A.J. je objavil naslednjo nalogo:
Poenostavi izraz: \[x=\sqrt[3]{50+\sqrt{\frac{67375}{27}}}+\sqrt[3]{50-\sqrt{\frac{67375}{27}}}\]
Ena od možnih poti reševanja je, da se opremo na iz osnovne šole znani obrazec za kub dvočlenika:
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\]
Označimo torej z \[a=50\] in \[b=\frac{67375}{27},\] pa začnimo:
\[x=\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{\left( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right)^3}=\]
\[=\sqrt[3]{2a+3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot x}\]
Enačbo kubiramo, da dobimo kubično enačbo
\[x^3-3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot x-2a=0\]
Vstavimo noter a in b, pa dobimo enačbo
\[x^3-5x-100=0,\]
ki ima edino realno rešitev \[x=5\], kar je tudi vrednost danega izraza.
Prav mogoče je, da obstaja še kakšna druga pot…
Naloga postavlja več dodatnih vprašanj, npr. pri katerih naravnih (ali vsaj racionalnih) številih a in b je izraz te oblike naravno število. S pomočjo tehnologije lahko najdemo nekaj najmanjših dvojic. Preizkusi naslednje pare:
a | 9 | 14 | 20 | 26 | 40 |
b | 80 | 169 | 392 | 675 | 1573 |