Plošča(1)

Na koliko načinov lahko na šahovski plošči izberemo belo in črno polje tako, da nikoli nista v isti vrstici ne v istem stolpcu?

sah1

Propeler

V enem od Matematičko-fizičkih listov zasledim zadnjič nalogo o naslednjem elisi (propelerju) podobnem liku:

prosnovnaVprašanje tam je bilo, kolikšen je obseg tega propelerja, če je stranica očrtanega mu kvadrata 1.  Dal sem nalogo v obtok in prvi je odgovoril Andrej Jakobčič. Njegov odgovor se glasi

\[ o=\frac{3\pi}{2} \]

in je pravilen.  Poskusite priti do rešitve tudi vi. Namig: Pot do rešitve je povezana z nekim pravilnim večkotnikom…

Andrej je še spotoma pripomnil, da bi bila prav zanimiva tudi njegova ploščina. Pa poglejmo, če res:

Najprej izračunamo ploščino neobrezane vetrnice:

cela vetrnicaPloščino enega kraka te vetrnice dobimo npr. tako, da od ploščine pokroga odštejemo enakokrak trikotnik iz četrtine kvadrata (pokaži kako). Torej je ploščina celotne vetrnice enaka

\[ S_1=4(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2}-1. \]

Od te ploščine odštejemo ploščino \[ 4\cdot S_2 \] štirih koncev krakov, torej likov oblike

kos3S to ploščino pa je več dela. Najprej opazimo, da lik lahko transformiramo v ploščinsko enak lik oblike

pro4Pozor, ta lik ni krožni izsek!  Krožni izsek s ploščino \[S_3 \]dobimo, če narišemo še naslednji daljici

pro5pngTo ploščino pa dobimo preprosto

\[ S_3=\frac{r\cdot l}{2}=\frac{r^2 \alpha}{2}=\frac{{\frac{1}{2}}^2\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{48}. \]

Do ploščine rdečega lika pridemo, če od te ploščine odštejemo ploščini rumenih trikotnikov, ki sta skladna in enakokraka. Ploščino enega dobimo tako, da od dveh delov dvanajstkotnika odštejemo en del šestkotnika

pro6Torej  je \[ S_2=\frac{\pi}{48}-\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{16},\]

iskana ploščina propelerja pa

\[  S=\frac{\pi}{2}-1-4\cdot S_2=\frac{\pi}{2}-1-\frac{\pi}{12}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\doteq 0,376.\]

Približna vrednost cele vetrnice pa je \(0,57. \).

Če popredalčkamo to nalogo – obseg spada nekam na konec prvega letnika, ploščina pa v konec tretjega…. a nikar se ne pustite predalčkati tudi vi…