Tangentne kroge si lahko ogledate tu.
Ali pa si ogledate predstavno datoteko
Tangentne kroge si lahko ogledate tu.
Ali pa si ogledate predstavno datoteko
V tehniki je v navadi telesa (predmete, izdelke) predočiti z risbo. Predmete narišemo v eni od značilnih projekcij, mere najlaže razberemo na risbi s pravokotnimi projekcijami (naris, tloris, stranski ris), obliko pa laže razberemo iz aksonometrične projekcije telesa, v tehniki je zaradi uporabnih lastnosti pogosto uporabljena izometrična projekcija.
Razpored pogledov je določen s pravili in standardi (v krajih čez lužo je v navadi nekolikanj drugačna razporeditev). Primer na sliki pokaže, kako se streže stvari. Na izometrični projekciji označimo smer pogleda za naris.
Tehniki so tako pogosto pred nalogo, da morajo iz ene projekcije ustvariti drugo – na papirju ali zaslonu, pred tem pa v glavi.
V slovenskih tehničnih šolah že nekaj let poteka tekmovanje PIKO (Projekcije in kotiranje), kjer dijaki tekmujejo v znanju tehničnega risanja oz. prostorske predstavljivosti. Spodnja naloga je bila na šolskem tekmovanju 2017.
Na sliki so pravokotne projekcije (naris, stranski ris ter tloris) oglatega telesa. Narišite to telo v izometrični projekciji. Koliko rešitev ima naloga?
Koliko je vrednost spodnjega izraza?
$$ \sqrt{x \sqrt[3]{x\sqrt[4]{x…}}} $$
Andrej je objavil naslednjo nalogo:
Če brez prekrivanja dodamo v vogal trikotnika še dva mnogokotnika, dobimo zgornjo skico. Ali lahko to naredimo še s kakšnim parom mnogokotnikov, od katerih bi imel eden več stranic?
Rešitev: Spomnimo se, da je velikost notranjega kota v pravilnem n-kotniku enaka $(n-2)\frac{180^o}{n}$ ali v radianih $(n-2)\frac{\pi}{n},$ pa lahko za kot v skupnem oglišču večkotnikov zapišemo
$$\frac{\pi}{3}+(m-2)\frac{\pi}{m}+(n-2)\frac{\pi}{n}=2\pi.$$
Po ureditvi dobimo lepo diofanstko enačbo
$$mn-6m-6n=0.\qquad(1)$$
Iščemo torej taki naravni števili $m$ in $n,$ ki tej enačbi zadoščata. Prištejmo na obeh straneh enačbe $36$ in levo stran razcepimo. Dobimo
$$(m-6)(n-6)=36$$
Na levi strani enačbe sta dva faktorja, torej morata biti tudi na desni dva. Ker je
$$36=1\cdot36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6,$$
vidimo, da so rešitve enačbe (1) naslednji pari $(m,n):$
$$(7,42),\quad (8,24),\quad (9,18),\quad (10,15),\quad(12,12).$$
Na zgornji skici je narisana srednja rešitev, devetkotnik in osemnajstkotnik. Možnosti sta torej še dve: osemkotnik in štiriindvajsetkotnik ter sedemkotnik in dvainštiridesetkotnik.
Kaj imajo skupnega naslednji verižni ulomki
$$x_1=2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{\ddots}}}},$$
$$x_2=4i+\cfrac{4}{4i+\cfrac{4}{4i+\cfrac{4}{4i+\cfrac{4}{\ddots}}}},$$
$$x_3=6i+\cfrac{9}{6i+\cfrac{9}{6i+\cfrac{9}{6i+\cfrac{9}{\ddots}}}},$$
$$x_4=8i+\cfrac{16}{8i+\cfrac{16}{8i+\cfrac{16}{8i+\cfrac{16}{\ddots}}}},$$
in
$$x_5=10i+\cfrac{25}{10i+\cfrac{25}{10i+\cfrac{25}{10i+\cfrac{25}{\ddots}}}}.$$
Izračunajte vrednost vsakega od njih.
Zapišite $x_6!$
kolikšna je vrednost $x_6?$
V poljubno verzijo Pythona dodamo katero od grafičnih knjižnic. Prav preprosta je graphic.py . Namestimo jo na disk tako, da postane Pythonu vidna, preberemo še navodila na začetku knjižnice in lahko začnemo s programiranjem grafike. Tako recimo koda
from math import * from graphics import * def delay(m): for i in range(1000*m): continue def main(): mx=600 # širina in višina okna my=400 win=GraphWin("Moj Krog",mx,my,autoflush=False) p=Rectangle(Point(0,0),Point(mx,my)) p.setFill("white") c=Circle(Point(mx/2,my/2),10) #Zemlja je modri krogec c.setFill("blue") p.draw(win) c.draw(win) dt=10 #interval med računi leg x=mx/3 #začetna lega y=0 vx=0 # začetna hitrost vy=0.04 # to komponento malo spremeni while True: r=sqrt(x*x+y*y) # račun razdalje satelit-Zemlja ax=-x/(r*r*r) # pospešek satelita sledi iz ay=-y/(r*r*r) # gravitacijskeg azakona vx=vx+ax*dt # račun nove hitrosti vy=vy+ay*dt x=x+vx*dt #račun nove lege satelita y=y+vy*dt t=Point(mx/2+x,my/2-y) # risanje satelita t.setFill("red") t.draw(win) delay(100) #t.setFill("white") #t.draw(win) update() win.getMouse() win.close() main()
spravimo v gibanje satelit okrog Zemlje.
Oglejmo si naslednje verižne ulomke
$$x_1=1+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{2+\cfrac{3}{\ddots}}}},$$
$$x_2=1+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{2+\cfrac{8}{\ddots}}}},$$
$$x_3=1+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{2+\cfrac{15}{\ddots}}}},$$
$$x_4=1+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{2+\cfrac{24}{\ddots}}}},$$
$$x_5=1+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{2+\cfrac{35}{\ddots}}}},$$
itd.
Najprej opazimo, da se ti verižni ulomki razlikujejo samo v števcih, zato najprej pomislimo, da so morda narejeni na enak način, po isti šabloni. Vrednost ulomkov lahko tudi najprej uganemo, npr, tako, da izračunamo nekaj zaporednih približkov vsakega od njih. Dobimo naslednje vrednosti $$x_i=i+1;\qquad i=1,..,5$$ Nato si ogledamo te vrednosti ter števce verižnih ulomkov. Dovolj oster pogled razkrije, da so števci v verižnem ulomku $x$ enaki $x^2-1,$ torej
$$x=1+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{2+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}$$
ali
$$x=1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{1+1+\cfrac{x^2-1}{\ddots}}}}.$$
Od tod pa hitro prepoznamo
$$x=1+\frac{x^2-1}{1+x},$$
oziroma znan obrazec iz osnovne šole
$$x-1=\frac{x^2-1}{1+x}.$$
To je tisto kopito, po katerem so sestavljeni zgornji verižni ulomki. Sestavite še kakšnega sami.
Naloga: Tudi verižni ulomek
$$[1;1,\overline{2}]=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}$$
spada v to skupino. Zakaj? Kolikšna je njegova vrednost? Sestavi še kakšen tovrstni verižni ulomek iracionalne vrednosti.