kvadratni koreni
Zanimamo se za neskončne izraze oblike
$$x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(1)$$
pri čemer je $a>0.$
Vrednost takega izraza določimo tako, da najprej opazimo identičen izraz pod korenom, torej
$$x=\sqrt{a+x},$$
rešimo ustrezno kvadratno enačbo
$$x^2-x-a=0$$
in dobimo (zanima nas samo pozitivna rešitev)
$$x=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\quad\quad\quad(2)$$
Torej, če je $a=1$, dobimo zlato število
$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi,$$
če je $a=2,$ pa
$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{1+8}}{2}=2.$$
Vprašajmo se, za katera števila $a$ je vrednost izraza $x$ naravno število.
V (2) opazimo, da mora biti izraz pod korenom lihi kvadrat, torej kvadrat lihega števila. Torej
$$1+4a=m^2,$$
od koder dobimo $$a=\frac{(m+1)(m-1)}{4}.\quad\quad\quad (3)$$
Upoštevajmo še, da je $m=2n-1,$ vstavimo v (3), pa dobimo
$$a=n(n+1).$$
Vrednost izraza (1) je torej naravno število, če je $a$ produkt zaporednih naravnih števil.
Andrej Jakobčič je predlagal še hitrejši dokaz:
Enaćbo $$x^2-x-a=0$$
je predelal takole
$$x(x-1)=a,$$
pa se zahteva za $a$ takoj vidi.
Število $a$ mora torej biti dvakratnik trikotniškega ali podolžno število.
tretji koreni
Ponovimo zgodbo s tretjimi koreni. Zanima nas torej, ali je kdaj izraz oblike
$$x=\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(4)$$
pri čemer je $a$ poljubno celo število, tudi celo število.
Izraz kubiramo, pa dobimo enačbo
$$x^3-x-a=0.\quad\quad\quad 5$$
Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj eno realno ničlo, recimo ji $b$. Delimo $(5)$ z $x-b$, pa dobimo
$$x^3-x-a=(x-b)(x^2+bx+b^2-1)+b(b^2-1)-a.$$
Če naj bo $b$ ničla, mora biti ostanek $b(b^2-1)-a=0$, od koder sledi
$$a=(b-1)b(b+1).$$
Če torej hočemo, da bo rezultat celo število $b$, mora biti $a=(b-1)b(b+1).$
Pridelamo lahko torej poljubno naravno število $b>1$, če za a izberemo $a=6,24,60, 96,…$
Veljajo torej naslenje neenakosti:
$$\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots}}}}=2,$$
$$\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots}}}}=3,$$
$$\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\dots}}}}=4,$$
itd..
Mimogrede
$$\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots}}}}=P,$$ je plastična konstanta…
Posplošitev
Oglejmo si torej vgnezden radikal
$$x=\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\dots}}}}.\quad\quad\quad (6)$$
Po potenciranju dobimo polinom
$$x^n-x-a=0,$$
ok koder dobimo
$$a=x^n-x.\quad\quad\quad (7)$$
Obrnimo nalogo, pa vidimo: Če izberemo $a$ tako, da bo veljalo (7) za poljuben $x \in \cal{N},$ bo imel izraz (6) vrednost $x.$
Primeri:
Ugotovi vrednost naslednjih vgnezdenih radikalov:
$$x=\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\dots}}}},$$
$$x=\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\dots}}}},$$
$$x=\sqrt[5]{30+\sqrt[6]{30+\sqrt[5]{30+\sqrt[5]{30+\dots}}}},$$
$$x=\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\dots}}}}.$$