Signal

Po Fourierju lahko vsako periodično funkcijo zapišemo kot vsoto ali vrsto drugih periodičnih funkcij.
Animavija kaže, kako pravokoten signal lahko  kot vsoto sinusov tem bolj natančno, čim več členov  vsota vsebuje.

Premikaj drsnik.

Generator pravokotne in trikotne napetosti

Skoraj poljubna periodična funkcija se lahko izrazi kot neskončna vsota sinusov in cosinusov. Postopku pravimo razvoj funkcije v Fourierovo vrsto. Približek funkcije pa dobimo, če seštejemo samo nekaj prvih členov vrste.

Na voljo imaš pet sinusnih napetosti, katerim lahko nastavljaš amplitudo in (krožno) frekcenco. Sestavi iz njih približka za:

  • pravokotno napetost
  • trikotno napetost.

M Yunus:Novemu kapitalizmu nasproti

…prebral knjigo knjigo Muhammada Yunusa Novemu kapitalizmu nasproti – socialno podjetništvo za svet brez revščine….osupljivo….gotovo se kdo spomni, mož je pred časom pričel dajati mikroposojila (nekaj 10 dolarjev) svojim sodržavljankam v Bangladešu samo na stisk roke, tako d aso lahko s svojim delom prestopile prag revščine (1dolar/dan). Namesto, da bi propadel, je večina svojega denarja dobil nazaj, dejavnost pa še neverjetno razširil v duhu socialnega podjetništva – njegov cilj je, da ves profit usmeri v nove dejavnosti, ki koristijo ljudem – tako ima v Bagladešu 30 milijonov ljudi internet, torej vsak šesti…a njegove dejavnosti gredo še dosti dlje in postavlja se vprašanje, ali je to zametek novega sistema…
‎…ena od mnogih pogruntavščin gospoda Yunusa so bile tudi “gospe s telefoni”. V času od 1996 naprej je okrog 30000 nepismenim ženskam s podeželja omogočil s svojim kreditom nakup mobilnega telefona, da so ga posojale vaščanom in z medsebojnim povezovanjem ljudi ustvarile prihodke zase in za družine.
Ena od njih je, ko so jo vprašali, ali ima težave s tipkanjem telefonskih številk, odgovorila: “Zavežite mi oči in povejte, katero številko naj vtipkam. Če mi je ne uspe pravilno odtipkati v prvem poskusu, vrnem telefon in preneham z delom.”

Vgnezdeni radikali

Vgnezdeni radikali (ang. Nested radical) so v algebri radikali (koreni), ki sami  vsebujejo radikale (korene). Primeri so npr.

\[ \sqrt{5-\sqrt{5}},\] ki nastopa v petkotniku,

\[\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sin{\frac{\pi}{12}},\]

itd. Radikalu, ki ni vgnezden, recimo enostaven radikal . Zanima nas, kdaj lahko vgnezdeni radikal spremenimo v enostavnega.  Pokaži npr. na dva načina, da je

\[\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\]

Namig: Dijaki 2. letnika poiščite koren kvadrata desne strani, dijaki 3. letnika pa uporabite adicijski zrek in obrazec za polovični kot…)

Najljubša naloga

[latexpage]

Izmed vseh matematičnih nalog iz svojih gimnazijskih časov mi je v spominu najdlje ostala  naslednja:

V gradu straši, a ne vsako noč. Zagotovo straši, če prejšnjo noč ni strašilo. Če pa je prejšnjo noč strašilo, je enako verjetno, da to noč straši, kot da ne straši. V noči od srede na četrtek je strašilo. Kolika je verjetnost, da bo strašilo v noči od nedelje na ponedeljek?

Nalogo  je v šestdesetih letih objavil France Križanič v tretjem od svojih slavnih učbenikov za matematiko v gimnaziji Aritmetika, algebra in analiza, nekoliko spremenjeno pa jo najdemo tudi v njegovih kasnejših učbenikih.  Naloga sodi med markovske verige,  poglavju iz verjetnostnega računa, ki se imenuje po ruskem matematiku Andreju Andrejeviču Markovu.  Poglavje ni našlo svojega prostora v gimnazijskih učbenikih ne prej ne kasneje. Zakaj ne prej, je še razumljivo, saj si je Križanič prizadeval  posodobiti gimnazijsko matematiko in mu je to tudi uspelo. Kasneje pa je v gimnazijsko ladjo vkrcalo preveč potnikov in v skrbi, da jim ne bi bilo kaj pretežko, so vrgli proč večino njegovih posodobitev.

Zaporedju poskusov, ko se vsakič zgodi natanko eden od nezružljivih dogodkov

$$A_1,A_2,\dots ,A_n$$

in je verjetnost  $p_{ij}$, da se bo v naslednjem poskusu zgodil $A_j$, odvisna samo od dogodka $A_i$ iz tekočega poskusa in od $A_j$, pravimo veriga Markova ali markovska veriga. Posamezne verjetnosti $p_{ij}$ zapišemo v kvadratni prehodni matriki

$$P=\left[\begin{matrix}

p_{11},&p_{12},&\dots&p_{1n}\\

p_{21},&p_{22},&\dots&p_{2n}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

p_{n1},&p_{n2},&\dots&p_{nn}\\

\end{matrix}\right]

$$

Vsota verjetnosti v vsaki vrstici marike $P$ je $$p_{i1}+p_{i2}+\dots+p_{in}=1,$$ saj se eden od dogodkov $A_i$ gotovo  zgodi.

Vrnimo se k reševanju naše naloge:

z $A_1$ označimo “straši”, z $A_2$ pa “ne straši”.  Potem elementi naše prehodne matrike pomenijo naslednje:

  • $p_{11} $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je prejšnjo strašilo,
  • $p_{12} $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je prejšnjo strašilo,
  • $p_{21} $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, prejšnjo ni strašilo,
  • $p_{22} $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če prejšnjo ni strašilo.

Iz teksta naloge preberemo naslednjo prehodno matriko

$$P=\left[\begin{matrix}

\frac{1}{2},&\frac{1}{2}\\

1,&0\\

\end{matrix}\right]

$$

Kaj pa po dveh nočeh? Označimo z

  • $p_{11}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je pred dvema strašilo,
  • $p_{12}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je pred dvema strašilo,
  • $p_{21}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč straši, pred dvema ni strašilo,
  • $p_{22}(2) $ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če pred dvema ni strašilo.

Dogodek, da to noč straši, če je pred dvema strašilo, se lahko zgodi takole: straši vse tri noči zapored ali pa straši – ne straši – straši. Dogodki so med seboj neodvisni, produkti pa nezdružljivi. Zato lahko zapišemo:

$$p_{11}(2) =p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}$$

Po podobnem premisleku dobimo še tri enačbe:

$$p_{12}(2) =p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}$$

$$p_{21}(2) =p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}$$

$$p_{22}(2) =p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}$$

V zadnjih enačbah prepoznamo elemente kvadrata prehodne matrike $P$. Če torej označimo s $P(2)$ prehodno matriko po dveh korakih  (nočeh), je

$$P(2)=\left[\begin{matrix}p_{12}(2),&p_{12}(2)\\p_{21}(2),&p_{22}(2)\\\end{matrix}\right]=

\left[\begin{matrix}p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}&p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}\\

p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}&p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}\\\end{matrix}\right]=P^2.$$

Brez težav posplošimo na prehodno matriko za n korakov. Uganili ste

$$P(n)=P^n.$$

Preostane še, da preštejete , koliko je noči, izračunate ustrezno prehodno matriko, v njej pogledate pravi element in mi sporočite rezultat.

Nostalgija(2)

Zadnjič sem pisal o tem, kako je Logo kakor feniks ponovno vstal iz pepela, tokrat v preobleki Pythonove želvje grafike. Nekaj preprostih ukazov , pa vam program lahko riše lepe krivulje. Grafika pa lahko postane nekaj posebnega, če pri njenem nastajanju uporabite rekurzijo – programerski prijem, s katerim velik problem razdelite na identične, a nekoliko manjše probleme. Seveda se to da narediti samo pri posebnih problemih. Včasih smo občudovali Hilbertove krivulje, krivulje Sierpinskega, hanojske stolpiče, celo permutacije se dajo programirati rekurzivno. A tokrat (pogled skozi okno pove, da še vedno sneži) si oglejmo Kochovo snežinko.

Koda je naslednja:

#Kochova snežinka, V.Petruna feb.2013
from Tkinter import *
import math
import turtle
a=80
def koch(x,stopnja):
    if stopnja<1:
        turtle.forward(x)
    else:
        koch(x/3,stopnja-1)
        turtle.left(60)
        koch(x/3,stopnja-1)
        turtle.right(120)
        koch(x/3,stopnja-1)        
        turtle.left(60)
        koch(x/3,stopnja-1)
turtle.heading()
turtle.penup()
turtle.setpos(-600,0)
turtle.pendown()
for n in range(5):    
    for i in range(3):        
        koch(243,n)
        turtle.right(120)
    turtle.penup()
    turtle.forward(243)
    turtle.pendown()
mainloop()

Dolžina 243 ni izbrana naključno, saj je to \(3^5.\) Tako se izognemo napaki zaradi necelega deljenja. Program nam ustvari naslednjo risbico