Kaj imajo skupnega naslednji verižni ulomki
in
Izračunajte vrednost vsakega od njih.
Zapišite
kolikšna je vrednost
Kaj imajo skupnega naslednji verižni ulomki
in
Izračunajte vrednost vsakega od njih.
Zapišite
kolikšna je vrednost
Oglejmo si naslednje verižne ulomke
itd.
Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni. Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti
Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku enaki
torej
ali
Od tod pa hitro prepoznamo
oziroma znan obrazec iz osnovne šole
To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.
Naloga: Tudi verižni ulomek
spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.
Imejmo trikotnik ABC in na stranici poljubno točko
Zveznico
označimo z
. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek
Dokaz: Kota in
sta suplementarna, označimo ju z
in
Ker je
zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek
Preuredimo in dvakrat upoštevamo pa res pridemo do navedenega izreka.
Naloga:
Leonhard Euler je leta 1748 v 15.poglavju knjige Introductio in analysin infinitorum (Uvod v analizo neskončnosti) pokazal, kako lahko produkt nekaterih faktorjev spremenimo v neskončno vrsto in obratno. Prehodimo del njegove poti.
Začnimo z geometrijskimi vrstami, ki imajo začetni člen in količnik
pri čemer je
praštevilo. Vse te vrste so zaradi
konvergentne. Spodaj je nekaj vrst z najmanjšim
:
Pomnožimo najprej prvi dve vrsti vsak člen z vsakim in sproti urejajmo po velikosti
Primnožimo zraven še tretjo
pa četrto
Opazimo, da na desni strani dobivamo prve člene harmonične vrste. Če nadaljujemo z množenjem geometrijskih vrst s količnikom , pri čemer so
vsa različna praštevila, dobivamo na levi strani produkt, na desni pa vsoto
La levi strani je t.i. Eulerjev produkt, produkt neskončno faktorjev, kjer so vsa zaporedna praštevila.Na desni strani pa dobimo harmonično vrsto, ki je ravno Riemannova funkcija
za
, torej
Torej
Oba izraza, vsota in produkt, seveda divergirata.
Po zgornjem zgledu lahko množimo še druge geometrijske vrste, ki imajo količnike pri čemer je
praštevilo, in dobivamo vsote
Pri tem je Za
imamo ravno zgornji primer. Za npr.
pa imamo vrste
itd.
Produkt vseh takih vrst za nam analogno zgornjemu da
Na desni strani pa se tokrat pojavi Riemannova funkcija
Vrsta je konvergentna, seštel jo je L.Euler, ko je rešil slavni Baselski problem, njena vsota znaša
Za nadaljne dobimo še druge Rimannnove funkcije
s splošnim predpisom
Vse tako dobljene vrste za konvergirajo, a “lepo” vsoto imajo samo tiste s sodim
.
Lotimo se sedaj dveh nalog, povezanih z Eulerjevim produktom.
Kolikšna je verjetnost, da pri nakljucnem izboru med naravnimi števili izberemo praštevilo?
Rešitev: Verjetnost, da je izbrano število deljivo z 2, je da s 3,
da je deljivo s
, torej
Označimo iskani dogodek z
, z
pa dogodek, da je izbrano število deljivo s
. Nasprotni dogodek
je potem dogodek, da izbrano število ni deljivo s
, njegova verjetnost pa je
Opazimo, da je dogodek sestavljen, natančneje neskončni produkt dogodkov
ki so med seboj vsi neodvisni. Zato je verjetnost dogodka enaka
Dobili smo Eulerjev produkt, torej je
V imenovalcu se je pojavila harmonična vrsta, ki divergira, zato je iskana verjetnost
Med naravnimi števili dve naključno izberemo. Kolikšna je verjetnost, da sta tuji?
Rešitev:Naj bo dogodek, da sta izbrani števili tuji. Verjetnost, da je prvo število deljivo s praštevilom
, je
in enako tudi vetjetnost, da je drugo. Verjetnost, da sta obe števili deljivi s
je torej (saj sta dogodka neodvisna)
da nista deljivi s
pa
Števili sta tuji, če nista deljivi hkrati z nobenim od praštevil, zato imamo
Posplošitev naloge na več števil pa je prepuščena bralcu.
V letu 2012 so dijaki tretjih letnikov gimnazijskega programa Srednje šole Črnomelj pred ekskurzijo na Češko ustvarili naslednjo spletno stran:
po ekskurziji pa so jo dopolnili s svojimi fotografijami.