Poenostavitev iracionalnega izraza

A.J. je objavil naslednjo nalogo:

Poenostavi izraz: \[x=\sqrt[3]{50+\sqrt{\frac{67375}{27}}}+\sqrt[3]{50-\sqrt{\frac{67375}{27}}}\]

Ena od možnih poti reševanja je, da se opremo na iz osnovne šole znani obrazec za kub  dvočlenika:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\]

Označimo torej z \[a=50\] in \[b=\frac{67375}{27},\] pa začnimo:

\[x=\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{\left( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right)^3}=\]

\[=\sqrt[3]{2a+3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot x}\]

Enačbo  kubiramo, da dobimo kubično enačbo

\[x^3-3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot x-2a=0\]

Vstavimo noter a in b, pa dobimo  enačbo

\[x^3-5x-100=0,\]

ki ima edino realno rešitev \[x=5\], kar je tudi vrednost danega izraza.

Prav mogoče je, da obstaja še kakšna druga pot…

Naloga postavlja več dodatnih vprašanj, npr. pri katerih naravnih (ali vsaj racionalnih) številih a in b je izraz te oblike naravno število. S pomočjo tehnologije lahko najdemo nekaj najmanjših dvojic. Preizkusi naslednje pare:

a 9 14 20 26 40
b 80 169 392 675 1573