Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo $R=1\Omega$.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja $R_x$?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo $R_x$ dodamo eno vejo.

Velja

$$R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x$$

$$R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x$$

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za $R_x$

$$R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0$$

$$R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R$$

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom $R_x=\varphi=1,618…$.
$R_x$ je pravzaprav enak številu zlatega reza $\varphi$.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

$R_1=R=1$

$R_2=R+R=2R=2$

$R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5$

$R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666$

$R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6$

$R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625$

$R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615$

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, …$$
alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

TikZ(4)-risanje grafov funkcij

Koda za risanje grafov elementarnih funkcij je približno naslednja

%V.Petruna, grafi fukcij, območje risanja  je[-3,5]
\begin{tikzpicture}[domain=-3:5]
%mreža
\draw[thin,color=gray,dotted] (-3.1,-3.1) grid (3.9,3.9);
%osi
\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,4.2) node[above] {$f(x)$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node at(\x,0)[below]{$\x$};
\node at(0,\x)[right]{$\x$};
}
%funkcije
\begin{scope}[ultra thick]
\draw[color=red] plot (\x,\x) node[right] {$f(x) =x$};
\draw[color=blue] plot (\x,{-sin(\x r)}) node[right] {$f(x) = -\sin x$};
\draw[color=orange] plot (\x,{0.05*exp(\x)-3}) node[right] {$f(x) = 
\frac{1}{20} \mathrm e^x-3$};
\draw[color=magenta,domain=-1:5] plot (\x,{sqrt(\x+1)}) node[right] {$f(x) =  \sqrt {x+1}$};
\end{scope};
\end{tikzpicture}

Tale koda nam da naslednjo precej profesionalno sličico funkcij

funkcije

Prekopirajte kodo v QTikZ in jo spreminjajte, tako da dobite grafe drugih funkcij.

Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]
    2. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]
    3. Določi vrednost verižnega ulomka \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]
    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je \(R_1=10\Omega\)  in \(R_1=15\Omega.\) .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo \[x=\sqrt{2+x}\]. Rešitev te enačbe, ki ustreza, je \(x=2.\)
  2. Ravno tako označimo \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\] dobimo enačbo \[x^2=2x\], kateri ustreza rešitev \(x=2.\)
  3. Podobno označimo \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]. Tokrat dobimo enačbo \[x=1+\frac{1}{x}\]  oziroma kvadratno enačbo \[x^2-x-1=0,\]ki ima za rešitev zlato število \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]   Od tod dobimo  kvadratno enačbo  \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\] ki ima  rešitev\[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]

Pravokotni trikotnik

V enem od zvezkov Shrinivase Ramanujana najdemo tudi skico naslednjega pravokotnega trikotnika z lokoma, ki razdelita hipotenuzo na daljice u, v in z.

Skica je uvod v nalogo, katere lažji del se prične takole: Pokaži, da je \[v^2=2uz.\]

Neskončni vgnezdeni radikali(1)

Med neskončnimi vgnezdenimi radikali oblike

\[\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\dots}}}}}\]

pri čemer je \(n\in \mathbb{N}\), so nekateri taki, da je nihova vrednost naravno število, npr.

\[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}}=2\]

in

\[\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}}}=3\]

Za kakšna števila \(n\) je to res?