po premisleku opazimo, da za delce, kot so molekule in atomi, veljajo drugačni fizikalni zakoni kot za makroskopske delce. Podobni premisleki in dodatni poskusi pa povedo, da za dovolj majhne, t.i. kvantne delce zakoni klasične fizike sploh ne veljajo. Nič ne moremo povedati o tiru takega delca, 2. Newtonov zakon za delec ne velja. Vse kar o kvantnem delcu lahko zvemo, je njegova valovna funkcija

    \[\Psi=\Psi(t,x,y,z),\qquad\qquad\qquad\qquad(1)\]

ki sama fizikalnega pomena nima, njen kvadrat pa pove verjetnost, da se delec ob času t nahaja na mestu (x,y,z). Valovno funkcijo delca zvemo, ko za dalec zapišemo in rešimo Schrödingerjevo enačbo. Ta za stacionarno stanje (s časom nespreminjajoče se) in v enodimenzionalni obliki zgleda takole

    \[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-W_p)\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(2)\]

Pri tem so m masa delca, W njegova skupna energija, W_p njegova potgencialna energija, h=6,6\cdot10^{-34}Js pa Planckova konstanta. Ni jasno, kako je Schrödinger prišel do nje, a didaktika fizike ponuja  izpeljavo, ki si jo bomo ogledali v nadaljevanju.

Izpeljava Schrödingerjeve enačbe

Opišimo s s funkcijo \Psi sinusno valovanje, ki se širi v smeri x-osi. Torej

    \[\Psi(t,x)=\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\]

pri čemer je \Psi_o amplituda, \omega=2\pi\nu krožna frekvenca in

    \[k=\frac{2\pi}{\lambda}\qquad\qquad\qquad\qquad(3)\]

valovno število, v katerem je skrita valovna dolžina valovanja \lambda.

Stacionarno stanje dobimo, če nas zanima samo krajevna slika. Zato pribijmo čas (kot pri fotografiranju) in \Psi dvakrat parcialno odvajajmo. Dobimo

    \[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\qquad\qquad\qquad\qquad(4)\]

. Upoštevajmo še (3), pa lahko zapišemo krajevni del valovne enačbe (4) takole

    \[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+k^2\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(5)\]

Sedaj pa se spomnimo na fotoefekt. Šele A. Einstein ga je pojasnil s postavko, da je svetloba ne le valovanje, temveč tudi curek delcev – fotonov, katerim je pripisal tudi maso, ki izvira iz njihove energije. Če namreč povežemo energijo fotona W=h\nu z formulo za energijo iz sprecialne teorije relativnosti, dobimo

    \[h\nu=mc^2,\qquad\qquad\qquad\qquad(6)\]

od tod pa izraza za maso fotona

    \[m=\frac{h\nu}{c^2}\qquad\qquad\qquad\qquad(7)\]

in njegovo valovno dolžino

    \[\lambda=\frac{h}{mc}.\qquad\qquad\qquad\qquad(8)\]

Zadnja enačba je napeljala Louisa de Brogliea na misel, da se tudi gibajoči delci obnašajo kot valovanje, pa jim je v skladu z (8) pripisal valovno dolžino

    \[\lambda=\frac{h}{mv},\qquad\qquad\qquad\qquad(9)\]

pri čemer je m masa, v pa hitrost delca.

Upoštevajmo (9) pri naslednjem računu

    \[k^2=\frac{4\pi^2}{\lambda^2}=\frac{4\pi^2m^2v^2}{h^2}=\frac{8\pi^2mW_k}{h^2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(10)\]

Vstavimo rezultat v (5) in upoštevajmo še, da je kinetična energija delca enaka razliki med celotno in potencialno energijo, torej

    \[W_k=W-W_p,\qquad\qquad\qquad\qquad(11)\]

pa res dobimo (2).

Ponazorimo vse te ugotovitve na treh primerih in primerjajmo tudi kvantno stanje s klasičnimi pričakovanji.

 Delec v vodoravni cevi

To je tudi edini primer, ki ga lahko obdelamo skoraj na ravni srednješolske matematike. Imejmo delec mase m, ki je zaprt v vodoravni cevi dolžine L. Klasično bi pričakovali, da ima lahko poljubno (nenegativno) kinetično energijo, in da je za vse točke cevi enako verjetno, da ga najdemo tam.

Za kvantni delec pa najprej zapišemo Schrödingerjevo enačbo

    \[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}W\Psi=0\]

Upoštevali smo, da je W_p delca enaka 0, saj je cev vodoravna.  Enačba je podobna tisti od sinusnega nihanja in tudi rešitev je podobna, torej

    \[\Psi(x)=\Psi_o\sin{\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}x}.\qquad\qquad\qquad\qquad(12)\]

Zapisali smo valovno funkcijo delca v cevi. Upoštevajmo še robni pogoj

    \[\Psi(L)=0,\qquad\qquad\qquad\qquad(13)\]

od koder dobimo

    \[\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}L=n\pi,\qquad\qquad\qquad\qquad(14)\]

pri čemer imenujemo n kvantno število, ki zavzame vrednosti n=1,2,3,\dots . Od tod izrazimo energijo delca

    \[W_n=\frac{h^ 2}{8mL^2}n^2.\qquad\qquad\qquad\qquad(15)\]

Opazimo prvo važno razliko med klasičnim in kvantnim delcem. Medtem ko je energija klasičnega delca zvezna in lahko zavzame poljubne vrednosti, je energija kvantnega delca diskretna, spreminja se lahko samo v skokih. Energija kvantnega delca tudi ne more biti 0, je pa najmanjša v stanju n=1.

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n

    \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]

Valovne funkcije delca za prva 4 kvantna števila

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n

    \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]



Kvadrat teh funkcij pove verjetnost, kje se delec nahaja, torej

    \[P_n=\Psi_n^2=\Psi_o\sin^2{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(17)\]

Opazimo torej, da je ta verjetnost odvisna od kvantnega števila n. Pri n=1 je najbolj verjetno, da najdemo delec na sredini, pri n=2 pa, da ga najdemo na prvi in tretji četrtini cevi, itd.

Grafi verjetnosti , da je delec na mestu x palice, za prva 4 kvantna števila.

Spet opazimo, da se verjetnost kvantnega delca zelo razlikuje od verjetnosti klasičnega delca. Verjetnost kvantnega delca se verjetnosti klasičnega delca približa šele v limiti, ko gre n\to\infty.

Harmonični oscilator

Klasično je harmonični oscilator lahko telo mase m, pripeto na vzmet s koeficientom k, kvantno pa si lahko predstavljamo atom v dvoatomni molekuli, v kateri ime vlogo sile vzmeti medatomska sila,  Klasični delec se nahaja vedno med na intervalu [-s_o,s_o], pri čemer je s_o amplituda nihanja. Najbolj verjetno je, da delec najdemo v skrajnih legah legi, najmanj pa, da ga najdemo v ravnovesni legi, saj gre skoznjo najhitreje. Graf verjetnosti klasičnega delca, da ga najdemo v legi x,  ima torej približno naslednjo obliko

Za kvantni delec pa je vse, kar lahko na našem nivolju naredimo, da zapišemo Schrödingerjevo enačbo, ki v enodimenzionalni obliki zgleda takole

    \[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-\frac{kx^2}{2})\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(18)\]

Upoštevali smo, da je potencialna energija v tem primeru prožnostna energija delca.

Rešiti enačbe v srednji šoli sicer ne znamo, a zgodba se ponovi. Energija delca je spet kvantizirana, a zaradi oblike potencialne energije tokrat drugače kot prej.

    \[W=\frac{h\nu}{2}+nh\nu=h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right).\qquad\qquad\qquad\qquad(19)\]

To pomeni, da so razmiki med energijskimi stanji tokrat enakomerni.

PTR v srednji šoli (11)

Objavljeno ,

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

    \[\vec{F}=m\vec{a}\]

ne velja,  saj  masa telesa ni stalna, temveč odvisna  od hitrosti. Zapisati ga moramo  takole

    \[\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},\]

pri čemer je

    \[\vec{G}=m\vec{v}\]

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

    \[A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}\]

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

    \[\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},\]

nato pa uvedemo novo spremenljivko

    \[1-\frac{v^2}{c^2}=u.\]

Dobimo, da je zadnji integral enak

    \[m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\]

kar skupaj da iskano funkcijo

    \[\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.\]

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

    \[A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.\]

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

    \[W=mc^2~~~~(1)\]

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

    \[W_o=m_oc^2~~~~(2)\]

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc².

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

    \[W=W_o+W_k.\]

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

    \[W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).\]

Pri tem je seveda \gamma relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.

Naprej