Poglavja iz kvantne mehanike v srednji šoli

uvod

Zakaj na molekule zraka teža navidezno ne deluje, saj se ne zberejo na tleh? Zakaj se molekule neprestano gibljejo, biljardne krogle pa se vedno ustavijo? Po premisleku opazimo, da za delce, kot so molekule in atomi, veljajo drugačni fizikalni zakoni kot za makroskopske delce. Podobni premisleki in dodatni poskusi pa povedo, da za dovolj majhne, t.i. kvantne delce zakoni klasične fizike sploh ne veljajo. Nič ne moremo povedati o tiru takega delca, 2. Newtonov zakon za delec ne velja. Vse kar o kvantnem delcu lahko zvemo, je njegova valovna funkcija \[\Psi=\Psi(t,x,y,z),\qquad\qquad\qquad\qquad(1)\] ki sama fizikalnega pomena nima, njen kvadrat pa pove verjetnost, da se delec ob času \(t\) nahaja na mestu \((x,y,z).\) Valovno funkcijo delca zvemo, ko za dalec zapišemo in rešimo Schrödingerjevo enačbo. Ta za stacionarno stanje (s časom nespreminjajoče se) in v enodimenzionalni obliki zgleda takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-W_p)\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(2)\]

Pri tem so \(m\) masa delca, \(W\) njegova skupna energija, \(W_p\) njegova potgencialna energija, \(h=6,6\cdot10^{-34}Js\) pa Planckova konstanta. Ni jasno, kako je Schrödinger prišel do nje, a didaktika fizike ponuja  izpeljavo, ki si jo bomo ogledali v nadaljevanju.

Izpeljava Schrödingerjeve enačbe

Opišimo s s funkcijo \(\Psi\) sinusno valovanje, ki se širi v smeri x-osi. Torej \[\Psi(t,x)=\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\] pri čemer je \(\Psi_o\) amplituda, \(\omega=2\pi\nu\) krožna frekvenca in \[k=\frac{2\pi}{\lambda}\qquad\qquad\qquad\qquad(3)\] valovno število, v katerem je skrita valovna dolžina valovanja \(\lambda.\)

Stacionarno stanje dobimo, če nas zanima samo krajevna slika. Zato pribijmo čas (kot pri fotografiranju) in \(\Psi\) dvakrat parcialno odvajajmo. Dobimo

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\qquad\qquad\qquad\qquad(4)\]. Upoštevajmo še (3), pa lahko zapišemo krajevni del valovne enačbe (4) takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+k^2\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(5)\]

Sedaj pa se spomnimo na fotoefekt. Šele A. Einstein ga je pojasnil s postavko, da je svetloba ne le valovanje, temveč tudi curek delcev – fotonov, katerim je pripisal tudi maso, ki izvira iz njihove energije. Če namreč povežemo energijo fotona \(W=h\nu\) z formulo za energijo iz sprecialne teorije relativnosti, dobimo

\[h\nu=mc^2,\qquad\qquad\qquad\qquad(6)\]

od tod pa izraza za maso fotona

\[m=\frac{h\nu}{c^2}\qquad\qquad\qquad\qquad(7)\]

in njegovo valovno dolžino

\[\lambda=\frac{h}{mc}.\qquad\qquad\qquad\qquad(8)\]

Zadnja enačba je napeljala Louisa de Brogliea na misel, da se tudi gibajoči delci obnašajo kot valovanje, pa jim je v skladu z (8) pripisal valovno dolžino

\[\lambda=\frac{h}{mv},\qquad\qquad\qquad\qquad(9)\]

pri čemer je \(m\) masa, \(v\) pa hitrost delca.

Upoštevajmo (9) pri naslednjem računu

\[k^2=\frac{4\pi^2}{\lambda^2}=\frac{4\pi^2m^2v^2}{h^2}=\frac{8\pi^2mW_k}{h^2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(10)\]

Vstavimo rezultat v (5) in upoštevajmo še, da je kinetična energija delca enaka razliki med celotno in potencialno energijo, torej \[W_k=W-W_p,\qquad\qquad\qquad\qquad(11)\] pa res dobimo (2).

Ponazorimo vse te ugotovitve na treh primerih in primerjajmo tudi kvantno stanje s klasičnimi pričakovanji.

 Delec v vodoravni cevi

To je tudi edini primer, ki ga lahko obdelamo skoraj na ravni srednješolske matematike. Imejmo delec mase m, ki je zaprt v vodoravni cevi dolžine L. Klasično bi pričakovali, da ima lahko poljubno (nenegativno) kinetično energijo, in da je za vse točke cevi enako verjetno, da ga najdemo tam.

Za kvantni delec pa najprej zapišemo Schrödingerjevo enačbo

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}W\Psi=0\]

Upoštevali smo, da je \(W_p\) delca enaka 0, saj je cev vodoravna.  Enačba je podobna tisti od sinusnega nihanja in tudi rešitev je podobna, torej

\[\Psi(x)=\Psi_o\sin{\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}x}.\qquad\qquad\qquad\qquad(12)\]

Zapisali smo valovno funkcijo delca v cevi. Upoštevajmo še robni pogoj

\[\Psi(L)=0,\qquad\qquad\qquad\qquad(13)\]

od koder dobimo

\[\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}L=n\pi,\qquad\qquad\qquad\qquad(14)\]

pri čemer imenujemo n kvantno število, ki zavzame vrednosti \(n=1,2,3,\dots .\) Od tod izrazimo energijo delca

\[W_n=\frac{h^ 2}{8mL^2}n^2.\qquad\qquad\qquad\qquad(15)\]

Opazimo prvo važno razliko med klasičnim in kvantnim delcem. Medtem ko je energija klasičnega delca zvezna in lahko zavzame poljubne vrednosti, je energija kvantnega delca diskretna, spreminja se lahko samo v skokih. Energija kvantnega delca tudi ne more biti 0, je pa najmanjša v stanju \(n=1.\)

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]

Valovne funkcije delca za prva 4 kvantna števila

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n \[\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16) \]


Kvadrat teh funkcij pove verjetnost, kje se delec nahaja, torej
\[P_n=\Psi_n^2=\Psi_o\sin^2{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(17)\]

Opazimo torej, da je ta verjetnost odvisna od kvantnega števila n. Pri \(n=1\) je najbolj verjetno, da najdemo delec na sredini, pri \(n=2\) pa, da ga najdemo na prvi in tretji četrtini cevi, itd.

Grafi verjetnosti , da je delec na mestu x palice, za prva 4 kvantna števila.

Spet opazimo, da se verjetnost kvantnega delca zelo razlikuje od verjetnosti klasičnega delca. Verjetnost kvantnega delca se verjetnosti klasičnega delca približa šele v limiti, ko gre \(n\to\infty\).

Harmonični oscilator

Klasično je harmonični oscilator lahko telo mase m, pripeto na vzmet s koeficientom k, kvantno pa si lahko predstavljamo atom v dvoatomni molekuli, v kateri ime vlogo sile vzmeti medatomska sila,  Klasični delec se nahaja vedno med na intervalu \([-s_o,s_o]\), pri čemer je $s_o$ amplituda nihanja. Najbolj verjetno je, da delec najdemo v skrajnih legah legi, najmanj pa, da ga najdemo v ravnovesni legi, saj gre skoznjo najhitreje. Graf verjetnosti klasičnega delca, da ga najdemo v legi x,  ima torej približno naslednjo obliko

Za kvantni delec pa je vse, kar lahko na našem nivolju naredimo, da zapišemo Schrödingerjevo enačbo, ki v enodimenzionalni obliki zgleda takole

\[\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-\frac{kx^2}{2})\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(18)\]

Upoštevali smo, da je potencialna energija v tem primeru prožnostna energija delca.

Rešiti enačbe v srednji šoli sicer ne znamo, a zgodba se ponovi. Energija delca je spet kvantizirana, a zaradi oblike potencialne energije tokrat drugače kot prej.

\[W=\frac{h\nu}{2}+nh\nu=h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right).\qquad\qquad\qquad\qquad(19)\]

To pomeni, da so razmiki med energijskimi stanji tokrat enakomerni.

JSXGraph(2)

Potrebni datoteki

Najprej potrebujemo datoteki

Datoteki snamemo le, če želimo uporabljati program lokalno brez spleta. V glavo HTML dokumenta vstavimo

<head>
 <link rel="stylesheet" type="text/css" href="jsxgraph.css" />
 <script type="text/javascript" src="jsxgraphcore.js"></script>
</head>

Če pa želimo naš HTML dokument prikazati na spletu, datotek ni treba snemati, samo kličemo jih. Tedaj vstavimo v glavo dokumenta kodo

<head>
 <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css" />
 <script type="text/javascript" src="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js"></script>
</head>