Mesečni arhiv: januar 2013

Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Objavljeno ,

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo R=1\Omega.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja R_x?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo R_x dodamo eno vejo.

Velja

    \[R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x\]

    \[R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x\]

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za R_x

    \[R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0\]

    \[R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R\]

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom R_x=\varphi=1,618....
R_x je pravzaprav enak številu zlatega reza \varphi.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

R_1=R=1

R_2=R+R=2R=2

R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5

R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666

R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6

R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625

R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti

    \[\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, ...\]

alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

TikZ(4)-risanje grafov funkcij

Objavljeno ,

Koda za risanje grafov elementarnih funkcij je približno naslednja

%V.Petruna, grafi fukcij, območje risanja  je[-3,5]

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}[domain=-3:5]
%mreža
\draw[thin,color=gray,dotted] (-3.1,-3.1) grid (3.9,3.9);
%osi
\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,4.2) node[above] {$f(x)$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node at(\x,0)[below]{$\x$};
\node at(0,\x)[right]{$\x$};
}
%funkcije
\begin{scope}[ultra thick]
\draw[color=red] plot (\x,\x) node[right] {$f(x) =x$};
\draw[color=blue] plot (\x,{-sin(\x r)}) node[right] {$f(x) = -\sin x$};
\draw[color=orange] plot (\x,{0.05*exp(\x)-3}) node[right] {$f(x) = 
\frac{1}{20} \mathrm e^x-3$};
\draw[color=magenta,domain=-1:5] plot (\x,{sqrt(\x+1)}) node[right] {$f(x) =  \sqrt {x+1}$};
\end{scope};
\end{tikzpicture}

*** Error message:
Environment tikzpicture undefined.
leading text: \begin{tikzpicture}




Tale koda nam da naslednjo precej profesionalno sličico funkcij


funkcije


Prekopirajte kodo v QTikZ in jo spreminjajte, tako da dobite grafe drugih funkcij.

Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Objavljeno ,

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza

          \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]

    2. Določi vrednost izraza

          \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]

    3. Določi vrednost verižnega ulomka

          \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]

    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je R_1=10\Omega  in R_1=15\Omega. .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo

        \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]

    Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo

        \[x=\sqrt{2+x}\]

    . Rešitev te enačbe, ki ustreza, je x=2.

  2. Ravno tako označimo

        \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\]

    dobimo enačbo

        \[x^2=2x\]

    , kateri ustreza rešitev x=2.

  3. Podobno označimo

        \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]

    . Tokrat dobimo enačbo

        \[x=1+\frac{1}{x}\]

      oziroma kvadratno enačbo

        \[x^2-x-1=0,\]

    ki ima za rešitev zlato število

        \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]

  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor

        \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]

       Od tod dobimo  kvadratno enačbo 

        \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\]

    ki ima  rešitev

        \[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]

Pravokotni trikotnik

Objavljeno ,

V enem od zvezkov Shrinivase Ramanujana najdemo tudi skico naslednjega pravokotnega trikotnika z lokoma, ki razdelita hipotenuzo na daljice u, v in z.

Skica je uvod v nalogo, katere lažji del se prične takole: Pokaži, da je

    \[v^2=2uz.\]