Osnove kinetične teorije plinov

Obravnavajmo plin mase $m$, zaprt v kockasti posodi s ploskvami površine $S$ in prostornino $V$ kot množico $N$ molekul mase $m_1$, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo $v$ v vseh smereh v posodi in se prožno odbijajo od sten. Uvedse imo številsko gostoto molekul $n$ kot število molekul na enoto prostornine, torej

$$n=\frac{N}{V},$$

Predpostavimo lahko, da se $\frac{N}{6}$ molekul giblje proti desni ploskvi posode in da je v plasti z debelino $vt$ ob tej ploskvi $nSvt$ molekul.

Ker se vsaka molekula od stene prožno odbije, je po izreku o gibalni količini sunek sile, s katero stena deluje na to molekulo, enaka spremembi njene gibalne količine, torej

$$F_1t=2m_1v.$$

Za vse molekule plina pa velja

$$Ft=\sum{F_1t}=\frac{nSvt}{6}\cdot 2m_1v=\frac{nSm_1v^2t}{3}.$$

Delimo to enačbo z $St,$ pa dobimo izraz za tlak plina $p$

$$p=\frac{nm_1v^2}{3}=\frac{\rho v^2}{3}.$$

Tole je torej prvi uspeh kinetične teorije – pojasni, kaj je tlak. Tlak plina je torej makroskopski pojav, ki je posledica trkov molekul plina s steno in je, kot vidimo, odvisen od gostote plina ($\rho=nm_1$) in od kvadrata povprečne hitrosti molekul tega plina.

Izrazimo iz zgornje enačbe skupno kinetično energijo teh molekul plina mase $m_1$, ki se gibljejo s povprečno hitrostjo $v.$

Ker je $$p=\frac{\rho v^2}{2}=\frac{mv^2}{3V}$$

S pomočjo splošne plinske enačbe dobimo

$$W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{3pV}{2}=\frac{3mRT}{2M}.$$

Zgornjo enačbo delimo s številom vseh molekul $N$, pa dobimo povprečno kinetično energijo ene molekule $\overline{W_k}$ kot

$$\overline{W_k}=\frac{W_k}{N}=\frac{m_1v^2}{2}=\frac{3Nm_1RT}{2N_Am_1N}=\frac{3RT}{2N_A}=\frac{3}{2}k_BT.$$

V zadnjem koraku smo uvedli Boltzmannovo konstanto $k_B=\frac{R}{N_A}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}.$ Zadnja enačba pojasnjuje temperaturo plina. Temperatura plina je torej mera za povprečno kinetično energijo molekul tega plina.

Tako kinetična teorija že na začetku pojasni dve makroskopski količini – temperaturo in tlak.