Prezi o PTR

Za Prezi v WordPressu obstajata celo dva vtičnika. Tale je Prezi WP , na tej strani  pa kažem Prezi prestavitev, ki se trudi  formule  iz PTR, no, vsaj nekatere od njih.  Za prvi poskus zadeva dela zadovoljivo. Nepoznavalci bi rekli isto kot močnatočka in podobna orodja, a ni gotobo, da so zadeli point.  Delam na tem naprej. Vsekakor mi je všeč, da se dajo stvari prikazati tudi z WordPressom…A na žalost se lepih formulic na iPadu ne vidi, ker so v Flashovem formatu…:-(

Prezi(1)

Prezi je orodje za ustvarjanje predstavitev, produkt madžarske pameti, star 3 leta.   Gre za samosvoj program, ki je brezplačno dostopen v izobraževalne namene.  Zadeva naj bi tekla tudi na tablicah. A hudič se skriva v podrobnostih. Mene so zanimale predvsem  matematične formule. Te se dajo spraviti v Prezi na več načinov, naštejmo nekatere:

  1. Latex, pdf, uvoz v Prezi (prenerodno, nisem poskusil)
  2. v Prezijevem urejevalniku izberemo Insert image, pod URL pa napišemo
    http://forkosh.com/mimetex.cgi?c=\sqrt{a^2+b^2}

    – dela, a GIFek ima resolucijo samo 100 pikslov, neprimerno za povečevanje, kar je pri Preziju bistveno.

  3. v Prezijevem urejevalniku izberemo Insert image, pod URL pa napišemo
    http://latex.codecogs.com/gif.latex?c=\sqrt{a^2+b^2}

    isto kot pri 2,

  4. v Prezijevem urejevalniku izberemo Insert image, pod URL pa napišemo
    http://latex.codecogs.com/svg.latex?c=\sqrt{a^2+b^2}

    odlična ideja, vektorska grafika je za povečevanje primerna, a nikakršna izvedba, slika se snema neskončno časa?  Kaže da svg format v Preziju ni podprt.

  5. v Prezijevem urejevalniku izberemo Insert image, pod URL pa napišemo
    http://latex.codecogs.com/swf.latex?c=\sqrt{a^2+b^2}

    Flashov format, lepo dela, a z drobno napako – na iPadu je namesto formulice bled pravokotnik, saj iPad Flasha in njegovih datotek ne prebavlja. Nekdo piše da zadeva krasno dela na Acerjevem Androidu??

  6. Naredite sliko formule na tej strani, jo shranite na Namizju (zakaj ne dela kopi paste?) in z Insert image spravite v Prezi. Slika je sicer GIFek, a ima lahko resolucijo 300, še boljše pa 600.  Nerodno, a dela.
  7. Na Codecogsovi strani  pa lahko dobite celo vrsto formatov in še več nastavitev. A lej vrabca, sneta slika se neznano kam izgubi???? Če izberete format pdf, je učinek popoln, še vedno pa je nerodno, kljub demu da Povleci in spusti v Preziju dela in lahko iz Namizja potegneš  datoteko v Prezi.

1.forkosh-gif, 2. codecogs-gif, 3. codecogs-swf

Skoraj idealno bi bilo 3 s formatom pdf. Morda  celo dela? Grem gledat. Poskusite tudi vi.

Iskaže se, da 3 s formatom pdf na žalost ne dela direktno. Izkaže se tudi, da če shranimo prezentacijo v PDF obliki, swf formulic ne bomo videli. Rešitev je torej ena sama: formulo je treba napisativ v pdf formatu (naprimer v Codecogsovem urejevalniku enačb), shraniti na disk, iz diska pa v Prezi. Oblaki gor ali dol, disk je le disk. Potem pa res dobite formulico, kot je tale

premica2tocki

Razdalja točke od premice(2)

Poglejmo še v prostor. Naj bo premica p podana v kanonični obliki

    \[\frac{x-a_1}{b_1-a_1}=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}=\frac{z-a_3}{b_3-a_3}.\]

Pri tem sta A(a_1,a_2,a_3 in B(b_1,b_2,b_3)  fiksni točki na premici p, X((x,y,z pa poljubna točka na njej. Naj bo v prostoru še točka T_o(x_o,y_o,z_o), katere razdalja od premice p nas zanima.

Iz skice vidimo, da je iskana razdalja d višina paralelograma, ki ga oklepata vektor \vec{p} na premici \vec{p}=\vec{r_B}-\vec{r_A} in vektor \overrightarrow{AT_o}=\vec{r_{T_o}}-\vec{r_A}. Upoštevamo, da je ploščina paralelograma enaka absolutni vrednosti vektorskega produkta ustreznih vektorjev, pa dobimo

    \[d(T_o,p)=\frac{|\vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}|}{|\vec{p}|}.\]

Primer: Kolikšna je razdalja med točko T_o(1,1,-1) od premice x=y=z?

Rešitev: Iz enačbe premice preberemo A(0,0,0), \vec{p}=(1,1,1) in |\vec{p}|=\sqrt{3}.Potem je \overrightarrow{AT_o}=(1,1,-1),  \vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}=(-2,2,0)  in |\vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}|=\sqrt{8}. Iskana razdalja je torej

    \[d=\sqrt{\frac{8}{3}}.\]

Razdalja točke od premice(1)

Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi  točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2) ter njeno implicitno obliko

    \[ax+by+c=0.\]

.  Spremenimo prvo obliko

    \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}\]

v drugo, pa po ureditvi  dobimo

    \[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Opazimo, da je

    \[y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b\]

in

    \[x_1y_2-x_2y_1=c.\]

  Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo  v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki ax+by+c=0. Poleg tega imejmo še točko T_o(x_o,y_o) in radi bi določili razdaljo d(T_o,p) te točke od premice, kot je razvidno na skici:



Izberimo na tej premici poljubni točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2). Opazimo, da točke T_o, T_1 in T_2 tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja d je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko  dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo

    \[d(T_o,p)=\frac{2S}{d(T_1,T_2)},\]

pri čemer je

    \[S=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1-x_o&y_1-y_o\\x_2-x_o&y_2-y_o\end{Vmatrix}\]

ploščina trikotnika,

    \[d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]

pa dolžina osnovnice trikotnika, torej razdalja med točkama  T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2).  Torej je

    \[d(To,p)=\frac{|x_1y_2+x_oy_o-x_1y_o-x_oy_2-x_2y_1-x_oy_o+x_2y_o+x_oy_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ko uredimo še števec, dobimo ravno

    \[d(T_o,p)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

kar je iskani obrazec.  Opazimo lahko, da je premica z enačbo ax+by+c=0 od izhodišča koordinatnega sistema oddaljena za

    \[\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]