Osnove kinetične teorije plinov

Obravnavajmo plin mase m, zaprt v kockasti posodi s ploskvami površine S in prostornino V kot množico N molekul mase m_1, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo v v vseh smereh v posodi in se prožno odbijajo od sten. Uvedse imo številsko gostoto molekul n kot število molekul na enoto prostornine, torej

    \[n=\frac{N}{V},\]

Predpostavimo lahko, da se \frac{N}{6} molekul giblje proti desni ploskvi posode in da je v plasti z debelino vt ob tej ploskvi nSvt molekul.

Ker se vsaka molekula od stene prožno odbije, je po izreku o gibalni količini sunek sile, s katero stena deluje na to molekulo, enaka spremembi njene gibalne količine, torej

    \[F_1t=2m_1v.\]

Za vse molekule plina pa velja

    \[Ft=\sum{F_1t}=\frac{nSvt}{6}\cdot 2m_1v=\frac{nSm_1v^2t}{3}.\]

Delimo to enačbo z St, pa dobimo izraz za tlak plina p

    \[p=\frac{nm_1v^2}{3}=\frac{\rho v^2}{3}.\]

Tole je torej prvi uspeh kinetične teorije – pojasni, kaj je tlak. Tlak plina je torej makroskopski pojav, ki je posledica trkov molekul plina s steno in je, kot vidimo, odvisen od gostote plina (\rho=nm_1) in od kvadrata povprečne hitrosti molekul tega plina.

Izrazimo iz zgornje enačbe skupno kinetično energijo teh molekul plina mase m_1, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo v.

Ker je

    \[p=\frac{\rho v^2}{2}=\frac{mv^2}{3V}\]

S pomočjo splošne plinske enačbe dobimo

    \[W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{3pV}{2}=\frac{3mRT}{2M}.\]

Zgornjo enačbo delimo s številom vseh molekul N, pa dobimo povprečno kinetično energijo ene molekule \overline{W_k} kot

    \[\overline{W_k}=\frac{W_k}{N}=\frac{m_1v^2}{2}=\frac{3Nm_1RT}{2N_Am_1N}=\frac{3RT}{2N_A}=\frac{3}{2}k_BT.\]

V zadnjem koraku smo uvedli Boltzmannovo konstanto k_B=\frac{R}{N_A}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}. Zadnja enačba pojasnjuje temperaturo plina. Temperatura plina je torej mera za povprečno kinetično energijo molekul tega plina.

Tako kinetična teorija že na začetku pojasni dve makroskopski količini – temperaturo in tlak.

Splošna plinska enačba v srednji šoli

Plini se obravnavajo tako pri fiziki kot pri kemiji. Sam bom ubral pot, ki sem jo dolga leta uporabljal pri fiziki. Splošno plinsko enačbo, oziroma njeno prvo obliko, smo izpeljali iz plinskih zakonov – Boylovega in Gay-Lussacovega. Vsakega od teh zakonov smo prej prej potrdili s poskusom.

Imejmo torej plin pri tlaku p_o, v posodi prostornine V_o in pri absolutni temperaturi T_o. Na kratko opišemo njegovo stanje kot (p_o,V_o,T_o). Stisnimo ga pri stalni temperaturi na prostornino V', torej

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[(p_o,V_o,T_o)\Longrightarrow (p,V˙,T_o).\]

*** Error message:
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: \[(p_o,V_o,T_o)\Longrightarrow (p,V˙

Pri tej spremembi seveda velja Boylov zakon, torej

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[pV˙=p_oV_o\]

*** Error message:
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: \[pV˙

,

produkt tlaka in prostornine plina se pri izotermni spremembni ne spremeni.

Nato pa ravno ta plin segrejmo pri stalnem tlaku, torej

    \[(p,V',T_o)\Longrightarrow (p,V,T).\]

Pri tej spremembi pa velja Gay-Lussacov zakon, torej

    \[\frac{V}{T}=\frac{V'}{T_o}.\]

Iz obeh zakonov izrazimo V' in izenačimo, pa dobimo prvo obliko splošne plinske enačbe:

    \[\frac{pV}{T}=\frac{p_oV_o}{T_o}.\]

Upoštevajmo zvezo m=\rho V=\rho_o V_o in vstavimo to v prvo obliko, pa dobimo drugo obliko splošne plinske enačbe

    \[\frac{p}{\rho T}=\frac{p_o}{\rho_o T_o}.\]

Označimo desno stran z r, torej r=\frac{p_o}{\rho_o T_o}, in jo imenujmo specifična plinska konstanta, saj je odvisna od vrste plina. Izračunajmo jo za zrak, pri čemer upoštevajmo, da ima zrak pri 0^oC in tlaku 1 bar gostoto 1,29kg/m^3. Dobimo torej

    \[r=\frac{10^5\frac{N}{m^2}}{1,29\frac{kg}{m^ 3}273K}=284\frac{J}{kgK}.\]

Upoštevamo r v drugi obliki, torej \frac{p}{\rho T}=r. Malo preuredimo, pa dobimo tretjo obliko s specifično plinsko konstanto

    \[pV=mrT.\]

Do sedaj smo imeli maso plina fiksirano, vendar tudi maso plina lahko spreminjamo, tako da plin dodajajmo ali odvzemamo. Ob nespremenjenem tlaku in temperaturi je prostornina plina premo sorazmerna z maso in to ob upoštevanju plinske enačbe zapišemo takole

    \[V=V_o\frac{p_o}{p}\frac{T}{T_o}\frac{m}{m_o},\]

od koder dobimo

    \[pV=m\frac{p_oV_o}{T_om_o}T.\]

Za začetno maso plina m_o vzamemo kar maso enega kilomola plina M.(Kemiki pa raje delajo z molom, ki je tudi enota za množino snovi.) M je torej toliko kilogramov plina, kolikor znaša njegova relativna molekulska masa. Po Avogadroverm zakonu ima kilomol poljubnega plina 6\cdot 10^{26} molekul in pri standardnih pogojih (tlak p_o=1bar, temperatura T_o=0^oC=273K) prostornino V_o=22,4m^3. . Zato je smiselno definirati splošno plinsko konstanto R takole

    \[R= \frac{p_oV_o}{T_o}=\frac{10^5\frac{N}{m^2}22,4m^3}{273K}=8300\frac{J}{Kkmol}.\]

Za razliko od specifične plinske konstante r je splošna prinska konstanta R za vse pline enaka. Z njo zapišemo četrto obliko splošne prinske enačbe

    \[pV=\frac{m}{M}RT.\]

Upoštevajmo še, da je množina snovi n=\frac{m}{M}, pa lahko zapišemo tudi peto obliko

    \[pV=nRT\]

Nazadnje uvedimo Boltzmannovo konstanto k kot k=\frac{R}{N_A},

    \[k=\frac{8300\frac{J}{Kkmol}}{\frac{6\cdot 10^{26}}{kmol}}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}.\]

Z njo lahko zapišemo, potem ko upoštevamo m=Nm_1 in M=m_1N_A, pri čemer je N število molekul plina, še šesto obliko

    \[pV=NkT.\]

Vse enačbe veljajo za idealen plin, za realen pa so samo dober približek.

Grafični prikaz gibanja satelita okrog Zemlje

V poljubno verzijo Pythona dodamo katero od grafičnih knjižnic. Prav preprosta je graphic.py . Namestimo jo na disk tako, da postane Pythonu vidna, preberemo še navodila na začetku knjižnice in lahko začnemo s programiranjem grafike. Tako recimo koda

from math import *
from graphics import *
def delay(m):
    for i in range(1000*m):
            continue
def main():
    mx=600    # širina in višina okna
    my=400
    win=GraphWin("Moj Krog",mx,my,autoflush=False)
    p=Rectangle(Point(0,0),Point(mx,my))
    p.setFill("white")
    c=Circle(Point(mx/2,my/2),10)      #Zemlja je modri krogec
    c.setFill("blue")
    p.draw(win)
    c.draw(win)
    dt=10                  #interval med računi leg
    x=mx/3                 #začetna lega
    y=0
    vx=0                   # začetna hitrost
    vy=0.04                # to komponento malo spremeni 
    while True:
        r=sqrt(x*x+y*y)   # račun razdalje satelit-Zemlja
        ax=-x/(r*r*r)     # pospešek satelita sledi iz 
        ay=-y/(r*r*r)     # gravitacijskeg azakona
        vx=vx+ax*dt       # račun nove hitrosti
        vy=vy+ay*dt       
        x=x+vx*dt         #račun nove lege satelita 
        y=y+vy*dt
        t=Point(mx/2+x,my/2-y)     # risanje satelita
        t.setFill("red")
        t.draw(win)
        delay(100)
        #t.setFill("white")
        #t.draw(win)
        update()
    win.getMouse()
    win.close()
main()

spravimo v gibanje satelit okrog Zemlje.

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici c poljubno točko D.  Zveznico \overline{CD} označimo z d. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

    \[m^2a+n^2b=c(d^2+mn).\]

Dokaz: Kota \angle ADC in \angle CDB sta suplementarna, označimo ju z \varphi in 180^o-\varphi. Ker je \cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

    \[\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.\]

Preuredimo in dvakrat upoštevamo m+n=c, pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Uporna kocka

uporovna kocka in tetraeder

Imejmo kocko, katerih stranice sestavljajo enaki upori

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
R=1 Ω

*** Error message:
Package inputenc Error: Unicode character Ω (U+03A9)
leading text: $R=1 Ω

.

Kakšna je nadomestna upornost med

  1. krajiščema telesne diagonale
  2. krajiščema diagonale ploskve
  3. krajiščema stranice kocke?

Reši podobno nalogo za tetraeder!

Nalogo reši še praktično, tako da dejansko zmeriš upornost.