O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

O nekih verižnih ulomkih

Kaj imajo skupnega naslednji verižni ulomki

$$x_1=2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{\ddots}}}},$$

$$x_2=4i+\cfrac{4}{4i+\cfrac{4}{4i+\cfrac{4}{4i+\cfrac{4}{\ddots}}}},$$

$$x_3=6i+\cfrac{9}{6i+\cfrac{9}{6i+\cfrac{9}{6i+\cfrac{9}{\ddots}}}},$$

$$x_4=8i+\cfrac{16}{8i+\cfrac{16}{8i+\cfrac{16}{8i+\cfrac{16}{\ddots}}}},$$

in

$$x_5=10i+\cfrac{25}{10i+\cfrac{25}{10i+\cfrac{25}{10i+\cfrac{25}{\ddots}}}}.$$

Izračunajte vrednost vsakega od njih.

Zapišite $x_6!$

kolikšna je vrednost $x_6?$

Grafični prikaz gibanja satelita okrog Zemlje

V poljubno verzijo Pythona dodamo katero od grafičnih knjižnic. Prav preprosta je graphic.py . Namestimo jo na disk tako, da postane Pythonu vidna, preberemo še navodila na začetku knjižnice in lahko začnemo s programiranjem grafike. Tako recimo koda

from math import *
from graphics import *
def delay(m):
    for i in range(1000*m):
            continue
def main():
    mx=600    # širina in višina okna
    my=400
    win=GraphWin("Moj Krog",mx,my,autoflush=False)
    p=Rectangle(Point(0,0),Point(mx,my))
    p.setFill("white")
    c=Circle(Point(mx/2,my/2),10)      #Zemlja je modri krogec
    c.setFill("blue")
    p.draw(win)
    c.draw(win)
    dt=10                  #interval med računi leg
    x=mx/3                 #začetna lega
    y=0
    vx=0                   # začetna hitrost
    vy=0.04                # to komponento malo spremeni 
    while True:
        r=sqrt(x*x+y*y)   # račun razdalje satelit-Zemlja
        ax=-x/(r*r*r)     # pospešek satelita sledi iz 
        ay=-y/(r*r*r)     # gravitacijskeg azakona
        vx=vx+ax*dt       # račun nove hitrosti
        vy=vy+ay*dt       
        x=x+vx*dt         #račun nove lege satelita 
        y=y+vy*dt
        t=Point(mx/2+x,my/2-y)     # risanje satelita
        t.setFill("red")
        t.draw(win)
        delay(100)
        #t.setFill("white")
        #t.draw(win)
        update()
    win.getMouse()
    win.close()
main()

spravimo v gibanje satelit okrog Zemlje.

O neki vrsti verižnih ulomkov

Oglejmo si naslednje verižne ulomke

$$x_1=1+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{\ddots}}}},$$

$$x_2=1+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{\ddots}}}},$$

$$x_3=1+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{\ddots}}}},$$

$$x_4=1+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{\ddots}}}},$$

$$x_5=1+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{\ddots}}}},$$

itd.

Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni.  Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti $$x_i=i+1;\qquad i=1,..,5$$ Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku $x$ enaki $x^2-1,$ torej

$$x=1+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}$$

ali

$$x=1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}.$$

Od tod pa hitro prepoznamo

$$x=1+\frac{x^2-1}{1+x},$$

oziroma znan obrazec iz osnovne šole

$$x-1=\frac{x^2-1}{1+x}.$$

To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.

Naloga: Tudi verižni ulomek

$$[1;1,\overline{2}]=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}$$

spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.

Nenavadne identitete

  • Diofant

$$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2,$$

  • Bramagupta

$$(a^2-Nb^2)(c^2-Nd^2)=(ac+Nbd)^2-N(ad+bc)^2,$$

  • Aryabhata

$$(1+2+3+\dots +n)^2=1^3+2^3+3^3+\dots +n^3, $$

  • Euler

$${\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\dots\right)}^2=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\dots,$$

 

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici $c$ poljubno točko $D.$  Zveznico $\overline{CD}$ označimo z $d$. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

$$m^2a+n^2b=c(d^2+mn).$$

Dokaz: Kota $\angle ADC$ in $\angle CDB$ sta suplementarna, označimo ju z $\varphi$ in $180^o-\varphi.$ Ker je $\cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),$  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

$$\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.$$

Preuredimo in dvakrat upoštevamo $m+n=c,$ pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!