Radialni pospešek-izpeljava

[latexpage]

Izpeljava radialnega pospeška krožečega telesa sodi vsaj v srednji šoli med težje razumljivo snov, ki zahteva kar dobro tako matematično kot fizikalno podlago – od matematike elementarni  vektorski račun, poznavanje limitnega procesa, radianov in formule za krožni lok, od fizike pa računanje s silami in formule pri kroženju.  Razumevanje nam utegne olajšati naslednja animacija

S to animacijo nazorno pokažemo, da količnik dveh poljubno majhnih količin v splošnem ni majhen. Pokažemo tudi tako smer kot velikost radialnega pospeška. Ne pozabi opaziti, da v limitnem procesu velikost razlike hitrosti \(\Delta v\) lahko zamenjamo z dolžino pripadajočega krožnega loka. Tako pridemo do velikosti radialnega pospeška

\[a_r=lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}}=lim_{\Delta t \to 0}{\frac{v\omega\Delta t}{\Delta t}}=\omega v=r\omega^2=\frac{v^2}{r}.\]

Rast svetovnega prebivalstva

Na tej Wikipediini strani, ki govori o rasti prebivalstva na planetu in posameznih regijah, najdemo naslednji graf:

Procent rasti svetovnega prebivalstva na leto v odvisnosti od časa. Iz grafa npr. razberemo, da se je prebivalstvo nahitreje večalo leta 1962 -2,2% na leto, nato pa se je procent rasti manjšal, tako da je znašal leta 2009 “samo” 1,1% na leto. Modri del črte je napoved za naslednja leta.

Kaj lahko matematik napove iz teh podatkov?  Najprej korajžno  predpostavimo,  da bo letni procent rasti linearna funkcija časa. Katera linearna funkcija? Najbolj pravilno bi jo bilo določiti z metodo najmanjših kvadratov, pa nimamo podatkov zbranih v tabeli. Lahko bi tudi grafično poiskali premico, ki se podatkom najbolj prilega, nato pa zapisali njeno enačbo.  A za našo natančnost bo dovolj, če uporabimo kar enačbo premice skozi  točki in sicer naslednji:

\[ (1962,2.2\%) \] in \[ (2009,1.1\%) \]

Dobimo enačbo

\[ y-0,022=-\frac{0,011}{47}(x-1962) \]

Nato uporabimo preglednico – prvi stolpec (A)  naj bodo leta od 1962 po 1 leto naprej, drugi (B) pa prirastek, izračunan  po zgornjem obrazcu. Formulo kopiramo toliko let, da pridemo v stolpcu B do 0.  Dobimo naslednji graf:

Model napovedi relativnega letnega prirastka ljudi na planetu.

Ugotovimo torej, da  po tej napovedi lahko  pričakujemo ničelni letni prirastek leta 2056.

Ocenimo še število prebivalcev  planeta leta 2056.  V preglednici nastavimo še tretji stolpec “št.prebivalcev”,  in na vrh (npr. v C2) vpišemo 3,16 milijarde, podatek, ki nam ga ljubeznivo ponudi stran Wolframalpha, potem ko za iskalni niz vpišemo “human population 1962”.  V nadaljevanju (od C3 naprej) pa kopiramo formulo  =C2*(1+B3), pri čemer je v stolpcu B procent prirastka.

Dobimo naslednji graf:

Kaže, da bo takrat na planetu malo pod devet miljard  ljudi, natančneje 8,725 milijarde.

Za primerjavo, Woframalpha je nekoliko bolj pesimističen, saj predvideva že leta 2050 9,13 milijard prebivalcev.  Od tega naj bi v Sloveniji živelo 1,95 milijona ljudi.

Natančnost takega modeliranja je odvisna od točnosti ugotavljanja procenta rasti. Leto, ko je prebivalstvo preseglo 7 milijard, je model napovedal približno leto prepozno, kar ni slabo. Naprej pa  je model tem bolj nezanesljiv,čim dlje v prihodnost gremo…saj lahko pride kaj vmes….a bolje vsaj nekaj kot nič, kajti brez modela bi nam preostala samo vedeževalka….:-)