Nenavadne identitete

  • Diofant

$$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2,$$

  • Bramagupta

$$(a^2-Nb^2)(c^2-Nd^2)=(ac+Nbd)^2-N(ad+bc)^2,$$

  • Aryabhata

$$(1+2+3+\dots +n)^2=1^3+2^3+3^3+\dots +n^3, $$

  • Euler

$${\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\dots\right)}^2=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\dots,$$

 

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici $c$ poljubno točko $D.$  Zveznico $\overline{CD}$ označimo z $d$. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

$$m^2a+n^2b=c(d^2+mn).$$

Dokaz: Kota $\angle ADC$ in $\angle CDB$ sta suplementarna, označimo ju z $\varphi$ in $180^o-\varphi.$ Ker je $\cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),$  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

$$\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.$$

Preuredimo in dvakrat upoštevamo $m+n=c,$ pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Kristal grafita

Kristal grafita ustvari v TikZu naslednja koda:

\begin{tikzpicture}
\foreach \z in {1,2,...,5}
\foreach \y in {1,2,...,5}
\foreach \x in {1,2,...,5}
\shade[ball color=black](\x,\z,\y) circle(0.5cm);
\end{tikzpicture}