Arhivi avtorja: Vinc

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

Osnove kinetične teorije plinov

Objavljeno ,
Odgovori

Obravnavajmo plin mase m, zaprt v kockasti posodi s ploskvami površine S in prostornino V kot množico N molekul mase m_1, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo v v vseh smereh v posodi in se prožno odbijajo od sten. Uvedse imo številsko gostoto molekul n kot število molekul na enoto prostornine, torej

    \[n=\frac{N}{V},\]

Predpostavimo lahko, da se \frac{N}{6} molekul giblje proti desni ploskvi posode in da je v plasti z debelino vt ob tej ploskvi nSvt molekul.

Ker se vsaka molekula od stene prožno odbije, je po izreku o gibalni količini sunek sile, s katero stena deluje na to molekulo, enaka spremembi njene gibalne količine, torej

    \[F_1t=2m_1v.\]

Za vse molekule plina pa velja

    \[Ft=\sum{F_1t}=\frac{nSvt}{6}\cdot 2m_1v=\frac{nSm_1v^2t}{3}.\]

Delimo to enačbo z St, pa dobimo izraz za tlak plina p

    \[p=\frac{nm_1v^2}{3}=\frac{\rho v^2}{3}.\]

Tole je torej prvi uspeh kinetične teorije – pojasni, kaj je tlak. Tlak plina je torej makroskopski pojav, ki je posledica trkov molekul plina s steno in je, kot vidimo, odvisen od gostote plina (\rho=nm_1) in od kvadrata povprečne hitrosti molekul tega plina.

Izrazimo iz zgornje enačbe skupno kinetično energijo teh molekul plina mase m_1, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo v.

Ker je

    \[p=\frac{\rho v^2}{2}=\frac{mv^2}{3V}\]

S pomočjo splošne plinske enačbe dobimo

    \[W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{3pV}{2}=\frac{3mRT}{2M}.\]

Zgornjo enačbo delimo s številom vseh molekul N, pa dobimo povprečno kinetično energijo ene molekule \overline{W_k} kot

    \[\overline{W_k}=\frac{W_k}{N}=\frac{m_1v^2}{2}=\frac{3Nm_1RT}{2N_Am_1N}=\frac{3RT}{2N_A}=\frac{3}{2}k_BT.\]

V zadnjem koraku smo uvedli Boltzmannovo konstanto k_B=\frac{R}{N_A}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}. Zadnja enačba pojasnjuje temperaturo plina. Temperatura plina je torej mera za povprečno kinetično energijo molekul tega plina.

Tako kinetična teorija že na začetku pojasni dve makroskopski količini – temperaturo in tlak.

Splošna plinska enačba v srednji šoli

Objavljeno ,
Odgovori

Plini se obravnavajo tako pri fiziki kot pri kemiji. Sam bom ubral pot, ki sem jo dolga leta uporabljal pri fiziki. Splošno plinsko enačbo, oziroma njeno prvo obliko, smo izpeljali iz plinskih zakonov – Boylovega in Gay-Lussacovega. Vsakega od teh zakonov smo prej prej potrdili s poskusom.

Imejmo torej plin pri tlaku p_o, v posodi prostornine V_o in pri absolutni temperaturi T_o. Na kratko opišemo njegovo stanje kot (p_o,V_o,T_o). Stisnimo ga pri stalni temperaturi na prostornino V', torej 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[(p_o,V_o,T_o)\Longrightarrow (p,V˙,T_o).\]

*** Error message:
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: \[(p_o,V_o,T_o)\Longrightarrow (p,V˙

Pri tej spremembi seveda velja Boylov zakon, torej

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[pV˙=p_oV_o\]

*** Error message:
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: \[pV˙
,

produkt tlaka in prostornine plina se pri izotermni spremembni ne spremeni.

Nato pa ravno ta plin segrejmo pri stalnem tlaku, torej

    \[(p,V',T_o)\Longrightarrow (p,V,T).\]

Pri tej spremembi pa velja Gay-Lussacov zakon, torej

    \[\frac{V}{T}=\frac{V'}{T_o}.\]

Iz obeh zakonov izrazimo V' in izenačimo, pa dobimo prvo obliko splošne plinske enačbe:

    \[\frac{pV}{T}=\frac{p_oV_o}{T_o}.\]

Upoštevajmo zvezo m=\rho V=\rho_o V_o in vstavimo to v prvo obliko, pa dobimo drugo obliko splošne plinske enačbe

    \[\frac{p}{\rho T}=\frac{p_o}{\rho_o T_o}.\]

Označimo desno stran z r, torej r=\frac{p_o}{\rho_o T_o}, in jo imenujmo specifična plinska konstanta, saj je odvisna od vrste plina. Izračunajmo jo za zrak, pri čemer upoštevajmo, da ima zrak pri 0^oC in tlaku 1 bar gostoto 1,29kg/m^3. Dobimo torej

    \[r=\frac{10^5\frac{N}{m^2}}{1,29\frac{kg}{m^ 3}273K}=284\frac{J}{kgK}.\]

Upoštevamo r v drugi obliki, torej \frac{p}{\rho T}=r. Malo preuredimo, pa dobimo tretjo obliko s specifično plinsko konstanto

    \[pV=mrT.\]

Do sedaj smo imeli maso plina fiksirano, vendar tudi maso plina lahko spreminjamo, tako da plin dodajajmo ali odvzemamo. Ob nespremenjenem tlaku in temperaturi je prostornina plina premo sorazmerna z maso in to ob upoštevanju plinske enačbe zapišemo takole

    \[V=V_o\frac{p_o}{p}\frac{T}{T_o}\frac{m}{m_o},\]

od koder dobimo

    \[pV=m\frac{p_oV_o}{T_om_o}T.\]

Za začetno maso plina m_o vzamemo kar maso enega kilomola plina M.(Kemiki pa raje delajo z molom, ki je tudi enota za množino snovi.) M je torej toliko kilogramov plina, kolikor znaša njegova relativna molekulska masa. Po Avogadroverm zakonu ima kilomol poljubnega plina 6\cdot 10^{26} molekul in pri standardnih pogojih (tlak p_o=1bar, temperatura T_o=0^oC=273K) prostornino V_o=22,4m^3. . Zato je smiselno definirati splošno plinsko konstanto R takole

    \[R= \frac{p_oV_o}{T_o}=\frac{10^5\frac{N}{m^2}22,4m^3}{273K}=8300\frac{J}{Kkmol}.\]

Za razliko od specifične plinske konstante r je splošna prinska konstanta R za vse pline enaka. Z njo zapišemo četrto obliko splošne prinske enačbe

    \[pV=\frac{m}{M}RT.\]

Upoštevajmo še, da je množina snovi n=\frac{m}{M}, pa lahko zapišemo tudi peto obliko

    \[pV=nRT\]

Nazadnje uvedimo Boltzmannovo konstanto k kot k=\frac{R}{N_A},

    \[k=\frac{8300\frac{J}{Kkmol}}{\frac{6\cdot 10^{26}}{kmol}}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}.\]

Z njo lahko zapišemo, potem ko upoštevamo m=Nm_1 in M=m_1N_A, pri čemer je N število molekul plina, še šesto obliko

    \[pV=NkT.\]

Vse enačbe veljajo za idealen plin, za realen pa so samo dober približek.

Obrazci v sfernem trikotniku

Objavljeno ,
Odgovori

Za poljuben sferni trikotnik

(z velikimi črkami so označeni koti, z malimi stranice, vse merimo v kotnih enotah) veljajo naslednje zveze:

  1. Razmerje med sinusom stranice in sinusom nasprotnega kota je stalno

        \[\frac{\sin{a}}{\sin{A}}=\frac{\sin{b}}{\sin{B}}=\frac{\sin{c}}{\sin{C}}\]

    – sinusni obrazec, zelo spominja na tistega iz ravninske trigonometrije,

  2. Cosinus stranice je enak vsoti produktov cosinusov ostalih dveh stranic ter sinusov produktov teh stranic in cosinusa vmesnega kota

        \[\cos{a}=\cos{b}\cos{c}+\sin{b}\sin{c}\cos{A},\]

        \[\cos{b}=\cos{a}\cos{c}+\sin{a}\sin{c}\cos{B},\]

        \[\cos{c}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{C}.\]

      – cosinusov obrazec, tudi spominja na cosinusov izrek iz ravninske geometrije.

  3. Produkt sinusa stranice in cosinusa priležnega kota  je enak produktu sinusa druge priležne stranice in cosinusa kotu nasprotne stranice minus produkt cosinusa druge priležne stranice, cosinusa nasprotne stranice in cosinusa vmesnega kota zadnjih dveh stranic.

        \[\sin{a}\cos{B}=\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}\]

     Sinusno-cosinusni izrek, še 5 takih enačb.

  4. Iz sinusnega in sinusno kosinusnega obrazca lahko izpeljemo še tangensni obrazec

        \[\tan{B}=\frac{\sin{b}\sin{a}}{\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}}\]

pravokotni sferni trikotnik

Je sferni trikotnik, v katerem je eden od kotov pravi, pri nas C=90^o.

Iz zgornjih dobimo v tem primeru deset obrazcev, ki si jih zapomnimo s pomočjo Napierjevega pravila. Elemente trikotnika zložimo v krog takole:

Pri zlaganju elementov pravokotnega sfernega trikotnika v Napierjev krog pazimo na naslednje:

  • Najprej vstavimo v zgornje polje “hipotenuzo”.
  • V polji poleg vstavimo hipotenuzi priležna kota.
  • V preostali polji vpišemo kompelemetarne kote “katet” tako, da so nasprotni nasprotnim kotom.

Pravilo pravi naslednje:

Cosinus vsakega elementa je enak produktu sinusov nasprotnih elementov ali pa produktu kotangensov sosednjih elementov.

Zapiši vseh 10 enačb, pri tem upoštevaj obrazce za komplementarne kote. Rezultate preveri v literaturi.