Mesečni arhiv: februar 2012

PTR v srednji šoli (11)

Objavljeno ,

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

    \[\vec{F}=m\vec{a}\]

ne velja,  saj  masa telesa ni stalna, temveč odvisna  od hitrosti. Zapisati ga moramo  takole

    \[\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},\]

pri čemer je

    \[\vec{G}=m\vec{v}\]

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

    \[A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}\]

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

    \[\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},\]

nato pa uvedemo novo spremenljivko

    \[1-\frac{v^2}{c^2}=u.\]

Dobimo, da je zadnji integral enak

    \[m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\]

kar skupaj da iskano funkcijo

    \[\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.\]

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

    \[A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.\]

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

    \[W=mc^2~~~~(1)\]

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

    \[W_o=m_oc^2~~~~(2)\]

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc².

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

    \[W=W_o+W_k.\]

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

    \[W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).\]

Pri tem je seveda \gamma relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.

Naprej

Krožnica(2)

Objavljeno ,

Krožnici se dotikata z zunanje strani.

  1. Konstruiraj tretjo krožnico, ki se dotika obeh.
  2. Konstruiraj četrto krožnico, ki se prvi dve dotika od zunaj, tretje pa od znotraj (dve rešitvi).

Namig: Pri prvi nalogi lahko ugotoviš središče in polmer iskane krožnice že s premislekom, pri drugi pa je glavna težava določiti polmer 4. krožnice. Zato poveži središča vseh krogov, poglej, kje so trikotniki pravokotni od tam izrazi neznano. Upam, d ati bo v pomoč tudi spodnja animacija: