Nenavadne identitete

  • Diofant

$$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2,$$

  • Bramagupta

$$(a^2-Nb^2)(c^2-Nd^2)=(ac+Nbd)^2-N(ad+bc)^2,$$

  • Aryabhata

$$(1+2+3+\dots +n)^2=1^3+2^3+3^3+\dots +n^3, $$

  • Euler

$${\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\dots\right)}^2=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\dots,$$

 

Stewartov izrek

Imejmo trikotnik ABC in na stranici $c$ poljubno točko $D.$  Zveznico $\overline{CD}$ označimo z $d$. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

$$m^2a+n^2b=c(d^2+mn).$$

Dokaz: Kota $\angle ADC$ in $\angle CDB$ sta suplementarna, označimo ju z $\varphi$ in $180^o-\varphi.$ Ker je $\cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),$  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

$$\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.$$

Preuredimo in dvakrat upoštevamo $m+n=c,$ pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Kristal grafita

Kristal grafita ustvari v TikZu naslednja koda:

\begin{tikzpicture}
\foreach \z in {1,2,...,5}
\foreach \y in {1,2,...,5}
\foreach \x in {1,2,...,5}
\shade[ball color=black](\x,\z,\y) circle(0.5cm);
\end{tikzpicture}

Perioda neke funkcije

Andrej je zastavil naslednjo nalogo:

Koliko je osnovna perioda funkcije \(f(x), \) za katero velja \(\sqrt{3}f(x) = f(x – 1) + f(x + 1)\)?

Rešitev: V zgornjo zvezo vstavimo najprej $x=1$ pa pridelamo zvezo:

$$f(2)=\sqrt{3}f(1)-f(0).$$

Tako nadaljujemo, pa dobimo še

$$f(3)=\sqrt{2}f(1)-f(1)=2f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(4)=\sqrt{3}f(1)-f(2)=\sqrt{3}f(1)-2f(0),$$

$$f(5)=\sqrt{3}f(4)-f(3)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(6)=\sqrt{5}f(4)-f(4)=-f(1).$$

Zaslutimo, da smo na pol poti in tudi, kolikšn bo rezultat. Nadaljujemo:

$$f(7)=\sqrt{3}f(6)-f(5)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(8)=\sqrt{3}f(7)-f(6)=-\sqrt{3}f(1)+f(0),$$

$$f(9)=\sqrt{3}f(8)-f(7)=-2{3}f(1)+\sqrt{3}f(0),$$

$$f(10)=\sqrt{3}f(9)-f(8)=-\sqrt{3}f(1)+2f(0),$$

$$f(11)=\sqrt{3}f(10)-f(9)=-f(1)+\sqrt{3}f(0)$$

in nazadnje

$$f(12)=\sqrt{3}f(11)-f(10)=f(0).$$

Ker je $f(x+12)=f(x),$ je osnovna perioda te funkcije $12.$

Katera funkcija bi to lahko bila, pa prepuščamo v razmislek naprednemu bralcu.