Grafični prikaz gibanja satelita okrog Zemlje

V poljubno verzijo Pythona dodamo katero od grafičnih knjižnic. Prav preprosta je graphic.py . Namestimo jo na disk tako, da postane Pythonu vidna, preberemo še navodila na začetku knjižnice in lahko začnemo s programiranjem grafike. Tako recimo koda

from math import *
from graphics import *
def delay(m):
    for i in range(1000*m):
            continue
def main():
    mx=600    # širina in višina okna
    my=400
    win=GraphWin("Moj Krog",mx,my,autoflush=False)
    p=Rectangle(Point(0,0),Point(mx,my))
    p.setFill("white")
    c=Circle(Point(mx/2,my/2),10)      #Zemlja je modri krogec
    c.setFill("blue")
    p.draw(win)
    c.draw(win)
    dt=10                  #interval med računi leg
    x=mx/3                 #začetna lega
    y=0
    vx=0                   # začetna hitrost
    vy=0.04                # to komponento malo spremeni 
    while True:
        r=sqrt(x*x+y*y)   # račun razdalje satelit-Zemlja
        ax=-x/(r*r*r)     # pospešek satelita sledi iz 
        ay=-y/(r*r*r)     # gravitacijskeg azakona
        vx=vx+ax*dt       # račun nove hitrosti
        vy=vy+ay*dt       
        x=x+vx*dt         #račun nove lege satelita 
        y=y+vy*dt
        t=Point(mx/2+x,my/2-y)     # risanje satelita
        t.setFill("red")
        t.draw(win)
        delay(100)
        #t.setFill("white")
        #t.draw(win)
        update()
    win.getMouse()
    win.close()
main()

spravimo v gibanje satelit okrog Zemlje.

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici $c$ poljubno točko $D.$  Zveznico $\overline{CD}$ označimo z $d$. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

$$m^2a+n^2b=c(d^2+mn).$$

Dokaz: Kota $\angle ADC$ in $\angle CDB$ sta suplementarna, označimo ju z $\varphi$ in $180^o-\varphi.$ Ker je $\cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),$  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

$$\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.$$

Preuredimo in dvakrat upoštevamo $m+n=c,$ pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Zapiski iz elektrostatike

uvod

Včasih je bila pri pouku matematike in fizike v srednji šoli (beri gimnaziji) navada, da je vsa ali vsaj večina obravnavane snovi pri matematiki temeljila na izpeljavi, pri fiziki pa na poskusih, ki so potrdili naravne zakone, in izpeljavah iz teh poskusov.  Z leti pa se je marsikaj spremenilo. Predvsem se je na ladjo gimnazija vkrcalo približno štirikrat več potnikov kot prej.  Le-tem se je izpeljevanje zdelo duhamorno, matematika in fizika pa (pre)težka predmeta. Oblasti so pričele iskati možnosti poenostavitve programov in to počnejo še sedaj.  Tako so npr. izpeljave iz fizike skoraj izginile, nadomestilo jih je piflanje formul. Posledica vseh teh prenov je,  da naloge iz nekdanjih matur reši le peščica dijakov.  Uvajajo se nove nepreverjene oblike, kot so timski pouk z več učitelji v razredu, ki so zapravljanje davkoplačevalskega denarja, saj bi moral po mojem mnenju povezovanje med predmeti. izvajati učitelj sam.  Resne evalvacije teh posodobitev nisem zasledil.

V spodnjem prispevku želim prikazati  možno povezavo med matematiko in fiziko. Potrebno predznanje so vektorji, sile in električno polje.

 Električni pretok

Imejmo v prostoru električno polje $E$ in ploskev $S.$  Silnice električnega polja prebadajo ploskev, zato uvedemo električni pretok $\Phi_e,$ ki je odvisen od jakosti električnega polja $\vec{E},$ velikosti $S$ in kota $\varphi$ med pravokotnico (normalo) na S in silnicami polja.

Screen Shot 08-26-15 at 11.40 AM

Torej

$\Phi_e=\epsilon_o ES\cos{\varphi},\qquad (\frac{As}{Vm}\cdot\frac{V}{m}\cdot m^2=As)$

pri čemer je $\epsilon_o$ influenčna konstanta. Če priredimo ploskvi $S$ vektor $\vec{S}$, ki ima velikost  $S$ in smer normale na $S,$ lahko zgornjo definicijo zapišemo bolj kompaktno kot skalarni produkt

$\Phi_e=\epsilon_o\vec{E}\cdot\vec{S}.$

Električni pretok točkastega naboja skozi koncentrično kroglo

Ugotovimo sedaj, kolikšen je električni pretok $\Phi_e$ skozi kroglo polmera $r$, ki ima v središču točkast naboj $e$. Naj bo predznak naboja pozitiven, Ker je jakost električnega polja v okolici tega naboja vektor, moramo določiti njegovo velikost in smer. Oboje ugotovimo tako, da po prostoru okrog tega naboja premikamo (majhen) pozitivni testni naboj $e_t$ in iz smeri električne sile ugotavljamo smer vektorja $\vec{E}$, pomočjo Couloumbovega zakona pa njegovo velikost

Velja namreč

$E=\frac{F_e}{e_t}=\frac{ee_t}{4\pi\epsilon _or^2e_t}=\frac{e}{4\pi\epsilon _or^2}.$

Vidimo torej, da imajo silnice električnega polja pozitivnega točkastega naboja radialno smer navzven in da jakost tega polja pada s kvadratom razdalje od naboja.

Razdelimo sedaj celotno našo kroglo, v kateri je zaprt naboj, na majhne ploskvice $\overrightarrow{dS}.$  To so vektorji, ki imajo smer pravokotno na posamezno ploskev,  velikost pa imajo enako ploščini te ploskve. Električni pretok $d\Phi_e$ skozi eno tako ploskev znaša torej

$d\Phi_e=\epsilon_o\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_oEdS.$

Pri računanju zgornjega sakalrnega produkta smo upoštevali, da silnice električnega polja prebadajo celotno površino krogle pravokotno, zato sta sta $\vec{E}$ in pripadajoči $\overrightarrow{dS}$ za vse ploskvice kolinenarna.

Električni pretok $\Phi_e$ skozi celotno kroglo bomo dobili, če seštejemo  električne pretoke $d\phi_e$ skozi vse ploskve $\overrightarrow{dS}.$  Pri seštevanju majhnih količin je navada, da vsoto označimo z znakom $\int$, ki mu pravimo tudi integralski znak, celoten izraz pa imenujemo integral.

Torej

$\Phi=\int\limits_{S}d\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_{S}\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_o\int\limits_{S}EdS=$

Upoštevajmo, da je velikost lakosti električnega polja skozi vse ploskvice enaka, pa dobimo:
$=\epsilon_o \frac{e}{4\pi \epsilon_o r^2}\int\limits_{S}\overrightarrow{dS}=\epsilon_o \frac{e}{4\pi \epsilon_o r^2}\cdot 4\pi r^2=e.$

Nazadnje smo upoštevali, da lahko $E$ izpostavimo pred  vsoto in da je vsota ploščin vseh ploskvic enaka površini celotne krogle.

Naš ugotovitev je torej naslednja: Električni pretok točkastega naboja skozi kroglo, ki ima ta naboj v središču, je kar enak vsebovanemu naboju,.

zakon o električnem pretoku

Karl Friderik Gauß je to ugotovitev še dopolnil takole: Električni pretok skozi poljubno zaprto ploskev je enak vsoti nabojev znotraj te ploskve. (Zakon o električnem pretoku.)  zakon je v elektriki zelo pomemben, je prva od štirih Maxwellovih enačb. Povemo ga lahko na različne načine, morda najpreprostejša oblika je naslednja: Izviri (in ponori) električnega polja so naboji.

Primeri uporabe

Zakon o električnem pretoku nam omogoča preprosto izračunati jakost električnega polja v nekaterih primerih, seveda če si pametno izberemo zaprto ploskev v kateri je naboj. Poglejmo primere.

JAKOST ELEKTRIČNEGA POLJA nabite prevodne krogle

Prevodno kroglo nabijemo s pozitivnim nabojem. Naboj se porazdeli enakomermo po površini krogle tako, da imajo silnice električnega polja radialno smer in na vsej površini krogle enako velikost. Najprej določimo njegovo jakost zunaj krogle:

Screen Shot 07-27-15 at 07.13 PM

Zapišemo torej zakon o električnem pretoku za ta primer:

$\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_oE\int\limits_SdS=\epsilon_oE\cdot 4\pi r^2=e,$

od koder sledi

$E=\frac{e}{4\pi \epsilon_or^2.}$

Kaj pa znotraj krogle?

Screen Shot 07-27-15 at 07.14 PM

Sedaj pa je

$\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=0,$

saj znotraj naše krogle ni naboja. To pa gre le, če je $E=0.$

Za električno polj nabite prevodne krogle velja torej

$E=\begin{cases}\frac{e}{4\pi\epsilon_or^2} &\mbox{;}\qquad r\geq R\\0&\mbox{;}\qquad r<R\end{cases}$

 

Jakost električnega polja neskončne nabite plošče

Vzemimo sedaj veliko nabito kovinsko ploščo površine $S_o$, na katero pretočimo (pozitivni) naboj $e$. SIlnice na sredini plošče so  vzporedne in neako goste, pravimo, da je tako polje homogeno. Uvedemo gostoto naboja $\sigma$ kot naboj, vsebovan na enoti ploskve, torej

$\sigma=\frac{e}{S} \qquad (\frac{As}{m^2})$

Ploskev, v katero sedaj zapremo del naboja, pa naj bo zaradi oblike polja kvader s stranicami $1,2,3,4,$ sprednjo $5$ in zadnjo $6.$

Screen Shot 07-28-15 at 08.39 AMElektrični pretok skozi celotno ploskev je enak tistemu skozi posamezne ploskve tega kvadra in znaša

$\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_o\int\limits_1EdS+\epsilon_o\int\limits_2EdS+\epsilon_o\int\limits_30dS+\epsilon_o\int\limits_40 dS+\epsilon_o\int\limits_50dS+\epsilon_o\int\limits_60dS=e=\sigma S.$

Pri tem je S osnovna ploskev kvadra. Upoštevali smo, da je na nekaterih ploskvah skalarni produkt $0.$ Dobimo torej

$2\epsilon_oES=\sigma S$

in rezultat

$E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}.$

jakost električnega polja znotraj neskončnega ploščatega kondenzatorja

Nazadnje izračunajmo še jakost električnega polja velikega ploščatega kondenzatorja, na katerem je naboj s ploskovno gostoto naboja $\sigma.$  Polje prikazuje spodnja skica, vidimo, da je razen ob robovih plošč to polje spet homogeno.

Screen Shot 07-30-15 at 10.45 AM

Del pozitivne plošče spet zapremo v kvader z osnovno ploskvijo $S$, nato pa tako kot prej računamo električne pretoke skozi njegove stranice. Dobimo

$\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_o\int\limits_10dS+\epsilon_o\int\limits_2EdS+\epsilon_o\int\limits_30dS+\epsilon_o\int\limits_40 dS+\epsilon_o\int\limits_50dS+\epsilon_o\int\limits_60dS=e=\sigma S,$

torej

$2\epsilon_oES=\sigma S$

in nazadnje

$E=\frac{\sigma}{\epsilon_o}.$

Zaključek

Zgornji primeri kažejo, kako se da tudi v srednji šoli uporabiti povezati fiziko z matematiko. Če se vektorji pri matematiki jemljejo v drugem letniku, elektrika pri fiziki v tretjem in integrali v četrtem (v Križaničevih učbenikih so se v drugem!), lahko fizik v tretjem letniku uporabi matematično znanje iz drugega, obenem pa leto pred matematično obravnavo poda predstavo o določenem integralu in te preproste primere tudi izračuna.

 

Fizik in fotografija

[latexpage] Večino ljudi zanimajo naravni pojavi, kot so npr. mavrica, zarja in zora, slikoviti slapovi rek, ipd. Zdijo se jim zanimivi, zato jih poskušajo ovekovečiti s fotoaparatom ali kamero, da bi jih pokazali prijateljem in znacem. Koliko informacij pa ponuja fotografija? Gotovo je to odvisno od vsebine fotografije, seveda pa tudi od gledalca. Vzemimo na primer naslednjo fotografijo para.jpg Večina ljudi bo opazila motorni čoln, ki vleče padalca, morje in hribe (Cres) v ozadju, spomnili se bodo na poletje in počitnice, najbolj dovzetni bodo celo zaznali vonj po borovcih in morju. Pa je to vse, kar lahko izluščimo iz te fotke? Fizik (pa tudi forenzik, ki med drugim uporablja tudi fizikalne metode) pravi, da ne. Ve, da za objekte na fotografiji veljajo naravni zakoni, ki omogočajo globji pogled in določitev ene ali več fizikalnih količin. Zato to fotografijo uvozi v kak program, za  šolarje je več kot primerna Geogebra, in nariše sile, ki delujejo na padalca (bolj precizno na točko, kjer se stikata vrv čolna, padalo in vrv, na kateri visi padalec). Najprej nariše silo padalca $F_g$, ki je po velikosti in smeri enaka njegovi teži in jo oceni (skupaj s padalom in vrvjo) na $F_g=1000N$. Nato nariše še preostali sili, silo vrvi $F_v$ v smeri vrvi, s katero vleče čoln, in silo upora padala $F_u$, ki kaze v smer simetrijske osi padala. Smeri sil so tako določene, velikosti pa mu pomaga določiti 1. Newtonov zakon, ki pravi, da je vektorska vsota sil, ki delujejo na enakomerno gibajoče se telo, enaka 0, torej $$\vec{F_g}+\vec{F_u}+\vec{F_v}=\vec{0}.$$para5 V praksi to pomeni, da sile lahko vzporedno premaknemo v trikotnik in kar z merjenjem (ročno ali bolj natančno z Geogebro) določimo velikost preostalih dveh sil. Narisane sile v Geogebri. para7   Tako je torej fizik določil velikosti vseh sil, ki delujejo na njihovo stično točko. A zgodbe še zdaleč ni konec. Upoštevamo namreč še, da je velikost sile upora po kvadratnem zakonu premo sorazmerna s kvadratom hitrosti gibanja skozi zrak, natančneje $$F_u=c_uS\frac{\rho v^2}{2}.$$ Pri tem je $c_u$ koeficient upora, $S$  presek padala, $\rho=1,2kg/m^3$ gostota zraka in $v$ hitrost zraka v smeri geometrijske osi padala. Ocenimo npr. $S=20m^2$ in $c_u=1$, pa lahko iz zgornje formule izračunamo hitrost $v:$ $$v=\sqrt{\frac{2F_u}{c_u\rho S}}=13\frac{m}{s}.$$ Čoln se mora torej gibati s hitrostjo $v_c=v\cos{50^o}=8,3m/s=30km/h.$   Zvemo lahko tudi minimalno moč $P_1$, ki jo čoln potrebuje za vleko padalca. Pri enakomernem gibanju namreč velja $$P_1=\vec{F}\cdot \vec{v}=F_vv_c\cos{23^o}=12kW.$$ Morda pa se da iz fotografije izvedeti še kaj. Če k tej moči prištejemo še moč $P_2,$ ki jo čoln potrebuje za premikanje po morju $$P_2=c_{uc}S_c \frac {\rho_v v_{c}^3}{2}=0,2\cdot 3m^2 \cdot \frac{1000kg} {m^2 } \cdot \frac{70 m^2} {2s^2}\cdot 8,3\frac{m}{s}=57kW,$$ (ocenili smo koeficient upora $c_{uc}=0,1$ in prečni presek čolna $S_c=2m^2$) ugotovimo, da mora biti moč motorja $P$ na čolnu približno $$P=P_1+P_2=79kW.$$Zanimivo, večino moči porabi čoln za premikanje po morju, samo slabo  šestino pa za držanje padalca v zraku.

Seveda fotka skriva še več informacij. Morda bi koga zanimalo, kdaj in kje je bila posneta. A to ni več zelo fizikalna tema…

Fuzbalska lestvica

 

[latexpage]

Na evropskem in svetovnem prvenstvu v nogometu so reprezentance razvrščene v skupine po 4 in odigrajo med seboj vsaka z vsemi, torej vsaka 3 tekme, skupaj 6 tekem. Za zmago dobi ekipa 3 točke, za neodločen rezultat eno, ob porazu pa ostane brez točk. Ekipi, ki v skupini zbereta največ točk, se uvrstita v nadaljnje tekmovanje, preostali pa odpotujeta domov.

Vprašajmo se, kakšni so možni točkovni izidi po koncu tekem v skupini. Na misel nam pride, da je eden od možnih izdov osvojenih točk   npr. 9,6,3,0, kar pomeni, da ni bilo nobenega neodločenega rezultata, temveč same zmage,  in da je prva ekipa premagala ostale tri, druga izgubila s prvo, premagala pa ostali, tretje je izgubila z ekipama pred njo, premagala pa zadnjo in nazadnje četrta ekipa je izgubila vse tekme. Pri tem izidu je bilo v skupini razdeljeno maksimalno, 18 točk. Ni pa to edina taka možnost, preostali sta še npr. 9,3,3,3 ali 6,6,6,0.

Drug skrajni primer so sami remiji, torej 3,3,3,3. V tem primeru je bilo v skupini podeljeno minimalno, torej 12 točk.

Zanima nas, koliko je vseh možnih izidov osvojenih točk v skupini po koncu teh tekem. V skupini so 4 ekipe in vsaka igra z vsako, torej je skupaj $C_4^2={4 \choose 2}=6$ tekem. Ker so na vsaki tekmi tri možnosti izida, je po osnovnem izreku kombinatorike $N=^{\left(p\right)}\hspace{-1.8mm} V_6^3=3^6=729$ vseh možnosti. A število različnih izidov je dosti manjše, saj moramo odšteti njihove permutacije (npr 0,9,6,3 da isti izid kot 9,6,3,0). Imamo kar zapleten kombinatoričen problem. Namesto da bi ga rešili matematično, raje napišimo program, ki bo simuliral število točk po vseh možnih izidih teh tekem. Najprej sestavimo niz vseh izidov, nato pa izide v njem sortiramo in različne prepišemo v novi niz. V Pythonu gre to skoraj tako kot v slovenščini.

Koda programa zgleda takole:

#Program ugotovi vse različne možnosti osvojitve točk 
#v skupini 4 moštev.
#Medsebojnih tekem je 6, zmagovalec, dobi 3 točke, poraženec 0,
# v primeru
#neodločenega rezultata pa si moštvi razdelita 2 točki.
# V Petruna, junij 2014
x=3
y=0
z=1
izidi=[]
izid2=[]
for i in range(3):    
    for ii in range(3):
        for iii in range(3):
            for i4 in range(3):
                for i5 in range(3):
                    for i6 in range(3):
                        a=0
                        b=0
                        c=0
                        d=0
#simulacija izida na posamezni tekmi
                        if i==0:a=a+x;b=b+y
                        else:
                            if i==1:a=1;b=1
                            else:a=a+y;b=b+x

                        if ii==0:a=a+x;c=c+y
                        else:
                            if ii==1:a=a+1;c=c+1
                            else:a=a+y;c=c+x

                        if iii==0:a=a+x;d=d+y
                        else:
                            if iii==1:a=a+1;d=d+1
                            else:a=a+y;d=d+x   

                        if i4==0:b=b+x;c=c+y
                        else:
                            if i4==1:b=b+1;c=c+1
                            else:b=b+y;c=c+x

                        if i5==0:b=b+x;d=d+y
                        else:
                            if i5==1:b=b+1;d=d+1
                            else:b=b+y;d=d+x    

                        if i6==0:c=c+x;d=d+0
                        else:
                            if i==1:c=c+1;d=d+1
                            else:c=c+0;d=d+x

                        izi=[a,b,c,d]
                        izid=sorted(izi,reverse=True)                    
#tvorimo niz vseh izidov
                        izidi.append(izid)
#izločanje podvojenih
for i in range (len(izidi)):       
    if (izidi[i] not in izid2):
        izid2.append(izidi[i])       
izidis=sorted(izid2,reverse=True)
#računanje vsote točk v skupini
for i in range(len(izid2)):
    vsota=izidis[i][0]+izidis[i][1]+izidis[i][2]+izidis[i][3]
    izidis[i].insert(0,vsota)
#izpis števila vseh različnih možnosti
print "VSEH RAZLIČNIH MOŽNOSTI = ",len(izidis)
izidiss=sorted(izidis,reverse=True)
#izpis vseh različnih možnosti, urejenih po številu doseženih točk v skupini
for i in range(len(izidiss)):
    for j in range(5):
        print izidiss[i][j],"  ",
    print

Rezultat, ki ga dobimo, je naslednji:

18    9    6    3    0   
18    9    3    3    3   
18    6    6    6    0   
18    6    6    3    3   
17    9    6    1    1   
17    9    4    4    0   
17    9    4    3    1   
17    7    7    3    0   
17    7    6    4    0   
17    7    6    3    1   
17    7    4    3    3   
17    6    6    4    1   
17    6    4    4    3   
16    9    4    2    1   
16    7    7    1    1   
16    7    6    2    1   
16    7    5    4    0   
16    7    5    3    1   
16    7    4    4    1   
16    7    4    3    2   
16    6    5    4    1   
16    6    4    4    2   
16    5    4    4    3   
16    4    4    4    4   
15    9    2    2    2   
15    7    5    2    1   
15    7    4    3    1   
15    7    4    2    2   
15    6    5    2    2   
15    5    5    5    0   
15    5    5    4    1   
15    5    5    3    2   
15    5    4    4    2   
15    4    4    4    3   
14    7    3    2    2   
14    5    5    3    1   
14    5    5    2    2   
14    5    4    3    2   
13    5    3    3    2   
12    3    3    3    3

Opazimo torej, da je vseh možnih različnih izidov 40.

Zgornja tabela možnih točkovnih izidov po koncu tekmovanja v skupini pokaže nekaj zanimivosti. Možno je npr. napredovati samo z dvema remijema, ali zapustiti tekmovanje kljub dvem zmagam.  V prvem primeru ima drugovrščena ekipa samo 2 točki, v drugem pa tretjeuvrščena 6 točk (poišči v tabeli ta primera).  Tudi v zadnjem primeru, ko so tekmeci izenačeni, dva nadaljujeta, dva pa končata s tekmovanjem.

Tega dejstva ne  spremenijo niti dodatna pravila za napredovanje, ki so:

  1. točke
  2. razlika v golih (na vseh tekmah skupine)
  3. število doseženih golov (na vseh tekmah skupine)
    Če sta dve ali več reprezentanc še vedno izenačeni, se začne gledati medsebojne tekme!
  4. točke na medsebojni(h) tekmi(ah);
  5. razlika v golih na medsebojnih tekmah;
  6. število doseženih golov na medsebojnih tekmah;
  7. število točk ferpleja: rumeni karton -1 točka, drugi rumeni karton -3, neposredni rdeči karton -4, rumeni karton in neposredni rdeči karton
  8. žreb

 

Vidi se torej, da je kljub točkovanju zelo pomembna tudi sreča.

Signal

Po Fourierju lahko vsako periodično funkcijo zapišemo kot vsoto ali vrsto drugih periodičnih funkcij.
Animavija kaže, kako pravokoten signal lahko  kot vsoto sinusov tem bolj natančno, čim več členov  vsota vsebuje.

Premikaj drsnik.

Generator pravokotne in trikotne napetosti

Skoraj poljubna periodična funkcija se lahko izrazi kot neskončna vsota sinusov in cosinusov. Postopku pravimo razvoj funkcije v Fourierovo vrsto. Približek funkcije pa dobimo, če seštejemo samo nekaj prvih členov vrste.

Na voljo imaš pet sinusnih napetosti, katerim lahko nastavljaš amplitudo in (krožno) frekcenco. Sestavi iz njih približka za:

  • pravokotno napetost
  • trikotno napetost.

Nostalgija(2)

Zadnjič sem pisal o tem, kako je Logo kakor feniks ponovno vstal iz pepela, tokrat v preobleki Pythonove želvje grafike. Nekaj preprostih ukazov , pa vam program lahko riše lepe krivulje. Grafika pa lahko postane nekaj posebnega, če pri njenem nastajanju uporabite rekurzijo – programerski prijem, s katerim velik problem razdelite na identične, a nekoliko manjše probleme. Seveda se to da narediti samo pri posebnih problemih. Včasih smo občudovali Hilbertove krivulje, krivulje Sierpinskega, hanojske stolpiče, celo permutacije se dajo programirati rekurzivno. A tokrat (pogled skozi okno pove, da še vedno sneži) si oglejmo Kochovo snežinko.

Koda je naslednja:

#Kochova snežinka, V.Petruna feb.2013
from Tkinter import *
import math
import turtle
a=80
def koch(x,stopnja):
    if stopnja<1:
        turtle.forward(x)
    else:
        koch(x/3,stopnja-1)
        turtle.left(60)
        koch(x/3,stopnja-1)
        turtle.right(120)
        koch(x/3,stopnja-1)        
        turtle.left(60)
        koch(x/3,stopnja-1)
turtle.heading()
turtle.penup()
turtle.setpos(-600,0)
turtle.pendown()
for n in range(5):    
    for i in range(3):        
        koch(243,n)
        turtle.right(120)
    turtle.penup()
    turtle.forward(243)
    turtle.pendown()
mainloop()

Dolžina 243 ni izbrana naključno, saj je to \(3^5.\) Tako se izognemo napaki zaradi necelega deljenja. Program nam ustvari naslednjo risbico

Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo $R=1\Omega$.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja $R_x$?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo $R_x$ dodamo eno vejo.

Velja

$$R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x$$

$$R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x$$

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za $R_x$

$$R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0$$

$$R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R$$

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom $R_x=\varphi=1,618…$.
$R_x$ je pravzaprav enak številu zlatega reza $\varphi$.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

$R_1=R=1$

$R_2=R+R=2R=2$

$R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5$

$R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666$

$R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6$

$R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625$

$R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615$

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, …$$
alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

Radialni pospešek-izpeljava

[latexpage]

Izpeljava radialnega pospeška krožečega telesa sodi vsaj v srednji šoli med težje razumljivo snov, ki zahteva kar dobro tako matematično kot fizikalno podlago – od matematike elementarni  vektorski račun, poznavanje limitnega procesa, radianov in formule za krožni lok, od fizike pa računanje s silami in formule pri kroženju.  Razumevanje nam utegne olajšati naslednja animacija

S to animacijo nazorno pokažemo, da količnik dveh poljubno majhnih količin v splošnem ni majhen. Pokažemo tudi tako smer kot velikost radialnega pospeška. Ne pozabi opaziti, da v limitnem procesu velikost razlike hitrosti \(\Delta v\) lahko zamenjamo z dolžino pripadajočega krožnega loka. Tako pridemo do velikosti radialnega pospeška

\[a_r=lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}}=lim_{\Delta t \to 0}{\frac{v\omega\Delta t}{\Delta t}}=\omega v=r\omega^2=\frac{v^2}{r}.\]

Poglavja iz kvantne mehanike v srednji šoli

uvod

Zakaj na molekule zraka teža navidezno ne deluje, saj se ne zberejo na tleh? Zakaj se molekule neprestano gibljejo, biljardne krogle pa se vedno ustavijo? Po premisleku opazimo, da za delce, kot so molekule in atomi, veljajo drugačni fizikalni zakoni kot za makroskopske delce. Podobni premisleki in dodatni poskusi pa povedo, da za dovolj majhne, t.i. kvantne delce zakoni klasične fizike sploh ne veljajo. Nič ne moremo povedati o tiru takega delca, 2. Newtonov zakon za delec ne velja. Vse kar o kvantnem delcu lahko zvemo, je njegova valovna funkcija \[\Psi=\Psi(t,x,y,z),\qquad\qquad\qquad\qquad(1)\] ki sama fizikalnega pomena nima, njen kvadrat pa pove verjetnost, da se delec ob času \(t\) nahaja na mestu \((x,y,z).\) Valovno funkcijo delca zvemo, ko za dalec zapišemo in rešimo Schrödingerjevo enačbo. Ta za stacionarno stanje (s časom nespreminjajoče se) in v enodimenzionalni obliki zgleda takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-W_p)\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(2)\]

Pri tem so \(m\) masa delca, \(W\) njegova skupna energija, \(W_p\) njegova potgencialna energija, \(h=6,6\cdot10^{-34}Js\) pa Planckova konstanta. Ni jasno, kako je Schrödinger prišel do nje, a didaktika fizike ponuja  izpeljavo, ki si jo bomo ogledali v nadaljevanju.

Izpeljava Schrödingerjeve enačbe

Opišimo s s funkcijo \(\Psi\) sinusno valovanje, ki se širi v smeri x-osi. Torej \[\Psi(t,x)=\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\] pri čemer je \(\Psi_o\) amplituda, \(\omega=2\pi\nu\) krožna frekvenca in \[k=\frac{2\pi}{\lambda}\qquad\qquad\qquad\qquad(3)\] valovno število, v katerem je skrita valovna dolžina valovanja \(\lambda.\)

Stacionarno stanje dobimo, če nas zanima samo krajevna slika. Zato pribijmo čas (kot pri fotografiranju) in \(\Psi\) dvakrat parcialno odvajajmo. Dobimo

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\qquad\qquad\qquad\qquad(4)\]. Upoštevajmo še (3), pa lahko zapišemo krajevni del valovne enačbe (4) takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+k^2\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(5)\]

Sedaj pa se spomnimo na fotoefekt. Šele A. Einstein ga je pojasnil s postavko, da je svetloba ne le valovanje, temveč tudi curek delcev – fotonov, katerim je pripisal tudi maso, ki izvira iz njihove energije. Če namreč povežemo energijo fotona \(W=h\nu\) z formulo za energijo iz sprecialne teorije relativnosti, dobimo

\[h\nu=mc^2,\qquad\qquad\qquad\qquad(6)\]

od tod pa izraza za maso fotona

\[m=\frac{h\nu}{c^2}\qquad\qquad\qquad\qquad(7)\]

in njegovo valovno dolžino

\[\lambda=\frac{h}{mc}.\qquad\qquad\qquad\qquad(8)\]

Zadnja enačba je napeljala Louisa de Brogliea na misel, da se tudi gibajoči delci obnašajo kot valovanje, pa jim je v skladu z (8) pripisal valovno dolžino

\[\lambda=\frac{h}{mv},\qquad\qquad\qquad\qquad(9)\]

pri čemer je \(m\) masa, \(v\) pa hitrost delca.

Upoštevajmo (9) pri naslednjem računu

\[k^2=\frac{4\pi^2}{\lambda^2}=\frac{4\pi^2m^2v^2}{h^2}=\frac{8\pi^2mW_k}{h^2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(10)\]

Vstavimo rezultat v (5) in upoštevajmo še, da je kinetična energija delca enaka razliki med celotno in potencialno energijo, torej \[W_k=W-W_p,\qquad\qquad\qquad\qquad(11)\] pa res dobimo (2).

Ponazorimo vse te ugotovitve na treh primerih in primerjajmo tudi kvantno stanje s klasičnimi pričakovanji.

 Delec v vodoravni cevi

To je tudi edini primer, ki ga lahko obdelamo skoraj na ravni srednješolske matematike. Imejmo delec mase m, ki je zaprt v vodoravni cevi dolžine L. Klasično bi pričakovali, da ima lahko poljubno (nenegativno) kinetično energijo, in da je za vse točke cevi enako verjetno, da ga najdemo tam.

Za kvantni delec pa najprej zapišemo Schrödingerjevo enačbo

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}W\Psi=0\]

Upoštevali smo, da je \(W_p\) delca enaka 0, saj je cev vodoravna.  Enačba je podobna tisti od sinusnega nihanja in tudi rešitev je podobna, torej

\[\Psi(x)=\Psi_o\sin{\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}x}.\qquad\qquad\qquad\qquad(12)\]

Zapisali smo valovno funkcijo delca v cevi. Upoštevajmo še robni pogoj

\[\Psi(L)=0,\qquad\qquad\qquad\qquad(13)\]

od koder dobimo

\[\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}L=n\pi,\qquad\qquad\qquad\qquad(14)\]

pri čemer imenujemo n kvantno število, ki zavzame vrednosti \(n=1,2,3,\dots .\) Od tod izrazimo energijo delca

\[W_n=\frac{h^ 2}{8mL^2}n^2.\qquad\qquad\qquad\qquad(15)\]

Opazimo prvo važno razliko med klasičnim in kvantnim delcem. Medtem ko je energija klasičnega delca zvezna in lahko zavzame poljubne vrednosti, je energija kvantnega delca diskretna, spreminja se lahko samo v skokih. Energija kvantnega delca tudi ne more biti 0, je pa najmanjša v stanju \(n=1.\)

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]

Valovne funkcije delca za prva 4 kvantna števila

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]


Kvadrat teh funkcij pove verjetnost, kje se delec nahaja, torej
\[P_n=\Psi_n^2=\Psi_o\sin^2{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(17)\]

Opazimo torej, da je ta verjetnost odvisna od kvantnega števila n. Pri \(n=1\) je najbolj verjetno, da najdemo delec na sredini, pri \(n=2\) pa, da ga najdemo na prvi in tretji četrtini cevi, itd.

Grafi verjetnosti , da je delec na mestu x palice, za prva 4 kvantna števila.

Spet opazimo, da se verjetnost kvantnega delca zelo razlikuje od verjetnosti klasičnega delca. Verjetnost kvantnega delca se verjetnosti klasičnega delca približa šele v limiti, ko gre \(n\to\infty\).

Harmonični oscilator

Klasično je harmonični oscilator lahko telo mase m, pripeto na vzmet s koeficientom k, kvantno pa si lahko predstavljamo atom v dvoatomni molekuli, v kateri ime vlogo sile vzmeti medatomska sila,  Klasični delec se nahaja vedno med na intervalu \([-s_o,s_o]\), pri čemer je $s_o$ amplituda nihanja. Najbolj verjetno je, da delec najdemo v skrajnih legah legi, najmanj pa, da ga najdemo v ravnovesni legi, saj gre skoznjo najhitreje. Graf verjetnosti klasičnega delca, da ga najdemo v legi x,  ima torej približno naslednjo obliko

Za kvantni delec pa je vse, kar lahko na našem nivolju naredimo, da zapišemo Schrödingerjevo enačbo, ki v enodimenzionalni obliki zgleda takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-\frac{kx^2}{2})\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(18)\]

Upoštevali smo, da je potencialna energija v tem primeru prožnostna energija delca.

Rešiti enačbe v srednji šoli sicer ne znamo, a zgodba se ponovi. Energija delca je spet kvantizirana, a zaradi oblike potencialne energije tokrat drugače kot prej.

\[W=\frac{h\nu}{2}+nh\nu=h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right).\qquad\qquad\qquad\qquad(19)\]

To pomeni, da so razmiki med energijskimi stanji tokrat enakomerni.

PTR v srednji šoli (11)

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

$$\vec{F}=m\vec{a}$$

ne velja,  saj  masa telesa ni stalna, temveč odvisna  od hitrosti. Zapisati ga moramo  takole

$$\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},$$

pri čemer je

$$\vec{G}=m\vec{v}$$

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

$$A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}$$

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

$$\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},$$

nato pa uvedemo novo spremenljivko

$$1-\frac{v^2}{c^2}=u.$$

Dobimo, da je zadnji integral enak

$$m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$$

kar skupaj da iskano funkcijo

$$\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.$$

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

$$A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.$$

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

$$W=mc^2~~~~(1)$$

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

$$W_o=m_oc^2~~~~(2)$$

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc². 

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

$$W=W_o+W_k.$$

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

$$W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).$$

Pri tem je seveda $\gamma$ relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.

Naprej

PTR v srednji šoli(9)

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

\[
\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}
\]

V njej nastopa Lorenzova matrika

\[
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)
\]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}
\]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

\[
\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

PTR v srednji šoli(8)

V obrazcih posebne teorije relativnosti se ves čas pojavlja relativistični faktor

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

pri čemer je

$$\beta=\frac{v}{c}$$

razmerje med hitrostjo telesa in svetlobno hitrostjo.  Odvisnost relativističnega faktorja od tega razmerja kaže naslednja animacija

 

Opazimo, da je pri običajnih hitrostih ta faktor blizu 1, zato relativističnih pojavov ne opazimo in lahko uporabljamo tudi Galilejeve transformacije. Faktor je treba upoštevati šele, ko imamo opravka s hitrostmi, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe, pa tudi, ko potrebujemo izjemno natančnost meritev.

PTR v srednji šoli (7)

novo seštevanje hitrosti

Ker pri velikih hitrostih ne veljajo Galilejeve transformacije, tudi staro seštevanje hitrosti ne velja več.  Izpeljimo  torej pravi izraz.

Naj se v sprevodnikovem sistemu premika palica proti začetku vlaka(spomnimo se, ta vozi mimo postajenačelnika s hitrostjo v) tako, da sprevodnik zanjo nameri hitrost v’.  Postajenačelnik pa uporabi Lorentzove transformacije in dobi

[math]v_p=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{(\Delta x^\prime+v\Delta t^\prime)\sqrt{1-\beta^2}}{\sqrt{1-\beta^2}(\Delta t^\prime+(v/c^2)\Delta x^\prime)}[/math]

Okrajšamo korene in delimo števec in imenovalec z [math]\Delta t^\prime,[/math]  pa dobimo

[math]v_p=\frac{v+v^\prime}{1+\frac{v\cdot v^\prime}{c^2}}.\quad \quad \quad (1)[/math]

 V računu smo upoštevali, da je

[math]v^\prime=\frac{\Delta x^\prime}{\Delta t^\prime}[/math]

hitrost, ki jo izmeri sprevodnik. Pa smo izpeljali novi obrazec za seštevanje hitrosti. Njegova značilnost je, da postajenačelnik ne more nameriti več kot c celo, če se vlak glede nanj giblje s hitrostjo c in se palica glede na vlak giblje s hitrostjo c.

Torej: če se vozite s hitrostjo c in svetite  z baterijo v smeri gibanja, ima svetloba baterije glede na mirujočega opazovalca hitrost c. To se seveda se ne sklada z Galilejevim seštevanjem hitrosti, ujema pa se z načelom o svetlobni hitrosti.

 

 

PTR v srednji šoli (6)

Zadnjič smo izpeljali Lorenzove transformacije, sedaj pa si oglejmo nekaj  zanimiviih posledic. Prva je skrčenje dolžine, druga pa podaljšanje časa.

Skrčenje (kontrakcija) dolžine

Imejmo v sprevodnikovem opazovalnem sistemu palico, položeno v smeri osi $x’$. Definirajmo najprej lastno dolžino $L_0$ palice kot dolžino palice v sistemu, glede na katerega le-ta miruje. Ko torej sprevodnik izmeri njeno dolžino, dobi

$$L_0=x_2^\prime-x_1^\prime$$

njeno lastno dolžino $L_0.$ Ko pa isto palico meri postajenačelnik, (obe krajišči izmeri v istem trenutku, torej  $t_1=t_2$),  dobi

$$L=x_2-x_1.$$

Velja

$$L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

od koder dobimo

$$L=L_o\sqrt{1-\beta^2}.$$

Ker je koren v izrazu manjši od 1, postajenačelnik torej nameri manj kot sprevodnik.  Zanj je  sprevodnikova palica krajša, do skrčitve pride samo v smeri gibanja. Hitro gibajoča se krogla ima torej obliko elipsoida s krajšo polosjo v smeri gibanja.

 Podaljšanje (Dilatacija )časa

Drugič pa naj se skupaj s sprevodnikom v točki x’ pelje ura, ki sprevodniku meri časovni interval

$$t_o=t_2^\prime-t_1^\prime.$$

Podobno kot prej bomo časovni interval, ki ga ura meri v sistemu, glede na katerrega miruje, imenovali lastni čas.  Sprevodnik torej izmeri lastni čas te ure. A na uro gleda tudi postajenačelnik, ki izmeri časovni interval t takole

$$t=t_2-t_1=\frac{(v/c^2)x^\prime+t_2^\prime-(v/c^2)x^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Za postajenačelnika je torej ta časovni interval daljši od tistega, ki ga je nameril sprevodnik, namreč

$$t=\frac{t_o}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$


Najhitreje torej teče lastni čas, vsi ostali inecialni sistemi pa namerijo daljše časovne intervale. 

Ravno podaljšanje časa je eksperimentalno največkrat preverjano. Eden od načinov je preverjanje z dovolj (na milijadinko sekunde) natančno uro, ki jo pošljejo v kovčku na potovanje z rednimi letalskimi linijami. Ko se vrne s potovanja, kaže manj kot njena predhodno umerjena dvojčica, ki je pred tem ostala na zemlji.

Drug način je podaljšanje razpadnega časa kozmičnih delcev, ki zaradi velike hitrosti puščajo  v detektorjih daljše sledi, kot bi jih sicer.

Tako skrčenje dolžin kot podaljšanje časa upoštevajo naprave  za natančno pozicioniranje GPS.

PTR v srednji šoli(5)

Zadnjič smo izpeljali  transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov  koordinat točk.  Uporabimo jih tokrat  za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c.  Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’).  Čase v pomnožimo  s konstanto c zato, da imata  komponenti  v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

$$x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.$$

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

$$ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

  Parameter [math]\beta[/math] je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko,  ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

$$x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.$$

$\beta$ je torej

$$\beta=\frac{v}{c}.$$

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z $c$, pa dobimo Lorentzovi formuli

$$t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

ter njuna obrata

$$t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

PTR v srednji šoli (2)

Morda ste uganili, kaj je bilo treba prečrtati – Galilejeve transformacije. Na prvi pogled je nenavadno, da ne veljajo enačbe, ki so se do takrat izkazale za dobro preizkušene. A vendar imamo sedaj razmere, ki so posebne – zelo velike hitrosti. Hitrosti, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe.  Galilejeve transformacije dobro veljajo pri majhnih hitrostih, pri ekstremnih hitrostih pa odpovejo.

Če Galilejeve transformacije ne veljajo več, potem čas ni več absoluten, temveč relativen – odvisen od opazovalnega sistema.  To pa ima v primerjavi z dosedašnjim gledanjem na svet nenavadne posledice. Oglejmo si eno od njih v naslednjem (miselnem) poskusu:

SOČASNOST JE RELATIVNA

Imejmo vlak, ki je zelo dolg in se zelo hitro giblje. Njegova dolžina naj bo 300.000km, njegova hitrost pa  4c/5. Vlak ima dvoje vrat, ki se odpirata takrat, ko žarek svetlobe iz žarnice na sredini vlaka posveti na fotocelico na vratih. Sprevodnik stoji na sredini vlaka in s stikalom odpira vrata. Ker vrata  glede na sprevodnika mirujejo, le-ta opiše odpiranje vrat takole: Od trenutka, ko posveti žarnica potuje svetloba proti zadnjim vratom in po

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s\]

se le-ta odprejo. Ravno tako ponovi račun za odpiranje prvih vrat

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s.\]

Oba časa sta enaka, za sprevodnika se oboja vrata torej odprejo sočasno.

Dogajanje na drvečem vlaku pa opazuje tudi postajenačelnik, ki vidi dogajanje  nekoliko drugače : Medtem, ko potuje svetloba s hitrostjo c proti zadnjim vratom, se ji le-ta približujejo s hitrostjo 4c/5. Zato se zadnja vrata odprejo po času

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km+240000km}=\frac{5}{18}s,\]

prva vrata pa se žarku odmikajo, zato je

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km-240000km}=2,5s.\]

Postajenačelniku se torej vrata ne odprejo istočasno, zadnja vrata se odprejo prej kot prva. Dogodka, ki sta sočasna v enem opazovalnem sistemu, nista sočasna v drugem. Pravimo, da je sočasnost dogodkov relativna, torej odvisna od opazovalnega sistema.

Utripanje

Vsota nihanj z enakima amplitudama in podobnima frekvencama da utripanje. Opazimo ga lahko, če sklopimo nihali s podobnima nihajnima časoma ali če frekvenco enega kraka glasbenih vilic nekoliko spremenimo, pa tudi pri uglaševanju strun kitare ali kakega drugega glasbenega instrumenta.

Teslin generator trifazne napetosti

Nikola Tesla je ta generator izumil leta 1882, leta 1888 pa ga je patentiral. Generator je osnova današnjega električnega omrežja, saj je za razliko od enosmernega toka omogočil prenos električne napetosti na velike razdalje.


Za ta generator je značilno, da se zaradi vrtečega se magneta v vsaki od treh tuljav inducira sinusna napetost, le napetosti so zamaknjene za \[ 120^o \], kar je pač posledica razporeditve tuljav.  Zato so premaknjeni tudi tokovi skozi tuljave, torej

 \[ I_R=I_o\sin{(\omega t-120^o)} \]
\[ I_S=I_o\sin{(\omega t)} \]
\[ I_T=I_o\sin{(\omega t+120^o)} \]

Vsi tokovi se srečajo v ničelnem vodniku. Če si dijak tretjega letnika in se spoznaš na trigonometrijo, izračunaj, kolikšen tok teče po ničelnem vodniku, pa zveš, od kod temu vodniku ime!

Trifazni tok uporablja industrija ter gospodinjstva, ki imajo večje porabnike. Vir trifazne napetosti v gospodinjstvu prepoznamo po posebni vričnici, ki ima 5 priključkov. Za  običajna gospodinjstva zadoščajo samo trije priključki –  ena od faz, ničelni vodnik in ozemljitev.

Nikola Tesla je delal poskuse tudi s polifaznimi sistemi – okrog vrtečega se magneta je namestil še več tuljav.

Simulacija gibanja satelita v VisualPythonu

Poljubno gibanje lahko simuliramo tako, da upoštevamo naslednje korake:

  1. izberemo majhen časovni interval dt,
  2. podamo komponente krajevnega vektorja [math]\vec{r}=(x,y)[/math] telesa  na začetku gibanja in komponente njegove hitrosti [math]\vec{v}=(v_x,v_y)[/math] takrat,
  3. zapišemo za telo 2. Newtonov zakon po komponentah in iz izrazimo komponenti pospeška,
  4. uporabimo definicjo pospeška in iz nje izračunamo novi komponenti hitrosti, [math]v_x\leftarrow v_x+a_x\cdot dt,\quad v_y\leftarrow v_y+a_y\cdot dt[/math]
  5. uporabimo definicijo hitrosti in iz nje določimo komponenti nove lege telesa  [math]x\leftarrow x+v_x\cdot dt,\quad y\leftarrow y+v_y\cdot dt,[/math]
  6. narišemo novo lego,
  7. pravkar izračunani lego in hitrost proglasimo za stari, nato pa ponavljamo korake 3-7.

Tako simulacijo lahko izvedemo samo s kalkulatorjem, točke rišemo npr. na mmilimetrski papir (če ga še prodajajo). Lahko pa seveda uporabimo preglednico ali še boljše, programski jezik. Zadnje čase je naših šolah v modi  Python, sorazmerno lahko je  preiti nanj, čr ste se  prej ukvarjali s Pascalom in Delphijem.  Spodnji program je napisan v VisualPythonu,  različici, ki je posebej primerna za grafične prikaze.

Rezultat, ki ga dobimo, je premikajoč se satelit na spodnji sličici:



In takoj se ponujajo  modifikacije programa – satelit, ki pušča za sabo sled, preverjanje Keplerjevih zakonov, dvojna zvezda, zvezdna kopica, trk kopic….Zanimivo vprašanje, na katerega lahko prv hitro odgovorimo,  je postavil Ivan Kuščer: kakšen bi bil tir satelita, če bi privlačna sila med telesi nekoliko odstopala od Newtonovega gravitacijskega zakona, npr.

[math]\vec{F}=\frac{GmM}{r^{3+\alpha}}\vec{r}.[/math]

Prav tako lahko npr. napišete  igro, v kateri z raketo in omejeno količino goriva pristajate na Zemlji ali Luni in ste ves čas v nevarnosti, da če vam goriva zmanjka, postanete umetni satelit….

Vsota harmonikov

Iz teorije vrst vemo, da lahko vsako zvezno in odsekoma odvedljivo funkcijo zapišemo s Fourierovo vrsto, v kateri nastopajo kosinusi in sinusi mnogokratnikov osnovne frekvence. Če je funkcija soda, zadoščajo sami kosinusi, če liha, pa sinusi. Izkoristimo to v fiziki za generacijo pravokotne napetosti – poglejmo, koliko se ji približamo, če dodamo po en člen tja do desetega.

PTR v srednji šoli

Posebna teorija relativnosti v srednji šoli -uvod

Imel sem srečo, sam sem to teorijo v šolskem letu 1970/71 kot dijak  Gimnazije Črnomelj slišal kar dvakrat. Matematik Marjan Skrbinšek jo je povzel po učbeniku Franceta Križaniča Atirmetika, algebra in analiza, za moj okus najboljšem slovenskem učbeniku matematike do sedaj. Fizik Jože Pavlišič pa je pri fizikalnem krožku ubral bolj fizikalni pristop, ki je temeljil na takrat pravkar izšli Sigmini knjižici Janeza Strnada Relativnost.  Skoraj dve desetletji kasneje sem imel to poglavje priliko spet slišati pri Ivanu Kuščerju v okviru predmeta Osnove klasične fizike na tretji stopnji pedagoške fizike, Janez Strand pa ji je namenil tudi eno od poglavij v Učbeniku Fizika za družboslovce, ki se je uporabljal v okviru usmerjenega izobraževanja. Kasneje je kot celota iz učbenikov izginila, v fiziki se uporablja le še pri obravnavi energije delcev.

STR se mi zdi pomembna, saj dijaku odpre nove poglede na svet okrog nas in ponuja odgovor ena nekatera temeljna vprašanja.. Zato jo poskušam prenesti dijakom v obliki, o kateri nameravam pisati v nadaljevanju.

Temelji fizike na začetku 20. stoletja

Klasična fizika je v tistem času temeljila na naslednjih načelih:

  1. Prostor je izotropen in homogen. Homogenost prostora pomeni, da je izid fizikalnega poskusa neodvisen od tega, kje ga izvajamo, izotropnost pa, da je za izid vseeno, kako je merilna priprava zasukana.
  2. Čas je homogen. Izid fizikalnega poskusa je torej neodvisen od tega, kdaj poskus izvajajmo. Fizikalni poskusi so torej ponovljivi in v enakih okoliščinah pričakujemo enak rezultat.
  3. Vsi inercialni sistemi so enakovredni.  Ker fizik meri, potrebuje koordinatni sistem in uro. Tak sistem je lahko glede na okolico mirujoč, lahko pa se giblje glede na njo s hitrostjo [math]v_o[/math] , npr. ladja glede na obalo. Sistem je inercialen, če se glede na okolico giblje nepospešeno, torej premo enakomerno.  To načelo torej pove, da so izidi poskusov v vseh nepospešenih sistemih (npr. na kopnem ali na enakomerno ploveči ladji) enaki.
  4.   Oba inercialna sistema vežejo Galilejeve transformacije.Te transformacije povezujejo  meritve, ki jih je opravil opazovalev v mirujočem se sistemu, z meritvami tistega  v gibajočem se sistemu.  Ivan Kuščer je to ponazoril kar z vlakom, ki pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo  $v_o$. Postajenačelnik in sprevodnik na vlaku merita  koordinato  in čas potnika, ki se iz zadnjega vagona giblje proti strojevodji . Postajenačelnik nameri  x in t, sprevodnik pa x’ in t’. Galilejeve transformacije pravijo

    \[t=t^\prime,\quad x=x^\prime+v_0t^\prime\]

    Oba opazovalca torej merita isti čas (ali čas je absoluten),  Postajenačelnik izmeri hitrost potnika v, sprevodnik pa v’. Zveza med obema hitrostima sledi iz Galilejevih transformacij takole

    \[ v=\frac{x}{t}=\frac{x^\prime+v_ot^\prime}{t^\prime}=v^\prime+v_o.\]

    Primer: Če vozi vlak s hitrostjo 20km/h, potnik pa s giblje proti strojevodji s hitrostjo 5km/h glede na vlak, bo postajenačelnik nameril za potnikovo hitrost 25km/h.

  5. Hitrost svetlobe je v vseh inercialnih sistemih enaka. Z drugimi besedami, hitrosti se ne da pospeševati ne zavirati. To načelo o svetlobni hitrosti je rezultat Michelsonon-Morleyevega poskusa v 80.letih 19. stoletja.

Njun poskus je imel namen izmeriti hitrost Zemlje pri svojem gibanju okrog Sonca glede na eter – namišljeno snov, ki zapolnjuje vesolje in so jo takratni fiziki potrebovali kot sredstvo, po katerem se širi elektromagnetno valovanje, torej tudi svetloba.  Primerjala sta hitrost  svetlobe iz smeri, v katero se je Zemlja gibala, in hitrost svetlobe iz smeri pravokotno na gibanje.  Meritev, ki bila izredno natančna, sta ponavljala skoraj celo desetletje, rezultat pa je bil vsakič 0. Obe hitrosti sta bili torej enaki. Njun poskus je pomenil, da ima svetloba v gibajočem se sistemu enako hitrost kot svetloba v mirujočem (pravokotnem na gibanje) sistemu, posledično pa tudi konec teorije o etru.

Očitno so načela med seboj v protislovju, kar nam pokaže naslednji (namišljen) poskus:

Predstavljajmo si, da sprevodnik  zajaha svetlobni žarek in se na njem pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo c. V roki pa drži baterijo in z njo posveti   v smeri hitrosti vožnje. Kolikšna je hitrost svetlobe iz baterije za postajenačelnika?

Odgovor nam da seštevanje hitrosti po Galilejevih transformacijah

\[ v=v^\prime+v_o=c+c=2c.\]

Rezultat  pa je očitno v nasprotju z načelom o svetlobni hitrosti, saj hitrost ne bi smela presegati c.

Kljub temu, da bilo  nekaj poskusov razrešitve tega protislovja pred A. Einsteinom, je moral priti prav on, da je eno od načel prečrtal. Če bi bili na njegov mestu, katerega bi prečrtali vi?