Poglavja iz kvantne mehanike v srednji šoli

Objavljeno 17. aprila, 2012 , Vinc

uvod

Zakaj na molekule zraka teža navidezno ne deluje, saj se ne zberejo na tleh? Zakaj se molekule neprestano gibljejo, biljardne krogle pa se vedno ustavijo? Po premisleku opazimo, da za delce, kot so molekule in atomi, veljajo drugačni fizikalni zakoni kot za makroskopske delce. Podobni premisleki in dodatni poskusi pa povedo, da za dovolj majhne, t.i. kvantne delce zakoni klasične fizike sploh ne veljajo. Nič ne moremo povedati o tiru takega delca, 2. Newtonov zakon za delec ne velja. Vse kar o kvantnem delcu lahko zvemo, je njegova valovna funkcija

$\Psi=\Psi(t,x,y,z),\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$

ki sama fizikalnega pomena nima, njen kvadrat pa pove verjetnost, da se delec ob času $t$ nahaja na mestu $(x,y,z).$ Valovno funkcijo delca zvemo, ko za dalec zapišemo in rešimo Schrödingerjevo enačbo. Ta za stacionarno stanje (s časom nespreminjajoče se) in v enodimenzionalni obliki zgleda takole

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-W_p)\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(2)$

Pri tem so $m$ masa delca, $W$ njegova skupna energija, $W_p$ njegova potgencialna energija, $h=6,6\cdot10^{-34}Js$ pa Planckova konstanta. Ni jasno, kako je Schrödinger prišel do nje, a didaktika fizike ponuja izpeljavo, ki si jo bomo ogledali v nadaljevanju.

Izpeljava Schrödingerjeve enačbe

Opišimo s s funkcijo $\Psi$ sinusno valovanje, ki se širi v smeri x-osi. Torej

$\Psi(t,x)=\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},$

pri čemer je $\Psi_o$ amplituda, $\omega=2\pi\nu$ krožna frekvenca in

$k=\frac{2\pi}{\lambda}\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$

valovno število, v katerem je skrita valovna dolžina valovanja $\lambda.$

Stacionarno stanje dobimo, če nas zanima samo krajevna slika. Zato pribijmo čas (kot pri fotografiranju) in $\Psi$ dvakrat parcialno odvajajmo. Dobimo

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi_o\sin{(\omega t-kx)},\qquad\qquad\qquad\qquad(4)$

. Upoštevajmo še (3), pa lahko zapišemo krajevni del valovne enačbe (4) takole

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+k^2\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(5)$

Sedaj pa se spomnimo na fotoefekt. Šele A. Einstein ga je pojasnil s postavko, da je svetloba ne le valovanje, temveč tudi curek delcev – fotonov, katerim je pripisal tudi maso, ki izvira iz njihove energije. Če namreč povežemo energijo fotona $W=h\nu$ z formulo za energijo iz sprecialne teorije relativnosti, dobimo

$h\nu=mc^2,\qquad\qquad\qquad\qquad(6)$

od tod pa izraza za maso fotona

$m=\frac{h\nu}{c^2}\qquad\qquad\qquad\qquad(7)$

in njegovo valovno dolžino

$\lambda=\frac{h}{mc}.\qquad\qquad\qquad\qquad(8)$

Zadnja enačba je napeljala Louisa de Brogliea na misel, da se tudi gibajoči delci obnašajo kot valovanje, pa jim je v skladu z (8) pripisal valovno dolžino

$\lambda=\frac{h}{mv},\qquad\qquad\qquad\qquad(9)$

pri čemer je $m$ masa, $v$ pa hitrost delca.

Upoštevajmo (9) pri naslednjem računu

$k^2=\frac{4\pi^2}{\lambda^2}=\frac{4\pi^2m^2v^2}{h^2}=\frac{8\pi^2mW_k}{h^2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(10)$

Vstavimo rezultat v (5) in upoštevajmo še, da je kinetična energija delca enaka razliki med celotno in potencialno energijo, torej

$W_k=W-W_p,\qquad\qquad\qquad\qquad(11)$

pa res dobimo (2).

Ponazorimo vse te ugotovitve na treh primerih in primerjajmo tudi kvantno stanje s klasičnimi pričakovanji.

Delec v vodoravni cevi

To je tudi edini primer, ki ga lahko obdelamo skoraj na ravni srednješolske matematike. Imejmo delec mase m, ki je zaprt v vodoravni cevi dolžine L. Klasično bi pričakovali, da ima lahko poljubno (nenegativno) kinetično energijo, in da je za vse točke cevi enako verjetno, da ga najdemo tam.

Za kvantni delec pa najprej zapišemo Schrödingerjevo enačbo

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}W\Psi=0$

Upoštevali smo, da je $W_p$ delca enaka 0, saj je cev vodoravna. Enačba je podobna tisti od sinusnega nihanja in tudi rešitev je podobna, torej

$\Psi(x)=\Psi_o\sin{\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}x}.\qquad\qquad\qquad\qquad(12)$

Zapisali smo valovno funkcijo delca v cevi. Upoštevajmo še robni pogoj

$\Psi(L)=0,\qquad\qquad\qquad\qquad(13)$

od koder dobimo

$\sqrt{\frac{8\pi^2mW}{h^2}}L=n\pi,\qquad\qquad\qquad\qquad(14)$

pri čemer imenujemo n kvantno število, ki zavzame vrednosti $n=1,2,3,\dots .$ Od tod izrazimo energijo delca

$W_n=\frac{h^ 2}{8mL^2}n^2.\qquad\qquad\qquad\qquad(15)$

Opazimo prvo važno razliko med klasičnim in kvantnim delcem. Medtem ko je energija klasičnega delca zvezna in lahko zavzame poljubne vrednosti, je energija kvantnega delca diskretna, spreminja se lahko samo v skokih. Energija kvantnega delca tudi ne more biti 0, je pa najmanjša v stanju $n=1.$

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n

$\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16)$

Valovne funkcije delca za prva 4 kvantna števila

Vstavimo sedaj dobljeno energijo (15) v valovno funkcijo (12). Dobimo več valovnih funkcij, odvisnih od kvantnega števila n

$\Psi_n=\Psi_o\sin{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(16)$

Kvadrat teh funkcij pove verjetnost, kje se delec nahaja, torej

$P_n=\Psi_n^2=\Psi_o\sin^2{\frac{n\pi}{L}x},~~~~n=1,2,3,\dots\qquad\qquad\qquad\qquad(17)$

Opazimo torej, da je ta verjetnost odvisna od kvantnega števila n. Pri $n=1$ je najbolj verjetno, da najdemo delec na sredini, pri $n=2$ pa, da ga najdemo na prvi in tretji četrtini cevi, itd.

Grafi verjetnosti , da je delec na mestu x palice, za prva 4 kvantna števila.

Spet opazimo, da se verjetnost kvantnega delca zelo razlikuje od verjetnosti klasičnega delca. Verjetnost kvantnega delca se verjetnosti klasičnega delca približa šele v limiti, ko gre $n\to\infty$ .

Harmonični oscilator

Klasično je harmonični oscilator lahko telo mase m, pripeto na vzmet s koeficientom k, kvantno pa si lahko predstavljamo atom v dvoatomni molekuli, v kateri ime vlogo sile vzmeti medatomska sila, Klasični delec se nahaja vedno med na intervalu $[-s_o,s_o]$ , pri čemer je $s_o$ amplituda nihanja. Najbolj verjetno je, da delec najdemo v skrajnih legah legi, najmanj pa, da ga najdemo v ravnovesni legi, saj gre skoznjo najhitreje. Graf verjetnosti klasičnega delca, da ga najdemo v legi x, ima torej približno naslednjo obliko

Za kvantni delec pa je vse, kar lahko na našem nivolju naredimo, da zapišemo Schrödingerjevo enačbo, ki v enodimenzionalni obliki zgleda takole

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-\frac{kx^2}{2})\Psi=0.\qquad\qquad\qquad\qquad(18)$

Upoštevali smo, da je potencialna energija v tem primeru prožnostna energija delca.

Rešiti enačbe v srednji šoli sicer ne znamo, a zgodba se ponovi. Energija delca je spet kvantizirana, a zaradi oblike potencialne energije tokrat drugače kot prej.

$W=\frac{h\nu}{2}+nh\nu=h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right).\qquad\qquad\qquad\qquad(19)$

To pomeni, da so razmiki med energijskimi stanji tokrat enakomerni.

JSXGraph(2)

Objavljeno 14. aprila, 2012 , Vinc

Potrebni datoteki

Najprej potrebujemo datoteki

jsxgraphcore.js, kar snamemo na http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js
jsxgraph.css, kar snamemo na http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css

Datoteki snamemo le, če želimo uporabljati program lokalno brez spleta. V glavo HTML dokumenta vstavimo

<head>
 <link rel="stylesheet" type="text/css" href="jsxgraph.css" />
 <script type="text/javascript" src="jsxgraphcore.js"></script>
</head>

Če pa želimo naš HTML dokument prikazati na spletu, datotek ni treba snemati, samo kličemo jih. Tedaj vstavimo v glavo dokumenta kodo

<head>
 <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css" />
 <script type="text/javascript" src="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js"></script>
</head>

Povratne zanke v meteorologiji

Objavljeno 12. aprila, 2012 , Vinc

Prevedel (in delno priredil) sem del intevjuja med matematičnim fizikom Johnom Baezom in klimatologom M. Urbanom:

V meteorologiji nekateri fizikalni mehanizmi omogočajo, da se pri temperaturi ozračja vzpostavi povratna zanka, ki je lahko pozitivna ali negativna. Pozitivna povratna zanka predstavlja labilno ravnotežje in vodi k nenehnemu večanju količine, negativna pa stabilno ravnovesje in količino uravnoveša. Povratne zanke označujemo z $\lambda$ , enota je enaka $W/m^2/K$ , podobno kot pri toplotni prevodnosti.

Pojavi, ki imajo učinek v pozitivni povratni zanki, so predvsem:

Izhlapevanje vode. Pri višji temperaturi se v ozračju ustvarja več pare. A para je toplogredni plin, torej se ozračje še bolj greje. Velikost te povratne zanke je največja, ocenjena na 1,48 – 2,14 W/m²/K.
Odboj svetlobe na ledu. Sneg in led odbijata več svetlobe kot kopno in oceani. S segrevanjem se led tali, Zemlja postaja temnejša, absorbira več svetlobe in zato postaja toplejša. Če pa se Zemlja ohladi, postane svetlejša, zato absorbira manj svetlobe. Ocenjena velikost je 0,07 – 0,34 W/m²/K.
Topnost ogljikovega dioksida v oceanih. Hladna voda lahko vsebuje več ogljikovega dioksida kot topla. (spomnite se burne reakcije, če odprete gazirano kislo vodo. Ogljikov dioksid, ki je razopljen v oceanih, se ob večanju temperature sprošča. Ker pa je to toplogredni plin, povzroča dodatno segrevanje. Ob manjšanju temperature se ta proces obrne.

Seveda obstajajo tudi pojavi z negativno povratno zanko, sicer bi klima že zdavnaj podivjala. Sem štejemo predvsem:

Sevanje Zemlje. Segreta telesa sevajo energijo v prostor po zakonnu, ki ga je odkril naš rojak Jožef Stefan in ki pravi
$P=a\sigma ST^4$

Pri tem je $P$ energijski tok, ki ga seva telo, merjen v watih, $T$ absolotna temperatura telesa, $\sigma$ Stefanova konstanta in $a$ odbojnost površine telesa. Toplejše telo seva več toplote, zato se ohladi. Ta velika negativna povratna zanka drži prejšnje pozitivne v ravnovesju, zato Zemlja ne postane neznosno vroča ne neznosno mrzla. Njena vrednost je λ₀ = -3.2 W/m²/K.
Oblačnost. Toplejša Zemlja ima več oblakov, ki odbijajo več sončne svetlobe, obenem pa tudi povečujejo efekt tople grede. Učinek te povratne zanke je težko oceniti. NIzki oblaki so debeli in topli, imajo veliko odbojnost in šibek efekt tople grede, povzročajo ohladitev. Visoki oblaki pa so tenki in hladni, imajo šibko odbojnost in močan efekt tople grede, povzročajo segrevanje. Tako je povratna zanka oblakov lahko pozitivna ali negativna. Velikost te zanke je ocenjena na 0.18 to 1.18 W/m²/K.
Gradientni učinek . Večji efekt tople grede spremeni vertikalni temperaturni profil, kar vpliva na sam efekt, a različno na polih kot na ekvatorju. Povratno zanko tega učinka ocenjujejo na -0.41 to -1.27 W/m²/K, a ker nastopa v skupaj z izhlapevanjem, običajno govorimo o skupnem učinku 0.81 to 1.20 W/m²/K.

Predvidevajo, da povzroči podvojitev $CO_2$ v zraku povečanje energijskega toka \ (j=4±0.3 W/m^{^}2. \). Povečanje temperature računajo po obrazcu

$\Delta T = -\frac{j}{\lambda_o+\lambda},$

pri čemer je λ₀ velikost Planckove povratne zanke, λ pa vsota velikosti vseh ostalih zank. Če vzamemo za hip $\lambda=0,$ dobimo za povečanje temperature zaradi podvojitve ogljikovegega dioksida vrednost

$\Delta T =-\frac{(4±0.3)W/m^2}{-3.2 W/m^2/K}=(1,25\pm 0,10)^oC.$

Tolikšno bi bilo torej povečanje zaradi podvojitve $CO_2$ , ne da bi upoštevali ostale faktorje.

Če vključimo izhlapevanje vode 1.48-2.14 W/m²/K, pa dobimo

$\Delta T =-\frac{(4,0\pm0,3)W/m^2}{(-1.39\pm 0,33) W/m^2/K}=\frac{4,0(1\pm7,5\%)K}{1.39(1\pm 23,7\%)}= 2,9(1\pm 31,2\%)K= (2,9\pm0,9)K.$

Povečanje temperature znaša torej med = $2,0^oC$ in $3,8^oC.$ To je v primeri s prejšnjim rezultatom veliko povečanje.

Če upoštevamo še kombinacijo vodna para-gradientni učinek, pridemo še vedno do povečanja 1.8 to 2.2 °C, kar je skoraj podvojitev samega ogrevanja zaradi CO₂ .

Šest klobukov razmišljanja

Objavljeno 9. aprila, 2012 , Vinc

Šest klobukov razmišljanja je metoda izvajanja samo ene vrste razmišljanja naenkrat. Namesto, da poskusimo narediti vse naenkrat, “nosimo” samo en klobuk naenkrat. Imamo šest barvastih klobukov in vsak predstavlja določen način razmišljanja.

BEL KLOBUK – Dejstva, številke, podatki. Kakšne podatke imamo? Katere podatke moramo še pridobiti?
RDEČ KLOBUK – Čustva, občutki, slutnje, intuicija. Kakšne občutke imamo glede te zadeve prav zdaj?
ČRN KLOBUK – Previdnost, resnica, sodba, ustrezanje dejstvom. Ali to odgovarja dejstvom? Bo delovalo? Je varno? Je možno izpeljati?
RUMEN KLOBUK – Prednosti, koristi, prihranki. Zakaj je to možno? Kakšne koristi so ob tem?Zakaj je to dobro narediti?
ZELEN KLOBUK – Raziskovanje, predlogi, sugestije, nove ideje. Alternative za delovanje. Kaj lahko pri tem storimo? Ali obstajajo različne ideje?
MODER KLOBUK – Razmišljanje o razmišljanju. Nadzor miselnega procesa. Povzetek do sedaj narejenega. Določitev naslednjega miselnega koraka. Določitev programa za razmišljanje.

Vaje za metodo šest razmišljujočih klobukov:

Pri vsaki od naslednjih pripomb označite, kakšen klobuk je po vašem mnenju nosil govorec v tistem času!

Ta avto lahko pospeši na 100km/h v pičlih 6 sekundah. Poraba goriva je 7l na 100km pri gostem prometu.
Zakaj ne prodamo tovarne in jo nato zopet najamemo?
Na tej točki bi morali imeti seznam možnosti, ki jih imamo.
Ne maram ga in nočem delati z njim.
Ne verjamem, da bi višanje cene goriv ljudi prisililo, da bi bilj previdno vozili.
Če ne bom povabljen na njegov rojstni dan, potem mi tudi ni potrebno zapravljati denar za darilo.
Na to steno ni mogoče splezati.

Iz E.de Bono, Naučite svojega otroka misliti, Rotis 2012.

JSXGraph

Objavljeno 8. aprila, 2012 , Vinc

Postal sem pozoren na tale grafek, sumljivo podoben eni nalogi iz 4. Štalca. Odprlo se je cel kup vprašanj, predvsem pa, s katerim orodjem, kako in ali se da tako krivuljo predstaviti tudi v Geogebri. Odgovor na zadnje vprašanje je spodaj

a narejeno ni niti lahko niti lepo. Odkril sem, da je orodje plot nemške pameti z imenom JSXGraph. Nima sicer lepega vmesnika, je bolj programski jezik za ustvarjanje grafike, a koncept je naprednejši od Geogebre – teče brez javanskega stroja v ozadju, samo Javascript in CSS. Zato teče na vseh platformah, tudi na tablicah in pametnih telefonih. Kdor bi se rad naučil tega programa, kar guglajte. Nekaj snovi za začetno motivacijo najdete tu.

Vincenc Petruna

Scientia potentia est.

Mesečni arhiv: april 2012