Obrazci v sfernem trikotniku

Za poljuben sferni trikotnik

(z velikimi črkami so označeni koti, z malimi stranice, vse merimo v kotnih enotah) veljajo naslednje zveze:

  1. Razmerje med sinusom stranice in sinusom nasprotnega kota je stalno

        \[\frac{\sin{a}}{\sin{A}}=\frac{\sin{b}}{\sin{B}}=\frac{\sin{c}}{\sin{C}}\]

    – sinusni obrazec, zelo spominja na tistega iz ravninske trigonometrije,

  2. Cosinus stranice je enak vsoti produktov cosinusov ostalih dveh stranic ter sinusov produktov teh stranic in cosinusa vmesnega kota

        \[\cos{a}=\cos{b}\cos{c}+\sin{b}\sin{c}\cos{A},\]

        \[\cos{b}=\cos{a}\cos{c}+\sin{a}\sin{c}\cos{B},\]

        \[\cos{c}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{C}.\]

      – cosinusov obrazec, tudi spominja na cosinusov izrek iz ravninske geometrije.

  3. Produkt sinusa stranice in cosinusa priležnega kota  je enak produktu sinusa druge priležne stranice in cosinusa kotu nasprotne stranice minus produkt cosinusa druge priležne stranice, cosinusa nasprotne stranice in cosinusa vmesnega kota zadnjih dveh stranic.

        \[\sin{a}\cos{B}=\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}\]

     Sinusno-cosinusni izrek, še 5 takih enačb.

  4. Iz sinusnega in sinusno kosinusnega obrazca lahko izpeljemo še tangensni obrazec

        \[\tan{B}=\frac{\sin{b}\sin{a}}{\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}}\]

pravokotni sferni trikotnik

Je sferni trikotnik, v katerem je eden od kotov pravi, pri nas C=90^o.

Iz zgornjih dobimo v tem primeru deset obrazcev, ki si jih zapomnimo s pomočjo Napierjevega pravila. Elemente trikotnika zložimo v krog takole:

Pri zlaganju elementov pravokotnega sfernega trikotnika v Napierjev krog pazimo na naslednje:

  • Najprej vstavimo v zgornje polje “hipotenuzo”.
  • V polji poleg vstavimo hipotenuzi priležna kota.
  • V preostali polji vpišemo komplemetarne kote “katet” tako, da so nasprotni nasprotnim kotom.

Pravilo pravi naslednje:

Cosinus vsakega elementa je enak produktu sinusov nasprotnih elementov ali pa produktu kotangensov sosednjih elementov.

Zapiši vseh 10 enačb, pri tem upoštevaj obrazce za komplementarne kote. Rezultate preveri v literaturi.