Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo $R=1\Omega$.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja $R_x$?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo $R_x$ dodamo eno vejo.

Velja

$$R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x$$

$$R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x$$

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za $R_x$

$$R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0$$

$$R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R$$

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom $R_x=\varphi=1,618…$.
$R_x$ je pravzaprav enak številu zlatega reza $\varphi$.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

$R_1=R=1$

$R_2=R+R=2R=2$

$R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5$

$R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666$

$R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6$

$R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625$

$R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615$

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, …$$
alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

TikZ(4)-risanje grafov funkcij

Koda za risanje grafov elementarnih funkcij je približno naslednja

%V.Petruna, grafi fukcij, območje risanja  je[-3,5]
\begin{tikzpicture}[domain=-3:5]
%mreža
\draw[thin,color=gray,dotted] (-3.1,-3.1) grid (3.9,3.9);
%osi
\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,4.2) node[above] {$f(x)$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node at(\x,0)[below]{$\x$};
\node at(0,\x)[right]{$\x$};
}
%funkcije
\begin{scope}[ultra thick]
\draw[color=red] plot (\x,\x) node[right] {$f(x) =x$};
\draw[color=blue] plot (\x,{-sin(\x r)}) node[right] {$f(x) = -\sin x$};
\draw[color=orange] plot (\x,{0.05*exp(\x)-3}) node[right] {$f(x) = 
\frac{1}{20} \mathrm e^x-3$};
\draw[color=magenta,domain=-1:5] plot (\x,{sqrt(\x+1)}) node[right] {$f(x) =  \sqrt {x+1}$};
\end{scope};
\end{tikzpicture}

Tale koda nam da naslednjo precej profesionalno sličico funkcij

funkcije

Prekopirajte kodo v QTikZ in jo spreminjajte, tako da dobite grafe drugih funkcij.

Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]
    2. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]
    3. Določi vrednost verižnega ulomka \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]
    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je \(R_1=10\Omega\)  in \(R_1=15\Omega.\) .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo \[x=\sqrt{2+x}\]. Rešitev te enačbe, ki ustreza, je \(x=2.\)
  2. Ravno tako označimo \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\] dobimo enačbo \[x^2=2x\], kateri ustreza rešitev \(x=2.\)
  3. Podobno označimo \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]. Tokrat dobimo enačbo \[x=1+\frac{1}{x}\]  oziroma kvadratno enačbo \[x^2-x-1=0,\]ki ima za rešitev zlato število \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]   Od tod dobimo  kvadratno enačbo  \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\] ki ima  rešitev\[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]

Pravokotni trikotnik

V enem od zvezkov Shrinivase Ramanujana najdemo tudi skico naslednjega pravokotnega trikotnika z lokoma, ki razdelita hipotenuzo na daljice u, v in z.

Skica je uvod v nalogo, katere lažji del se prične takole: Pokaži, da je \[v^2=2uz.\]

Neskončni vgnezdeni radikali(1)

Med neskončnimi vgnezdenimi radikali oblike

\[\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\dots}}}}}\]

pri čemer je \(n\in \mathbb{N}\), so nekateri taki, da je nihova vrednost naravno število, npr.

\[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}}=2\]

in

\[\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}}}=3\]

Za kakšna števila \(n\) je to res?

Shrinivasa

Ko prebiram delo indijskega matematika Shrinivase Ramanujana, ostajam osupel nekako tako kot ob pogledu na strop Sikstinske kapele in se spomnim na verz iz Župančičeve Dume:

...
kot da se niso rodili iz matere,
kot da goram se iz bokov izvili so
....

Zapisi trditev, ki jih je našel ta matematični genij brez formalne matematične izobrazbe (poguglajte, tudi njegov življenjepis je nekaj posebnega!), delujejo  kot nekaj izven zemeljskega, prej božanskega kot človeškega. Formule je velikokrat navajal brez dokazov in z njimi  osupljal  matematični svet zgodnjega 20. stoletja Lahko je bilo preveriti, da so njegove trditve resnične, a ostali matematiki so imeli polne roke dela, da so ugotovili, kako je Ramanujan prišel do njih.  Taka nam še razumljiva trditev je denimo

\[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots } } } }=3.\]

Izrazu zaporednih korenov na levi pravimo neskončni vgnezdeni radikal. Trditev lahko preverimo tako, da zračunamo nekaj zaporednih približkov, število približkov lahko bistveno povečamo strojno in ugotovimo, da je le-ta resnična. Toda, kako je Ramanujan prišel do nje?

Danes sem našel članek indijskega statističnega instituta, izdan ob obletnici Ramanujanovega rojstva. Naslovnica je pomenljiva
Za neskončnim vgnezdenim radikalom v naslovu je čudovita zgodba, ki se prične prav preprosto, namreč takole:
\(x+n=\sqrt{(x+n)^2}=\sqrt{n^2+x^2+2xn}=\sqrt{n^2+x(x+n+n)}\)       (1)
V rezultatu opazimo, da se je pod korenom znova pojavil izraz \(x+n\), torej imamo možnost neskončnega ponavljanja – rekurzije. Nadaljujemo z zadnjim faktorjem v prejšnjem korenu

\[x+2n=\sqrt{(x+2n)^2}=\sqrt{4n^2+x^2+4xn}=\sqrt{n^2+(x+n)(x+2n+n)},\]

\[x+3n=\sqrt{(x+3n)^2}=\sqrt{9n^2+x^2+6xn}=\sqrt{n^2+(x+2n)(x+3n+n)},\]

in tako naprej.  Opravimo ustrezne zamenjave v zadnjih faktorjih korenov, pa iz (1) dobimo Ramanujanov obrazec

\[x+n=\sqrt{n^2+x\sqrt{n^2+(x+n)\sqrt{n^2+(x+2n)\sqrt{\dots}}}}.\]

Za \(x=2\) in \(n=1\) nam ta obrazec res da
\[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots } } } }=3,\]

v obrazcu iz naslova članka pa je \(x=199\) in \(n=1\), gre torej za 120-letnico Ramanujevega rojstva.

Pa še naloga za vas: Izračunajte naslednji neskončni vgnezdeni radikal

\[\sqrt{25+55\sqrt{25+60\sqrt{25+65\sqrt{25+\dots } } } }\]