Posplošitev neke naloge

V Quori je bila objavljena naslednja naloga:

Poišči vse take peterke naravnih števil $(a,b,c,d,e)$, ki zadoščajo enačbi $$abcde=a+b+c+d+e.$$

Tam najdete tudi njeno rešitev.

Andrej pa je to nalogo posplošil takole:

Pokaži, da ima za vsak n enačba $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ (do permutacij natanlčno) vsaj eno rešitev $(x_1,x_2,\dots x_n)$, pri tem pa so vsi $x_i$ naravna števila.

Odgovor na njegovo vprašanje sem preformuliral  takole:

Izrek: Za poljubno naravno število $n>1$ ima enačba $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ vsaj $n(n-1)$ rešitev takih, da so komponente naravna števila. Dobimo jih, če permutiramo komponente n-terice  $(1,1,\dots 1,2,n)$.

Dokaz:  Če je $n=2,$ zapišemo enačbo kot

$$x_1x_2-x_1-x_2=0.$$

Prištejemo na obeh straneh enačbe $1$ in nato razcepimo levo stran. Dobimo

$$(x_1-1)(x_2-1)=1.$$

Od tod dobimo rešitev $x_1=x_2=2$.

Za splošen n pa ravnamo takole: Ker je enačba  $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ homogena, brez škode za splošnost vzamemo $x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n.$ Najprej obdelamo možnost, da so vsi $x_i$ enaki. Dobimo enačbo

$$x_n^n=nx_n$$

in iz nje $$x_n^{n-1}-n=0,$$

ki nima naravnih rešitev. Torej možnost enakih $x_i$-jev odpade. Preostane torej

$$x_1x_2\dots x_n< nx_n$$

in po deljenju z $x_n$

$$2\leq x_1x_2\dots x_{n-1}\leq n-1.$$

Produkt $ x_1x_2\dots x_{n-1}$ je torej enak nekemu naravnemu številu $a$ med vključno $2$ in $n-1$.

Za $a=2$ dobimo

$ x_1x_2\dots x_{n-1}=2.$

Vzemimo npr. $x_{n-1}=2.$ Potem morajo biti $x_1=x_2=\dots=x_{n-2}=1,$ od koder dobimo $x_n=n.$

Rešitve enačbe v množici naravnih števil so torej vse permutacije komponent n-terice $$(1,1,\dots 1,2,n),$$ teh pa je $n(n-1).$