Osnove kinetične teorije plinov

Obravnavajmo plin mase m, zaprt v kockasti posodi s ploskvami površine S in prostornino V kot množico N molekul mase m_1, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo v v vseh smereh v posodi in se prožno odbijajo od sten. Uvedimo številsko gostoto molekul n kot število molekul na enoto prostornine, torej

    \[n=\frac{N}{V},\]

Predpostavimo lahko, da se \frac{N}{6} molekul giblje proti desni ploskvi posode in da je v plasti z debelino vt ob tej ploskvi nSvt molekul.

Ker se vsaka molekula od stene prožno odbije, je po izreku o gibalni količini sunek sile, s katero stena deluje na to molekulo, enaka spremembi njene gibalne količine, torej

    \[F_1t=2m_1v.\]

Za vse molekule plina pa velja

    \[Ft=\sum{F_1t}=\frac{nSvt}{6}\cdot 2m_1v=\frac{nSm_1v^2t}{3}.\]

Delimo to enačbo z St, pa dobimo izraz za tlak plina p

    \[p=\frac{nm_1v^2}{3}=\frac{\rho v^2}{3}.\]

Tole je torej prvi uspeh kinetične teorije – pojasni, kaj je tlak. Tlak plina je torej makroskopski pojav, ki je posledica trkov molekul plina s steno in je, kot vidimo, odvisen od gostote plina (\rho=nm_1) in od kvadrata povprečne hitrosti molekul tega plina.

Izrazimo iz zgornje enačbe skupno kinetično energijo teh molekul plina mase m_1, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo v.

Ker je

    \[p=\frac{\rho v^2}{2}=\frac{mv^2}{3V}\]

S pomočjo splošne plinske enačbe dobimo

    \[W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{3pV}{2}=\frac{3mRT}{2M}.\]

Zgornjo enačbo delimo s številom vseh molekul N, pa dobimo povprečno kinetično energijo ene molekule \overline{W_k} kot

    \[\overline{W_k}=\frac{W_k}{N}=\frac{m_1v^2}{2}=\frac{3Nm_1RT}{2N_Am_1N}=\frac{3RT}{2N_A}=\frac{3}{2}k_BT.\]

V zadnjem koraku smo uvedli Boltzmannovo konstanto k_B=\frac{R}{N_A}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}. Zadnja enačba pojasnjuje temperaturo plina. Temperatura plina je torej mera za povprečno kinetično energijo molekul tega plina.

Tako kinetična teorija že na začetku pojasni dve makroskopski količini – temperaturo in tlak.

Splošna plinska enačba v srednji šoli

Plini se v srednji šoli obravnavajo tako pri fiziki kot pri kemiji. Sam bom ubral pot, ki sem jo dolga leta uporabljal pri fiziki. Splošno plinsko enačbo, oziroma njeno prvo obliko, smo izpeljali iz plinskih zakonov – Boylovega in Gay-Lussacovega. Vsakega od teh zakonov smo prej prej potrdili s poskusom.

Imejmo torej plin pri tlaku p_o, v posodi prostornine V_o in pri absolutni temperaturi T_o. Na kratko opišemo njegovo stanje kot (p_o,V_o,T_o). Stisnimo ga pri stalni temperaturi na prostornino V', torej

    \[(p_o,V_o,T_o)\Longrightarrow (p,V',T_o).\]

Pri tej spremembi seveda velja Boylov zakon, torej

    \[pV'=p_oV_o\]

,

produkt tlaka in prostornine plina se pri izotermni spremembni ne spremeni.

Nato pa ravno ta plin segrejmo pri stalnem tlaku, torej

    \[(p,V',T_o)\Longrightarrow (p,V,T).\]

Pri tej spremembi pa velja Gay-Lussacov zakon, torej

    \[\frac{V}{T}=\frac{V'}{T_o}.\]

Iz obeh zakonov izrazimo V' in izenačimo, pa dobimo prvo obliko splošne plinske enačbe:

    \[\frac{pV}{T}=\frac{p_oV_o}{T_o}.\]

Upoštevajmo zvezo m=\rho V=\rho_o V_o in vstavimo to v prvo obliko, pa dobimo drugo obliko splošne plinske enačbe

    \[\frac{p}{\rho T}=\frac{p_o}{\rho_o T_o}.\]

Označimo desno stran z r, torej r=\frac{p_o}{\rho_o T_o}, in jo imenujmo specifična plinska konstanta, saj je odvisna od vrste plina. Izračunajmo jo za zrak, pri čemer upoštevajmo, da ima zrak pri 0^oC in tlaku 1 bar gostoto 1,29kg/m^3. Dobimo torej

    \[r=\frac{10^5\frac{N}{m^2}}{1,29\frac{kg}{m^ 3}273K}=284\frac{J}{kgK}.\]

Upoštevamo r v drugi obliki, torej \frac{p}{\rho T}=r. Malo preuredimo, pa dobimo tretjo obliko s specifično plinsko konstanto

    \[pV=mrT.\]

Do sedaj smo imeli maso plina fiksirano, vendar tudi maso plina lahko spreminjamo, tako da plin dodajajmo ali odvzemamo. Ob nespremenjenem tlaku in temperaturi je prostornina plina premo sorazmerna z maso in to ob upoštevanju plinske enačbe zapišemo takole

    \[V=V_o\frac{p_o}{p}\frac{T}{T_o}\frac{m}{m_o},\]

od koder dobimo

    \[pV=m\frac{p_oV_o}{T_om_o}T.\]

Za začetno maso plina m_o vzamemo kar maso enega kilomola plina M.(Kemiki pa raje delajo z molom, ki je tudi enota za množino snovi.) M je torej toliko kilogramov plina, kolikor znaša njegova relativna molekulska masa. Po Avogadroverm zakonu ima kilomol poljubnega plina 6\cdot 10^{26} molekul in pri standardnih pogojih (tlak p_o=1bar, temperatura T_o=0^oC=273K) prostornino V_o=22,4m^3. . Zato je smiselno definirati splošno plinsko konstanto R takole

    \[R= \frac{p_oV_o}{T_o}=\frac{10^5\frac{N}{m^2}22,4m^3}{273K}=8300\frac{J}{Kkmol}.\]

Za razliko od specifične plinske konstante r je splošna prinska konstanta R za vse pline enaka. Z njo zapišemo četrto obliko splošne plinske enačbe

    \[pV=\frac{m}{M}RT.\]

Upoštevajmo še, da je množina snovi n=\frac{m}{M}, pa lahko zapišemo tudi peto obliko

    \[pV=nRT\]

Nazadnje uvedimo Boltzmannovo konstanto k kot k=\frac{R}{N_A},

    \[k=\frac{8300\frac{J}{Kkmol}}{\frac{6\cdot 10^{26}}{kmol}}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}.\]

Z njo lahko zapišemo, potem ko upoštevamo m=Nm_1 in M=m_1N_A, pri čemer je N število molekul plina, še šesto obliko

    \[pV=NkT.\]

Vse enačbe veljajo za idealen plin, za realen pa so samo približek.

Grafični prikaz gibanja satelita okrog Zemlje

V poljubno verzijo Pythona dodamo katero od grafičnih knjižnic. Prav preprosta je graphic.py . Namestimo jo na disk tako, da postane Pythonu vidna, preberemo še navodila na začetku knjižnice in lahko začnemo s programiranjem grafike. Tako recimo koda

from math import *
from graphics import *
def delay(m):
    for i in range(1000*m):
            continue
def main():
    mx=600    # širina in višina okna
    my=400
    win=GraphWin("Moj Krog",mx,my,autoflush=False)
    p=Rectangle(Point(0,0),Point(mx,my))
    p.setFill("white")
    c=Circle(Point(mx/2,my/2),10)      #Zemlja je modri krogec
    c.setFill("blue")
    p.draw(win)
    c.draw(win)
    dt=10                  #interval med računi leg
    x=mx/3                 #začetna lega
    y=0
    vx=0                   # začetna hitrost
    vy=0.04                # to komponento malo spremeni 
    while True:
        r=sqrt(x*x+y*y)   # račun razdalje satelit-Zemlja
        ax=-x/(r*r*r)     # pospešek satelita sledi iz 
        ay=-y/(r*r*r)     # gravitacijskeg azakona
        vx=vx+ax*dt       # račun nove hitrosti
        vy=vy+ay*dt       
        x=x+vx*dt         #račun nove lege satelita 
        y=y+vy*dt
        t=Point(mx/2+x,my/2-y)     # risanje satelita
        t.setFill("red")
        t.draw(win)
        delay(100)
        #t.setFill("white")
        #t.draw(win)
        update()
    win.getMouse()
    win.close()
main()

spravimo v gibanje satelit okrog Zemlje.

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici c poljubno točko D.  Zveznico \overline{CD} označimo z d. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

    \[m^2a+n^2b=c(d^2+mn).\]

Dokaz: Kota \angle ADC in \angle CDB sta suplementarna, označimo ju z \varphi in 180^o-\varphi. Ker je \cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

    \[\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.\]

Preuredimo in dvakrat upoštevamo m+n=c, pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Poučevanje matematike v praksi

Čeprav sem v gimnaziji poučeval tudi druge predmete, sem večino svojega časa posvetil ravno matematiki. To delo je težko, zdi se mi težje od poučevanja drugih predmetov, ima pa tudi svoje čare, ki jih drugi predmeti nimajo. Prave usposobljenosti za to fakulteta ne da, vsaj meni je ni, kljub raznim predmetom, kot so didaktika in metodika matematike ter praktičnim nastopom v razredu. Didaktika se mi je zdela skupek visoko prežvečene teorije brez realne koristi, metodiko pa mi je predavala nevrotična gospa brez stika z realnostjo. Dosti kasneje sem, ko sem imel praktikantko, srečal še enega metodika, ki je prav tako plaval v lastnem milnem mehurčku nekje nad zemljo. Tem ljudem kronično manjka vsaj četrtino  delovnega časa preživetega v srednji šoli v stiku z realnimi problemi.  Pri svoji nastopih se praktikant sicer pripravi in tudi izpelje učno uro, a to je pravzaprav najlažji del poučevanja. Sam režim dela, motivacija dijakov, preverjanje in ocenjevanje mu ostaneta neznana, dokler se s tem ne spopade vsak učitelj sam samcat v razredu.

Učni načrt za matematiko  v gimnazijah obsega pregled smotrov, vsebinskih in procesnih znanj ter osvojenih kompetenc udeleženca izobraževanja. Kljub povezavi nekaj smotrov in kompetenc navajam, da dobimo vtis, za kako pomemben predmet gre.  Smotri so naslednji:

  1. razvijati matematično mišljenje: abstraktno-logično mišljenje in geometrijske predstave;
  2. spoznavati zgradbo matematičnih teorij in spoznati osnovne standarde matematičnega sklepanja;
  3. prepoznavati vprašanja, na katera matematika lahko ponudi odgovor;
  4. spoznavati pomen matematike kot univerzalnega jezika in orodja;
  5. izražati se v matematičnem jeziku, ustno, pisno ali v drugih izraznih oblikah; •
  6. uporabiti matematiko v kontekstih in povezovati znanje znotraj matematike in tudi širše (medpredmetno);
  7. postavljati ključna vprašanja, ki izhajajo iz življenjskih položajev ali pa so vezana na raziskovanje matematičnih problemov;
  8. spoznavati matematiko kot proces, razvijati ustvarjalnost ter zaupati v lastne matematične sposobnosti;
  9. spoznavati in uporabljati različne informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT) kot pomoč za učinkovitejše učenje in reševanje problemov;
  10. presojati, kdaj je smiselno uporabiti določeno informacijsko-komunikacijsko tehnologijo in razviti kritičen odnos do informacij na spletu.
  11. Matematična kompetenca je sposobnost uporabe matematičnega načina razmišljanja za reševanje različnih matematičnih in interdisciplinarnih problemov, sposobnost doživljanja matematike kot kulturne vrednote ter sposobnost doživljanja in interpretacije sveta. Pri tem je pomembno, da so intuitivni procesi reševanja podkrepljeni s pravili logike (razmišljanje in izpeljevanje zaključkov, argumentiranje, oblikovanje modelov, formuliranje in reševanje problemov). Matematična kompetenca vključuje:
  12. poznavanje, razumevanje in uporabo matematičnih pojmov in povezave med njimi ter izvajanje in uporabo postopkov;
  13. sklepanje, posploševanje, abstrahiranje in reflektiranje na konkretni in splošni ravni;
  14. razumevanje in uporabo matematičnega jezika (branje, pisanje in sporočanje matematičnih besedil, iskanje in upravljanje z matematičnimi viri);
  15. zbiranje, urejanje, strukturiranje, analiziranje, predstavljanje podatkov ter interpretiranje in vrednotenje podatkov oz. rezultatov;
  16. sprejemanje in doživljanje matematike kot uporabnega orodja in kulturne vrednote;
  17. uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije pri usvajanju novih matematičnih pojmov, izvajanju matematičnih postopkov, preiskovanju in reševanju matematičnih problemov in uporabi v naravoslovju;
  18. raziskovanje in reševanje problemov.

Poleg matematične kompetence, ki je pri pouku matematike seveda najbolj poudarjena, pa učitelji in učiteljice matematike lahko z ustreznimi načini dela spodbujajo razvoj še drugih kompetenc:

  1.  sporazumevanje v maternem jeziku (slušno razumevanje, govorno sporočanje, bralno razumevanje, pisno sporočanje);
  2. sporazumevanje v tujih jezikih (predstaviti osnovno matematično besedilo v enem tujem jeziku);
  3. učenje učenja (načrtovanje lastnih aktivnosti, odgovornost za lastno znanje, samostojno učenje, razvijanje metakognitivnih znanj, delovne navade);
  4. samoiniciativnost in podjetnost (ustvarjalnost, dajanje pobud, ocena tveganj, sprejemanje odločitev);
  5. razvijanje osebnostnih kvalitet (socialnost, medsebojne vrednote, obvladovanje čustev) in razvijanje pozitivne samopodobe.

V povezavi z naravoslovnimi predmeti spodbujamo naravoslovno-matematične zmožnosti za raz­voj kompleksnega mišljenja: Iskanje, obdelava in vrednotenje podatkov iz različnih virov:

  1. zmožnost presoje, kdaj je informacija potrebna,
    • načrtno spoznavanje načinov iskanja, obdelave in vrednotenja podatkov,
    • načrtno opazovanje, zapisovanje in uporaba opažanj/meritev kot vira podatkov,
    • razvijanje razumevanja in uporabe simbolnih/grafičnih zapisov,
    • uporaba IKT za zbiranje, shranjevanje, iskanje in predstavljanje informacij; uporaba osnovne strokovne terminologije pri opisovanju pojavov, procesov in zakonitosti:
  2. razvijanje eksperimentalnih spretnosti in metod raziskovanja,
    • navajanje na izbiro in uporabo primerne in varne opreme,
    • opredelitev dejavnikov poskusov (eksperimentov); razlikovanje med konstantami in spremenljivkami,
    • presoja zanesljivosti pridobljenih rezultatov,
    • navajanje na argumentirano zaključevanje pri predstavitvi;
  3. odnosna in odločitvena zmožnost:
    • zavedanje, kako naravoslovno-matematične znanosti in tehnologija vplivajo na življenje in okolje,
    • prepoznavanje in preprečevanje nevarnosti v skrbi za zdravje,
    • posobnost za odgovorno in aktivno sodelovanje pri razreševanju problemov in trajnostnem sonaravnem razvoju.

Pomembni dejavniki pri vseh ključnih kompetencah so:

  1. kritično mišljenje,
  2. ustvarjalnost,
  3. dajanje pobud,
  4. reševanje problemov,
  5. ocena tveganj,
  6. sprejemanje odločitev,
  7. konstruktivno obvladovanje čustev.

Natančneje so dejavnosti za razvoj kompetenc razdelane tu.

Iz vsega zapisanega lahko vsak vidi, da je doseganje teh ciljev bolj spisek pobožnih želja in napotek za delo kot pa obveznost, ki naj bi jo učitelj z učenci dosegel. Vseh zapisanih kompetenc tudi nihče ne preverja, saj so vsaj nekatere težko preverljive. Podajo pa dober odgovor na vprašanje, ki ga marskdaj slišimo iz dijaških ali starevških ust: “Zakaj bom pa matematiko sploh potreboval?” V teh burnih časih, ko stara znanja zastarevajo in  uveljavljeni poklici izumirajo, matematika boljše kot vse drugo pripravlja na sposobnost reševanja problemov, ki se pojavljajo danes ali se  bodo šele pojavili v prihodnosti.

Robni pogoji

V gimnazijskem programu je matematiki namenjeno 560 ur, kar pomeni 140 ur na leto ali 4 ure na teden vsako leto. Nekatere šole dodajo med nerazporejenimi urami v tretjem letniku še pol ure, v četrtem pa celo uro, tako da se število ur lahko povzpne na 560+17+35=612 ur. Zakaj toliko časa, je evidentno iz zastavljenih ciljev, dodaten razlog pa je še objektivna težavnost snovi. Poučevati pregled dognanj, do katerih so dveh tisočletjih prišli največji umi človeštva, je kljub ustaljenim didaktikam poseben izziv, zahteva od učiteljev izjemno metodičnost, od dijakov pa trdo vsakodnevno delo, zelo podobno treningu športnika.  Štirje učbeniki ponujajo okrog 3600 nalog, pri čemer vaje z uporabo informacijsko komunikacijske tehnologije (IKT) niso vštete. Tudi povprečen dijak bi moral narediti vsaj 2000 nalog v tem obdobju. Praktično to pomeni 9 nalog po vsaki uri matematike (5 povprečni dijak). Težko dovolj poudarim, kako je pomembna je vaja doma – pisanje domačih nalog. Brez nje hitro pride do pomanjkanja zidakov v nastajajoči zgradbi in stavba se slej kot prej podre.

Pri uresničevanju teh ciljev šolski sistem ni na strani učiteljev. Šola in učitelji so v tej državi tretirani kot poraba, zato se sredstva zanje skopo odmerjajo. Posledica take obravnave je, da ministrsvo z Zavodom za šolstvo namesto resnih uvajanj novosti uvaja bolj kozmetične, prednost pa imajo take, ki čim manj stanejo. Resne evalvacije stanja se ne delajo, spremembe se uvajajo ad hoc, evalvacij teh sprememb tudi ni.

Kot primer opišem šolski sklad učbenikov. Učenci dobijo učbenike na posodo v šoli, na koncu šolskega leta pa jih vrnejo. Potreba po šolskem skladu učbenikov je sama po sebi zelo zanimiva – v nekem prejšnjem sistemu mi je mama kljub eni sami plači v družini kupila vsako leto avgusta vse učbenike za srednjo šolo. Učenec npr. ne more obdržati matematičnega učbenika, ki ga je dobil iz šolskega sklada.  Sedaj pa če učenec v drugem letniku pozabi kaj snovi iz prvega letnika, ne more pogledati na učbenik na svoji polici – preostanejo mu samo svoji, pri slabših dijakih neuporabni zapiski, ali splet. Da dijaki  zelo hitro pozabljajo, je jasno, saj novo znanje izpodriva staro. V četrtem letniku jim založbe raje ponudijo dodaten nakup – knjigo Priprava na maturo. Poleg tega ministrstvo na  vsako, še tako usekano in običajno anonimno pritožbo starša ali dijaka pošlje na šolo inšpektorja, ki nekaj časa masira ravnatelja zato, da potem le-ta masira dotičnega učitelja vse leto.

Tudi šolski koledar ni učiteljev zaveznik. Vanj se je vtihotapilo nenavadno veliko dejavnosti, kot so ekskurzije, zimovanja, plesni festivali, vožnje za vozniški izpit med poukom, informativni dnevi, maturantski plesi, tehnični dnevi, naravoslovni dnevi, kinopredstave, ogledi dramskih predstav, športni dnevi, ki skrešejo število ur matematike celo dijaku, ki ne zboli za gripo niti ne šprica pouka.

Niti ravnatelj pouku matematike ni naklonjen. Na urnik postavlja matematiko tudi na konec urnika, športno vzgojo pa zaradi ljubega miru v sredino med najbolj efektivne ure. Poleg tega zahteva v svoji nevednosti od učitelja še sestavo preverjanj pred testom, kot da dijaki ne bi imeli že dovolj nalog v učbenikih. V problematiko poučevanja tega predmeta se praviloma ne poglobi, razen če morda ni sam morda matematik ali vsaj naravoslovec. Hud je na naravoslovce in posebej matematike, kajti pri teh predmetih so ocene pri teh predmetih običajno nižje  od ostalih, tako da nanj pritiskajo besni starši in občasno celo inšpekcija.V borbi za vpis, potem ko je bila pri financiranju šole uvedena glavarina in je vsak dijak vreden 8000 evrov, obtoži matematike posredno ali neposredno, da so krivi za slab vpis. Vse to kali njegov ljubi mir in mu manjša možnosti, da bo ponovno izvoljen.

Dijaki danes pravzaprav niso dosti drugačni, kot smo bili mi. So pa malo bolj razpeti med različnimi možnostmi, ki se danes ponujajo, in zato jim za za šolo včasih zmanjkuje časa. Zato včasih poskusijo iskati bližnjice do uspeha v šoli, včasih tudi manj primerne.

In starši? Starši kot starši. Njihov naraščaj jih je že davno ovil okoli prsta, plešejo tako, kot mladina igra. Koliko starš ve o šoli, je obratno sorazmerno z njegovo prisotnostjo na roditeljskih sestankih in govorilnih urah. Če je dijak  v šoli uspešen, je to zato, ker je naravno nadarjen (podedovano seveda), če pa mu gre slabše, je učitelj hudičev. Vsi bi radi imeli uspešne otroke, a po bližnjici, tako da jih že malo več domače naloge njihovemu naraščaju iztiri. Njihovo razmišljanje je izrazito kratke sape.

Iz navedenega se vidi, da nekje mora počiti. Popusti najšibkejši člen v tej verigi – učitelj. Ker ima velike težave pri pridobivanju izključno pozitivnih ocen, sledi svojim kolegom iz drugih predmetnih skupin, ki so se že zdavnaj  prilagodili, in sestavi kolikor le more lahek test. Dijake, ki niti tega ne zmorejo pisati pozitivno, ponovno izpraša in jih oceni z oceno najmanj dobro. Izpraša jih individualno, na štiri oči, tako da niti njegovi sošolci ne morejo primerjati njegovega znanja.  In tako gre naprej iz leta v leto do osnovnega nivoja mature, ki je postal tako lahek, da ga itak vsak naredi. Rezultati mednarodnih raziskav, kot je npr. TIMMS, s katero se hvali oblast, zavajajo, saj so namenjeni osnovnošolcem, o srednješolcih ne povedo nič.

Posledica takega stanja je, da so vsaj nekatere fakultete  v predmetnik svojih prvih letnikov uvedle proseminarje – predmete, v katerih se ponavlja gimnazijska matematika.

Uvedbo IKT so učitelji  marsikje zmetali iz matematike, zakaj, kje težko reči. Eden  od vzrokov je lahko ta, da je učitelji sami ne obvladajo. Izobraževanje učiteljev je namreč na psu, večina ga je prepuščena študijskim skupinam, ki so v Ljubljani ali v Slovenskih Konjicah v popoldanskem času in na katere se učitelji vozijo  potem, ko so opravili s poukom na svoji šoli. Jasno je, da utrujen učitelj ni zelo dojemljiv za novosti. Znanja, ki naj bi ga od tam odnesel, tudi nihče ne preverja, dovolj je potrdilo o sodelovanju. Drug razlog je, da čas porabijo za utrjevanje klasične snovi, in tretji, da v razredu nimajo ustrezne tehnologije, računalnica na šoli pa je ves čas zasedena. Računalniki in dataskopi so prišli v matematične učilnice šele nekaj let nazaj. Škoda, pred kratkim so zelo imenitni matematični programi dostopni tudi na telefonih dijakov, a jih dijaki ne znajo uporabljati, ker jim učitelj ne pokaže, kako.

V nadaljevanju bom opisal moj način poučevanja, ki je težave vsaj nekaj časa delno amortiziral.

Zgradba učne ure

Kot zapisano, bistveno pri pri pouku matematike je stalna vaja dijakov. Zato sem v ospredje postavil dijake, njihove domače naloge in domače delo.  Skoraj vsako uro sem pričel s formalnim pregledom domače naloge. Pred tem sem dopuščal opravičila, a sem to evidentiral in naslednjo uro je moral tak dijak samoiniciativno na začetku ure prinesti pokazat napisano nalogo. Pregled mi je pokazal ali, koliko in kako so dijaki nalogo napisali. Nekatere sem vprašal, ali se jim je morda kam mudilo, ter pohvalil tiste, ki so imeli vse in lepo napisano. Dijaki so v učilnici sedeli po osem v eni vrsti, na oba konca vrste so dali v pregled po štiri naloge. Za tak pregled in vidiranje sem porabil dve do tri minute. Nato so sledila vprašanja dijakov v zvezi z domačo nalogo. Dijak, ki je spraševal, je ob moji in razredni pomoči potem nalogo naredil na tablo. Vsako uro so lahko vprašali dve do tri naloge. Včasih sem tudi sam izbral zanimivejšo naloge iz domačega dela in vprašal:”Kdo bo pokazal, kako jo je rešil?”.  Uspešne prikaze sem beležil. Vse skupaj je trajalo do 15minut, praviloma vsako uro. O domačem delu dijakov sem vodil evidenco  – včasih z  znaki, potem, ko je nastala splošna gonja proti njim, pa spet  z znaki, le da nihče razen mene ni vedel, kaj pomenijo.

Nato je običajno sledila razlaga. Pisal sem na tablo s kredo, tablo sem razdelil na 3 enake dele. Vse definicije in izreke sem ob počasnem govorjenju zapisal na tablo. Razlago sem dopolnjeval s vprašanji, na katere so odgovarjali predvsem naprednejši dijaki, in tako preverjal, koliko razumejo povedano in koliko se spomnijo pretekle snovi. Običajno sem razlago podkrepil s prav kratkimi primeri. Trajala je samo 12-20 minut. Nato so sledile vaje iz te nove snovi in priprava na domačo nalogo. Spet so pred tablo prihajali dijaki in običajno iz vsake naloge, ki bo namenjena delu doma, naredili vsaj en primer. Tako smo naredili  3-4 primere, včasih tudi več. Naloge so bile iz njihovih učbenikov Linea, Planum, Spacium iin Tempus, včasih tudi iz Štalčevih vaj, ki so jih prav tako imeli moji dijaki.  Dijake sem vzpodbujal k označevanju rešenih nalog.

Na koncu ure sem nekaj minut porabil za navodila za domačo nalogo. Dal sem jim najprej rešene primere iz učbenikov z navodilom, da rešeni del prekrijejo in odkrivajo samo po potrebi ali na koncu. Nato so sledile naloge, ki naj bi jih naprednejši dijaki končali v pol ure.

S takim režimom dela sem bil zadovoljen. Dijaki vsaj na začetku malo manj, ker je domače delo zahtevalo nekaj časa. A v splošnem je med njimi prevladovalo mnenje, da matematika ni težka, če delaš sproti. Dijakov brez naloge praktično ni bilo, zelo občasno sem  naletel na kakega. Nekaj več je bilo prepisovanja naloge zjutraj v  šolski jedilnici, in nepopolne naloge. Nepopolne naloge nisem sankcioniral, celo spodbujal sem jih, naj spuščajo primere, za katere ocenijo, da jih znajo rešiti in ki jih nič novega ne naučijo.

uporaba ikt

Kalkulatorji

Uporaba kalkulatorjev  je bila vsaj pri nekaterih vsebinah obvezna. Dijakom je treba posebej pokazati pretvorbo kota v stopinje, minute in sekunde, delo s  spominom, nastavitev kalkulatorja za vnašanje kotov v stopinjah ali radianih, za normalen ali inženirski izpis, tipke za kombinatoriko in še  kaj.

Pametni telefoni

V času mojega poučevanja jih še ni bilo, jih pa kot inštruktor matematike zelo priporočam, predvsem programe Geogebro vsaj za risanje funkcij, spletno stran Wolfram Alpha in program za preglednice.

Predglednice

Ves čas sem dal precej poudarka IKT. Začeli smo s preglednicami v prvem letniku, obravnavali smo reševanje sistema enačb.  Nadaljevali smo v tretjem z medodo bisekcije in Newtonovo metodo, tu so dobili tudi prvo nalogo. Ko sem dobil v učilnico dataskop, sem lahko dal precej natančna navodila dijakom, da so doma lahko izdelali preglednico. Za izdelavo amortizacijskega načrta sem jim izdelal z orodjem Wink animacijo, ki jim je pomagala, da so amortizacijski načrt z individualiziranimi podatki lahko izdelali doma in mi ga prinesli pokazat.

Geogebra

Tudi za Geogebro sem jih navdušil v prvem letniku. Spet je zelo pomagal dataskop, prej mi je moral cel razred gledati čez ramo. Vsi so si doma naložili geogebro, večina jo je uporabljala za risanje grafov, manj pa za geometrijo. Naprednejši dijaki so mi hitro pričeli nositi v šolo animacije, narejene s tem programom, ki na videz niso imele zveze z matematiko. Preko risanja funkcij nas je spremljala vsa štiri leta. Danes imajo lahko vsi Geogebro na pametnih telefonih, a jim premalo učiteljev to tudi pokaže.

Spletne učilnice

Leta 2007 sem v šolo uvedel Moodlove spletne učilnice. Zanimalo me je, kakšne možnosti nudijo. Bil sem navdušen nad njihovo idejo socialnega konstruktivizma in posledično množico dejavnosti, ki jih učilnice ponujajo uporabniku. Ustvaril sem celo vrsto spletnih učilnic, praktično iz vseh področij, kjer sem imel kaj povedati. V učilnice sem dijakom nastavljal zanimivo in z njihovo snovjo povezano vsebino s spleta, pa tudi težje in zanimive naloge. Posebne učilnice smo imeli za tekmovanja dijakov. Izkazalo se je, da spletne učilnice v srednji šoli večino dijakov uporablja za prenos gradiva, aktivnejše oblike pa bolj uporabljajo naprednejši dijaki in imajo od njih tudi največjo korist. Osupljivo je, koliko energije imajo najboljši in kakšen nivo lahko dosežejo, če lahko delajo s svojim tempom. Za učitelja pa je spletna učilnica pravo olajšanje, saj vanjo lahko spravi in po svoje uredi vse gradivo v zvezi s snovjo svojega predmeta.

LaTeX

Ker se matematične formule najlepše pišejo v LaTeXu, sem dijakom  pokazal nekaj možnosti, od LaTeXa samega, spletnih urejevalnikov CogsEditor do orodja Wolfram Alpha. LaTeXu je bila namenjena tudi ena mojih spletnih učilnic.

Programski jeziki

Ves čas sem dijake navduševal tudi za kak programski jezik, prej Pascal in Delphi, v novejših časih pa Python.

Ubuntu

Zdelo se mi je pomembno, da dijaki poleg najbolj razširjenega operacijskega sistema spoznajo tudi alternative.  Sam sem dlje časa uporabljal Debianov Ubuntu, zato sem ga tudi reklamiral med dijaki in ustvaril tudi zanj spletno učilnico.

Testi

Spomnim se, da sem imel včasih pri matematiki 10-12 ocen na leto – 4 kontrolke, 4 šolske, 2 ustni, vsaj ena iz aktivmosti….število konferenc se je (ne spomnim se kakšne evalvacije, zakaj) iz 4 zmanjšalo na 3 in na 2, jaz sem število ocen uspel zmanjšati na 8 – septembra pregledna ponovitev prejšnjega letnika, dve šolski, dve kontrolki, dve ustni, aktivnosti… manj ni nikoli šlo. Še pri dveh konferencah sem imel 3 pisne ocene na konferenco, dve kotrolni nalogi in pregledno šolsko nalogo. Vedno se mi je zdelo, da večje število ocen poveča objektivnost ocenjevanja ter posledično pomeni manj snovi in manjši stres pri testu. Ne spomnim se nobene argumentirane razprave o primernosti števila ocen na konferenco, čeprav so jih imeli kolegi mnogo manj. Seveda manj ocen pomeni manj dela za učitelja, a svojega dela nikoli nisem jemal konformistično.

Vse teste v letu sem napovedal v eni prvih ur v šolskem letu ter datume vpisal v dnevnik. Možna so bila sicer manjša odstopanja od tega datuma, a le z zelo tehtnim razlogom. Ura pred testom je pripadala dijakom, lahko so postavljali vprašanja, ki so jih pripravili doma. Tako so me običajno sami opozorili, da gre za uro pred testom, in uro  dobro izkoristili. Spraševali so me naloge iz učbenika in vaj ter testov prejšnih generacij, ki krožili med dijaki. Posebnih preverjanj nisem nikoli sestavljal in tudi danes smatram, da so bolj škodljiva kot koristna, saj dijake odvračajo od rednega dela doma  po učbeniku ali vajah. Udeležba pri testih je bila skoraj vedno popolna.

V uri testa sem prišel v razred že v pavzi, da  smo pravočasno začeli. Dijakom sem razdelil liste z nalogami, sami pa so pripravili polo za pisanje. Včasih sem na začetku ure te pole malo pregledal, da se ni na njih skrivala kakšna formula. Vedno smo pisali A in B. Skupini sta se razlikovali tako, da je bil pomešan vrstni red nalog, ki so bile skoraj enake, imele pa so drugačne podatke. Med testom nisem hodil po razredu, opozoril je bilo malo. Dijaki so naloge reševali na polo, rezultat pa zapisali na list. 5 minut pred koncem se dijake opozoril na uro, ob koncu ure pa so mi prinesli test in brez besed zapustili učilnico.

Testi so so se pisali eno šolsko uro, vsebovali so 6 nalog, od katerih so bile 3 precej direktne in so testirale samo v tistem obdobju vzeto snov, ena je povezovala snov iz različnih obdobij in samo ena je bila taka, da je zahtevala nekaj tistega, čemur pravi Križanič matematični bistrc.  Uvedel sem jo zato, da naprednejši dijaki niso prezgodaj ostali brez dela. Točkovnik sem predpisal vnaprej, vsaka naloga je imela označeno maksimalno število točk, celoten test je obsegal 20-24 točk, za pozitivno oceno je bilo treba zbrati 10 točk, za odlično pa 18-20 točk. Tipična porazdelitev točk po ocenah ni bila nikoli podobna Gaussovi, kot na maturi, temveč recimo od 1-5 takole: 25%, 25%, 20%, 20%, 10%.

Testov nisem nikoli popravljal dlje, kot je predpisani rok, pa tudi manj ne. Dijaki sami so najprej na tablo naredili popravo testa (simultano eden A, drugi B) in si jo prepisali, nato pa sem teste za zelo kratek čas razdelil, da so se seznanili z oceno, preverili vsoto točk in si ogledali, kje so se zmotili. Svoja pisala so morali imeti med tem pospravljena v puščicah. To je bil tudi čas za pritožbe dijakov – dijak, ki je imel kakšno vprašanje, je s testom počakal pred tablo, medtem ko so ostali oddajali test, sam pa sem vpisoval njihovo oceno. Nato sem po vrsti rešil pritožbe – narobe seštete točke, spregledan rezultat, včasih pa tudi točkovanje pri posamezni nalogi. Teste sem potem pospravil za kak mesec, nato pa jih vrnil dijakom.

Dijaka, ki ni pisal testa, sem izprašal ustno. Ta možnost jih ni mikala, tako da jih je večina, če so le mogli, prišla pisat in težav z neopravičenim izostajanjem nisem imel.

Tako sem za pripravo, pisanje in popravo testa porabil 3 šolske ure. Ne razumem, zakaj danes nekateri učitelji pišejo teste dve šolski uri. Tak test se tudi dlje časa sestavlja in popravlja, boljšega efekta pa, razen da imajo dijaki več časa za morebitno prepisovanje, ne vidim.

V drugem polletju sem iz svojih celoletnih zapiskov večini dijakov namesto ustnega spraševanja ponudil oceno. Običajno je bila dovolj dobra, da so jo sprejeli, če pa je niso, so za razliko še kaj malega ustno odgovarjali.

Tak način dela se nam je obrestoval, nazadnje z uspehom na maturi. Vsaj petina dijakov se je odločala za maturo na višjem nivoju, na osnovnem nivoju pa so bile ocene pogosto za eno ali celo dve večje kot v razredu. Nekaterim je šlo to zelo v nos, češ da so ocene v razredu prenizke, a očitki so bili zelo pavšalni, nikoli ni prišlo  do poglobljene analize. Ta bi pokazala, da sta oceni čisto neprimerljivi, saj  se ne ujemajo ne obseg snovi, ne čas preverjanja niti motivacija dijaka.  Sam sem še danes vesel in ponosen, da je bilo tako.

Poučevanje fizike

Tudi fizika v srednji šoli velja za težak predmet, tako za učenje, kot za poučevanje. Razlogov za težavnost je več. Najprej časovni obseg: Fizike je v v prvih treh letih skupaj 210 ur, torej 70 ur na leto ali 2 uri na teden. V četrtem letniku se število ur poveča na 4 ure na teden, a samo za tiste dijake, ki si jo izberejo za maturo. Tako večina dijakov sliši samo 210 ur, učitelji se navadno odločijo, da nekaterih poglavij ne obdelajo. Del teh ur je še namenjen obveznim eksperimentalnim vajam, ki so po mojem mnenju medvedja usluga predmetu – večina eksperimentalnih vaj bi bilo po mojih iskušnjah lahko krajših, lahko trajale bi do 20 minut in bi tako lahko prihranili nekaj dragocenega časa.

Samo razumevanje fizikalnih pojavov je težavno, največji umi človeštva so bili potrebni, da so prišli do zakonov, ki jih danes učimo. Fizik  mora za razumevanje narave zgraditi svoj model, v katerem uporablja idealizacije, kot so točkasto telo, togo telo, črno telo, itd. Odmisliti mora pojave, ki zastirajo zakonitost, recimo upor zraka, trenje, ipd. Pri proučevanju pojava se odloča, kaj spada k sistemu in kaj k okolici. Poleg tega se ukvarja s količinami, s katerimi nima neposrednih izkušenj. Že sila je tak primer: ko pritisnemo z roko ob mizo, ne čutimo sile, temveč tlak, pri lovljenju žoge pa sunek sile.

Tudi učbeniki za ta predmet so sicer strokovni, a slabo prilagojeni mladostnikom, naloge v njih pa dostikrat prezahtevne, velikokrat šepa tudi razporeditev. Dobrih učbenikov vključno s tistim, katerega soavtor sem sam, pravzaprav ni in tu je gotovo še prostor za napredek. Splačalo bi se poiskati zgled pri kakem tujem učbeniku.

Temelj mojega poučevanja so bili poskusi. Zelo malo ur je minilo brez vsaj enega, običajno pa sem izvedel vse povezane z obravnavano snovjo. Že moj predhodnik je fizikalni kabinet dobro opremil, precej učil in pripomočkov za vaje je izdelal sam. Ta trend sem nadaljeval. Na začetku poučevanja sem bil precej neusposobljen v nekaterih osnovnih stvareh in sem nekaj opreme zaradi nevednosti tudi poškodoval, a preživljanje popoldnevov in večerov v fizikalnem kabinetu se je obrestovalo in hitro sem se izuril, da sem tudi sam dobival ideje za učila, marsikaj pa smo tudi kupili.  Odsek za fiziko pri Zavodu za šolstvo je deloval vzorno, seminarji so bili zelo kvalitetni, iz vsakega sem prišel poln novih idej.  Dodadtne ideje mi je dal podiplomski študij pedagoške fizike in sodelovanje v skupini za prenovo fizike pod okriljem Zavoda za  šolstvo.

Iz s poskusi podkrepljenih osnovnih zakonov sem vse ostalo izpeljal. Tako se dijakom večine formul ni bilo treba učiti na pamet, temveč so lahko videli, od kod so izpeljane. Vsako fizikalno količino smo zelo natančno definirali ter zapisali njeno iz definicije izpeljano enoto. Do konca ure so dijaki na tablo rešili nekaj preprostih primerov. Snov sem poskušal čimbolj aktualizirati. Pri poglavju Sile in gibanje sem zato dal zelo velik povdarek na primere iz prometa.

Podpiral sem eksperimentiranje dijakov v šoli in doma. V šoli sem iz kabineta pripeljal eksperimentalno opremo v pladnjih na vozičku, vsaka klop je dobila pladenj. Vaj je bilo na leto vsaj   deset, trajale pa so 15 do 20 minut. Dijaki so v šoli opravili meritve in ocenili mersko napako, vajo pa so dokončali doma.  Bil sem sam svoj laborant, kar je imelo poleg nekaj slabosti tudi prednosti.

Tudi doma sem vzpodbujal dijake, da eksperimentrirajo. Pri poglavju mehanika so s stopanjem na stol ali tekom po stopnicah merili svojo moč. Popisali so moči gospodinjskih naprav in strojev ter o tem poročali v razredu. Pri poglavju Elektrika so vse to ponovili, izračunali še tok skozi napravo in njeno upornost, se seznanili s števcem porabe električne energije ter računom za električno energijo v gospodinjstvu.

Včasih sem dal dijakom tudi kaj izdelati doma, npr. upor, kondanzator ali tuljavo. Dijak je izdelek prinesel preverit v šolo, pred tem pa je povedal vrednost iskane količine in pričakovano mersko napako. Tako sta postali plošči iz kuhinjske alufolije, vstavljeni med liste fizikalnega učbenika, že kondenzator. Pri nekaterih domačih poskusih, npr: “Kolikšen podtlak zmoreš s pljuči?” pa je bil potreben nakup metrske prozorne plastične cevi, ki je lahko pozneje služila kot natega.

Zelo zanimive spomine pa imam na dijake skrajšanega programa poklicne kovinarske šole. Program se je izvajal v osemdesetih samo v času usmerjenega izobraževanja, vanj so se lahko vpisali dijaki tudi z nedokončano osnovno šolo. Predmet se je imenoval naravoslovje, trajal je eno leto in je vseboval vsebine iz biologije, kemije in fizike. Dijaki so večinoma izhajali iz neurejenih družin, šolo so težko prenašali, poleg učnih so imeli tudi disciplinske težave. Hitro sem ugotovil, da lahko pozabim na učni načrt. Izkazalo pa se je, da so fantje ročno precej spretni, zato sem jim pogosto naročil, naj kaj izdelajo doma. Pričeli so mi prinašati v pregled svoje izdelke: sončni kolektor iz zvite črno pobarvane plastične cevi pod steklom, doma izdelan električni zvonec na baterijo, električni motor, ki ga je vrtela že baterija na 1,5V, celo vetromer, narejen iz fičkovega merilnika hitrosti.

Z nalogami v učbeniku nisem bil zadovoljen, zato sem dijakom napisal svojo zbirko nalog. Vsako poglavje te zbirke se je pričelo zs preverjanjem definicij fizikalnih količin in enot ter poznavanjem zakonov. Nato so sledile najprej osnovne naloge, ki so preverjale poznavanje zakonov iz izbranega poglavja, nato pa so po načelu od lažjega k težjemu, od enostavnega k sestavljenemu sledile težje naloge.

Nalog v testih je bilo običajno pet, od tega so bile vsaj dve take, ki so zahtevale poznavanje osnovne definicije ali zakona iz obravnavanega poglavja. Ena naloga je lahko združevala znanje in več obdobij tega letnika, zadnja pa iz vseh že obravnavanih poglavij fizike. Sicer se naloge niso dosti razlikovale od tistih v moji zbirki ali njihovem učbeniku, so pa obvezno imeel spremenjene podatke. Vedno so teste pisali A in B, v skupinah je bil zamenjan vrstni red nalog ter podatki spremenjeni. Naloge so bile točkovane enako, obseg točk je bil 20-24, za pozitivno oceno je bilo vedno treba zbrati 10 točk, za odlično pa 18-21.

IKT

Ravno v času mojega poučevanja fizike so se v osemdesetih letih pojavili osebni računalniki. Prvi pri nas je bil angleški Spectrum, znana Mavrica, in zanjo se je dobil tudi merilno-krmilni vmesnik. Uporabljali smo jo skoraj celo desetletje, tako pri demonstracijskih poskusih kot pri vajah dijakov. V devetdesetih so merilno krmilne vmesnike dobili tudi PC-ji, prišel je romantičen čas spajkanja senzorjev in pisanja programske opreme ter prikaz pojavov, ki se prej v šoli niso dali prikazati. Tako je računalnik meril gibanje in trke na zračni drči, nihajni čas in sled dušenega nihala, količine pri kroženju, graf spremembe temperature pri raznih pojavih, karakteristike raznih električnih elementov, svetlobne spektre, celo radioaktivnost.

Kasneje je prišel na šole Vernierov vmesnik, ki ni po mojem okusu. Zdi se mi preveč zaprt (nekaj podobnega se je zgodilo pred dvajsetimi leti z računalniki Partner, ki so plesali prav kratko) za šolo in mislim, da zato ne vzpodbuja dovolj kreativnosti učiteljev in dijakov.

Poleg tega smo učitelji in dijaki napisali celo vrsto simulacij fizikalnih pojavov: od raznih gibanj teles, satelitov, planetov in zvezd v kopici do termodinamičnih pojavov, slik električnih polj, pojasnjevanja optičnih pojavov in  porazdelitve energije po mikroskopskih delcih in atomskih stanjih.

Ko so se pojavili mobilni telefoni, ki so seveda opremljeni s senzorji, sem vzpodbujal dijake, da jih uporabljajo, saj je tudi mobilni telefon lahko koristen merilni pripomoček za številne fizikalne količine.

Časa pri tem predmetu je kronično primanjkovalo in dostikrat sem dijakom potožil, da jim prodajam samo kosti, nič mesa. Ko smo ravno osvojili neko zanje in bi se morali ustaviti na primerih iz prakse, smo morali odhiteti naprej. A kasneje so mi v pogovoru bivši maturantje v moje zadoščenje dostikrat povedali, da jim je gimnazijsko znanje fizike in zapiski zelo pomagalo tudi pri srečanju s fiziko na višjih šolah.

Učni načrt za fiziko lahko dobite tu.