Splošna plinska enačba v srednji šoli

Plini se obravnavajo tako pri fiziki kot pri kemiji. Sam bom ubral pot, ki sem jo dolga leta uporabljal pri fiziki. Splošno plinsko enačbo, oziroma njeno prvo obliko, smo izpeljali iz plinskih zakonov – Boylovega in Gay-Lussacovega. Vsakega od teh zakonov smo prej prej potrdili s poskusom.

Imejmo torej plin pri tlaku $p_o$, v posodi prostornine $V_o$ in pri absolutni temperaturi $T_o$. Na kratko opišemo njegovo stanje kot $(p_o,V_o,T_o).$ Stisnimo ga pri stalni temperaturi na prostornino $V’$, torej

$$(p_o,V_o,T_o)\Longrightarrow (p,V˙,T_o).$$

Pri tej spremembi seveda velja Boylov zakon, torej

$$pV˙=p_oV_o$$,

produkt tlaka in prostornine plina se pri izotermni spremembni ne spremeni.

Nato pa ravno ta plin segrejmo pri stalnem tlaku, torej

$$(p,V’,T_o)\Longrightarrow (p,V,T).$$

Pri tej spremembi pa velja Gay-Lussacov zakon, torej

$$\frac{V}{T}=\frac{V’}{T_o}.$$

Iz obeh zakonov izrazimo $V’$ in izenačimo, pa dobimo prvo obliko splošne plinske enačbe:

$$\frac{pV}{T}=\frac{p_oV_o}{T_o}.$$

Upoštevajmo zvezo $m=\rho V=\rho_o V_o $ in vstavimo to v prvo obliko, pa dobimo drugo obliko splošne plinske enačbe

$$\frac{p}{\rho T}=\frac{p_o}{\rho_o T_o}.$$

Označimo desno stran z $r$, torej $r=\frac{p_o}{\rho_o T_o},$ in jo imenujmo specifična plinska konstanta, saj je odvisna od vrste plina. Izračunajmo jo za zrak, pri čemer upoštevajmo, da ima zrak pri $0^oC$ in tlaku $1 bar$ gostoto $1,29kg/m^3.$ Dobimo torej

$$r=\frac{10^5\frac{N}{m^2}}{1,29\frac{kg}{m^ 3}273K}=284\frac{J}{kgK}.$$

Upoštevamo $r$ v drugi obliki, torej $\frac{p}{\rho T}=r.$ Malo preuredimo, pa dobimo tretjo obliko s specifično plinsko konstanto

$$pV=mrT.$$

Do sedaj smo imeli maso plina fiksirano, vendar tudi maso plina lahko spreminjamo, tako da plin dodajajmo ali odvzemamo. Ob nespremenjenem tlaku in temperaturi je prostornina plina premo sorazmerna z maso in to ob upoštevanju plinske enačbe zapišemo takole

$$V=V_o\frac{p_o}{p}\frac{T}{T_o}\frac{m}{m_o},$$

od koder dobimo

$$pV=m\frac{p_oV_o}{T_om_o}T.$$

Za začetno maso plina $m_o$ vzamemo kar maso enega kilomola plina $M$.(Kemiki pa raje delajo z molom, ki je tudi enota za množino snovi.) $M$ je torej toliko kilogramov plina, kolikor znaša njegova relativna molekulska masa. Po Avogadroverm zakonu ima kilomol poljubnega plina $6\cdot 10^{26}$ molekul in pri standardnih pogojih (tlak $p_o=1bar$, temperatura $T_o=0^oC=273K$) prostornino $V_o=22,4m^3.$ . Zato je smiselno definirati splošno plinsko konstanto $R$ takole

$$R= \frac{p_oV_o}{T_o}=\frac{10^5\frac{N}{m^2}22,4m^3}{273K}=8300\frac{J}{Kkmol}. $$

Za razliko od specifične plinske konstante $r$ je splošna prinska konstanta $R$ za vse pline enaka. Z njo zapišemo četrto obliko splošne prinske enačbe

$$pV=\frac{m}{M}RT.$$

Upoštevajmo še, da je množina snovi $n=\frac{m}{M}$, pa lahko zapišemo tudi peto obliko

$$pV=nRT$$

Nazadnje uvedimo Boltzmannovo konstanto $k$ kot $k=\frac{R}{N_A}$,

$$k=\frac{8300\frac{J}{Kkmol}}{\frac{6\cdot 10^{26}}{kmol}}=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{K}.$$

Z njo lahko zapišemo, potem ko upoštevamo $m=Nm_1$ in $M=m_1N_A,$ pri čemer je $N$ število molekul plina, še šesto obliko

$$pV=NkT.$$

Vse enačbe veljajo za idealen plin, za realen pa so samo dober približek.