Utripanje

Vsota nihanj z enakima amplitudama in podobnima frekvencama da utripanje. Opazimo ga lahko, če sklopimo nihali s podobnima nihajnima časoma ali če frekvenco enega kraka glasbenih vilic nekoliko spremenimo, pa tudi pri uglaševanju strun kitare ali kakega drugega glasbenega instrumenta.

Teslin generator trifazne napetosti

Nikola Tesla je ta generator izumil leta 1882, leta 1888 pa ga je patentiral. Generator je osnova današnjega električnega omrežja, saj je za razliko od enosmernega toka omogočil prenos električne napetosti na velike razdalje.


Za ta generator je značilno, da se zaradi vrtečega se magneta v vsaki od treh tuljav inducira sinusna napetost, le napetosti so zamaknjene za \[ 120^o \], kar je pač posledica razporeditve tuljav.  Zato so premaknjeni tudi tokovi skozi tuljave, torej

 \[ I_R=I_o\sin{(\omega t-120^o)} \]
\[ I_S=I_o\sin{(\omega t)} \]
\[ I_T=I_o\sin{(\omega t+120^o)} \]

Vsi tokovi se srečajo v ničelnem vodniku. Če si dijak tretjega letnika in se spoznaš na trigonometrijo, izračunaj, kolikšen tok teče po ničelnem vodniku, pa zveš, od kod temu vodniku ime!

Trifazni tok uporablja industrija ter gospodinjstva, ki imajo večje porabnike. Vir trifazne napetosti v gospodinjstvu prepoznamo po posebni vričnici, ki ima 5 priključkov. Za  običajna gospodinjstva zadoščajo samo trije priključki –  ena od faz, ničelni vodnik in ozemljitev.

Nikola Tesla je delal poskuse tudi s polifaznimi sistemi – okrog vrtečega se magneta je namestil še več tuljav.

Metulji

Morleyev izrek

Geogebra, trisekcija kota in Morleyev izrek

Trije matematični problemi – kvadratura kroga, podvojitev kocke in trisekcija kota
so burili matematične duhove vse od stare Grčije naprej in šele v 19. stoletju so matematiki dokazali, da so ti problemi nerešljivi.Tu se posvetimo samo zadnjemu -trisekciji kota.
Naloga zahteva, da le s šestilom in neoznačenim ravnlom razdelite poljuben kot na tri dele. Izkaže se in tudi dokazali so, da je naloga z omenjemi orodji nerešljiva. Rešljiva pa postane že, če na ravnilu lahko označimo eno samo točko.

Programi za dinamično geometrijo pa lahko kakšno vrednost tudi izračunajo, zato je z njimi trisekcija kota mogoča.

Zanimivo je, da je F.Morley leta 1899 postavil in 15 let pozneje tudi dokazal naslednji izrek: Če v poljubnem trikotniku razdelimo vse kote na tri dele, se sosednji kraki tretinskih kotov sekajo v ogliščih enakostraničnega trikotnika.

Naloga: Število poleg trikotnika kaže razmerje med ploščinama obeh trikotnikov. Premakni oglišča trikotnika ABC tako, da bo razmerje največje. Kakšen je tedaj trokotnik ABC in kolikšen del njegove ploščine znaša ploščina notranjega enakostraničnega trikotnika DEF?

V.Petruna 21.junij 2008, 8 September 2014, Narejeno z GeoGebro

Kljub temu, da je o Morleyevem izreku precej napisanega, nisem nikjer naletel na zvezo med ploščinama obeh trikotnikov. Največje število, ki dobim na 6 decimalk, je 0,34188. Izziv za sedanji rod?

Simulacija gibanja satelita v VisualPythonu

Poljubno gibanje lahko simuliramo tako, da upoštevamo naslednje korake:

  1. izberemo majhen časovni interval dt,
  2. podamo komponente krajevnega vektorja [math]\vec{r}=(x,y)[/math] telesa  na začetku gibanja in komponente njegove hitrosti [math]\vec{v}=(v_x,v_y)[/math] takrat,
  3. zapišemo za telo 2. Newtonov zakon po komponentah in iz izrazimo komponenti pospeška,
  4. uporabimo definicjo pospeška in iz nje izračunamo novi komponenti hitrosti, [math]v_x\leftarrow v_x+a_x\cdot dt,\quad v_y\leftarrow v_y+a_y\cdot dt[/math]
  5. uporabimo definicijo hitrosti in iz nje določimo komponenti nove lege telesa  [math]x\leftarrow x+v_x\cdot dt,\quad y\leftarrow y+v_y\cdot dt,[/math]
  6. narišemo novo lego,
  7. pravkar izračunani lego in hitrost proglasimo za stari, nato pa ponavljamo korake 3-7.

Tako simulacijo lahko izvedemo samo s kalkulatorjem, točke rišemo npr. na mmilimetrski papir (če ga še prodajajo). Lahko pa seveda uporabimo preglednico ali še boljše, programski jezik. Zadnje čase je naših šolah v modi  Python, sorazmerno lahko je  preiti nanj, čr ste se  prej ukvarjali s Pascalom in Delphijem.  Spodnji program je napisan v VisualPythonu,  različici, ki je posebej primerna za grafične prikaze.

Rezultat, ki ga dobimo, je premikajoč se satelit na spodnji sličici:



In takoj se ponujajo  modifikacije programa – satelit, ki pušča za sabo sled, preverjanje Keplerjevih zakonov, dvojna zvezda, zvezdna kopica, trk kopic….Zanimivo vprašanje, na katerega lahko prv hitro odgovorimo,  je postavil Ivan Kuščer: kakšen bi bil tir satelita, če bi privlačna sila med telesi nekoliko odstopala od Newtonovega gravitacijskega zakona, npr.

[math]\vec{F}=\frac{GmM}{r^{3+\alpha}}\vec{r}.[/math]

Prav tako lahko npr. napišete  igro, v kateri z raketo in omejeno količino goriva pristajate na Zemlji ali Luni in ste ves čas v nevarnosti, da če vam goriva zmanjka, postanete umetni satelit….

Vsota harmonikov

Iz teorije vrst vemo, da lahko vsako zvezno in odsekoma odvedljivo funkcijo zapišemo s Fourierovo vrsto, v kateri nastopajo kosinusi in sinusi mnogokratnikov osnovne frekvence. Če je funkcija soda, zadoščajo sami kosinusi, če liha, pa sinusi. Izkoristimo to v fiziki za generacijo pravokotne napetosti – poglejmo, koliko se ji približamo, če dodamo po en člen tja do desetega.

PTR v srednji šoli

Posebna teorija relativnosti v srednji šoli -uvod

Imel sem srečo, sam sem to teorijo v šolskem letu 1970/71 kot dijak  Gimnazije Črnomelj slišal kar dvakrat. Matematik Marjan Skrbinšek jo je povzel po učbeniku Franceta Križaniča Atirmetika, algebra in analiza, za moj okus najboljšem slovenskem učbeniku matematike do sedaj. Fizik Jože Pavlišič pa je pri fizikalnem krožku ubral bolj fizikalni pristop, ki je temeljil na takrat pravkar izšli Sigmini knjižici Janeza Strnada Relativnost.  Skoraj dve desetletji kasneje sem imel to poglavje priliko spet slišati pri Ivanu Kuščerju v okviru predmeta Osnove klasične fizike na tretji stopnji pedagoške fizike, Janez Strand pa ji je namenil tudi eno od poglavij v Učbeniku Fizika za družboslovce, ki se je uporabljal v okviru usmerjenega izobraževanja. Kasneje je kot celota iz učbenikov izginila, v fiziki se uporablja le še pri obravnavi energije delcev.

STR se mi zdi pomembna, saj dijaku odpre nove poglede na svet okrog nas in ponuja odgovor ena nekatera temeljna vprašanja.. Zato jo poskušam prenesti dijakom v obliki, o kateri nameravam pisati v nadaljevanju.

Temelji fizike na začetku 20. stoletja

Klasična fizika je v tistem času temeljila na naslednjih načelih:

  1. Prostor je izotropen in homogen. Homogenost prostora pomeni, da je izid fizikalnega poskusa neodvisen od tega, kje ga izvajamo, izotropnost pa, da je za izid vseeno, kako je merilna priprava zasukana.
  2. Čas je homogen. Izid fizikalnega poskusa je torej neodvisen od tega, kdaj poskus izvajajmo. Fizikalni poskusi so torej ponovljivi in v enakih okoliščinah pričakujemo enak rezultat.
  3. Vsi inercialni sistemi so enakovredni.  Ker fizik meri, potrebuje koordinatni sistem in uro. Tak sistem je lahko glede na okolico mirujoč, lahko pa se giblje glede na njo s hitrostjo [math]v_o[/math] , npr. ladja glede na obalo. Sistem je inercialen, če se glede na okolico giblje nepospešeno, torej premo enakomerno.  To načelo torej pove, da so izidi poskusov v vseh nepospešenih sistemih (npr. na kopnem ali na enakomerno ploveči ladji) enaki.
  4.   Oba inercialna sistema vežejo Galilejeve transformacije.Te transformacije povezujejo  meritve, ki jih je opravil opazovalev v mirujočem se sistemu, z meritvami tistega  v gibajočem se sistemu.  Ivan Kuščer je to ponazoril kar z vlakom, ki pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo  $v_o$. Postajenačelnik in sprevodnik na vlaku merita  koordinato  in čas potnika, ki se iz zadnjega vagona giblje proti strojevodji . Postajenačelnik nameri  x in t, sprevodnik pa x’ in t’. Galilejeve transformacije pravijo

    \[t=t^\prime,\quad x=x^\prime+v_0t^\prime\]

    Oba opazovalca torej merita isti čas (ali čas je absoluten),  Postajenačelnik izmeri hitrost potnika v, sprevodnik pa v’. Zveza med obema hitrostima sledi iz Galilejevih transformacij takole

    \[ v=\frac{x}{t}=\frac{x^\prime+v_ot^\prime}{t^\prime}=v^\prime+v_o.\]

    Primer: Če vozi vlak s hitrostjo 20km/h, potnik pa s giblje proti strojevodji s hitrostjo 5km/h glede na vlak, bo postajenačelnik nameril za potnikovo hitrost 25km/h.

  5. Hitrost svetlobe je v vseh inercialnih sistemih enaka. Z drugimi besedami, hitrosti se ne da pospeševati ne zavirati. To načelo o svetlobni hitrosti je rezultat Michelsonon-Morleyevega poskusa v 80.letih 19. stoletja.

Njun poskus je imel namen izmeriti hitrost Zemlje pri svojem gibanju okrog Sonca glede na eter – namišljeno snov, ki zapolnjuje vesolje in so jo takratni fiziki potrebovali kot sredstvo, po katerem se širi elektromagnetno valovanje, torej tudi svetloba.  Primerjala sta hitrost  svetlobe iz smeri, v katero se je Zemlja gibala, in hitrost svetlobe iz smeri pravokotno na gibanje.  Meritev, ki bila izredno natančna, sta ponavljala skoraj celo desetletje, rezultat pa je bil vsakič 0. Obe hitrosti sta bili torej enaki. Njun poskus je pomenil, da ima svetloba v gibajočem se sistemu enako hitrost kot svetloba v mirujočem (pravokotnem na gibanje) sistemu, posledično pa tudi konec teorije o etru.

Očitno so načela med seboj v protislovju, kar nam pokaže naslednji (namišljen) poskus:

Predstavljajmo si, da sprevodnik  zajaha svetlobni žarek in se na njem pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo c. V roki pa drži baterijo in z njo posveti   v smeri hitrosti vožnje. Kolikšna je hitrost svetlobe iz baterije za postajenačelnika?

Odgovor nam da seštevanje hitrosti po Galilejevih transformacijah

\[ v=v^\prime+v_o=c+c=2c.\]

Rezultat  pa je očitno v nasprotju z načelom o svetlobni hitrosti, saj hitrost ne bi smela presegati c.

Kljub temu, da bilo  nekaj poskusov razrešitve tega protislovja pred A. Einsteinom, je moral priti prav on, da je eno od načel prečrtal. Če bi bili na njegov mestu, katerega bi prečrtali vi?

Ptolomejev izrek

Moj učitelj dr. France Križanič je bil plodovit pisec matematične literature – poleg strokovnih del je napisal tudi učbenike za gimnazije – slavno AAA – Aritmetiko, algebro in analizo – ter neke vrste zgodovino matematike z naslovom Nihalo, prostor in delci. Iz nje povzemam dokaz Ptolomejevega izreka o tetivnem štirikotniku (Claudius Ptolemaeus (grško: Κλαύδιος Πτολεμαῖος; 83 – 161, grški in egipčanski matematik in geograf.)

Ptolomejev izrek z dokazom najdete tu.

Tudi naloga za bralca, ki je dokazal Ptolomejev izrek,  je iz te knjige:

Nariši krožnico s premerom 1 in ji včrtaj  štirikotnik, ki ima za premer diagonalo e.  Izberi oglišče, v katerega sega diagonala e in označi kota, ki nastaneta ob diagonali v tem oglišču, z α in β.
Izrazi s kotoma vse 4 stranice štirikotnika, za izražanje diagonale f pa uporabi enega od dveh najbolj uporabljanih izrekov  v trikotniku.  Nazadnje uporabi še Ptolemejev izrek, pa dobiš znani izrek iz trigonometrije.

Yunus:Novemu kapitalizmu nasproti

…pravkar sem prebral  knjigo Muhammada Yunusa Novemu kapitalizmu nasproti – socialno podjetništvo za svet brez revščine….osupljivo….gotovo se kdo spomni, mož je pred časom pričel dajati mikroposojila (nekaj 10 dolarjev) svojim sodržavljankam v Bangladešu samo na stisk roke, tako d aso lahko s svojim delom prestopile prag revščine (1dolar/dan). Namesto, da bi propadel, je večina svojeg adenarja dobil nazaj, dejavnost pa še neverjetno razširil v duhu socialnega podjetništva – njegov cilj je, da ves profit usmeri v nove dejavnosti, ki koristijo ljudem – tako ima v Bagladešu 30 milijonov ljudi internet, torej vsak šesti…a njegove dejavnosti gredo še dosti dlje in postavlja se vprašanje, ali je to zametek novega siistema…
…ena od mnogih inovacij gospoda Yunusa so bile tudi “gospe s telefoni”. V času od 1996 naprej je okrog 30000 nepismenim ženskam s podeželja omogočil s svojim kreditom nakup mobilnega telefona, da so ga posojale vaščanom in z medsebojnim povezovanjem ljudi ustvarile prihodke zase in za družine. Mnogi so imeli pomisleke, češ kako bodo nepismene ženske uporabljale telefon. Ena od njih pa je, ko so jo vprašali, ali ima težave s tipkanjem telefonskih številk, odgovorila:
“Zavežite mi oči in povejte , katero številko naj vtipkam. Če mi je ne uspe pravilno odtipkati v prvem posusu, vrnem telefon in preneham z delom.”

O eksponentni rasti(2)

V srednji šoli obrazca za eksponentno rast ne izpeljemo iz diferencialne enačbe $dy=kydt$ pri začetnem pogoju $y(0)=y_o$, saj diferencialnih enačb še ne poznamo. Pomagamo si z obrazcem za obrestno obrestovanje kapitala  $y_o$ s p procentno letno obrestno mero v n letih in k kapitalizacijah letno. Kapital po n letih oziroma nk obrestovalnih obdobjih je torej

$$y_n=y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk} $$

Pri neprestani kapitalizaciji ( $k\to\infty$) je

$$y=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk}=$$

$$=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{1}{\frac{100k}{p}}\right)^{\frac{100k\cdot pn}{p\cdot100}}$$.

Upoštevamo zgoraj  znano definicijo Eulerjevega števila $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} ,$$

pa dobimo iskani izraz

$$y=y_oe^{\frac{pn}{100}}.$$

Sedaj lahko pridemo do prvega Bartlettovega obrazca. Upoštevajmo $y=2y_o,$  pa dobimo iz zgornjega obrazca

$$2=e^{\frac{pn}{100}}. $$

Še logaritmirajmo zvezo in izrazimo n, pa dobimo

$$n=\frac{100\ln{2}}{p}. $$

Ker je $\ln2=0,6931, $ je $100\ln2=69,31 $, kar se od 70 v Bartlettovem obrazcu razlikuje za manj kot procent.  Torej je1.Bartlettov obrazec

$$t_2\doteq \frac{70}{p}$$

zelo dober približek za podvojitveni čas pri eksponentni rasti.

Do  2. Bartlettovega obrazca (povečanju količine v 70 letih) pa pridemo takole:

Velikost spremenljivke y po 70 letih je

$$ y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 70}{100}}=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}$$

Zapišimo to z eksponentno funkcijo  z osnovo 2

$$ y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}=y_o2^u.$$

in določimo u. Krajšajmo in logaritmirajmo to zvezo, pa dobimo

$$ \frac{7p}{10}=u\ln2.$$

Izrazimo od tod u, pa dobimo

$$ u=\frac{7p}{10\ln2}$$,

kar se samo za 1% razlikuje od p. Tako smo torej pridelali uporaben in kar natančen obrazec

$$ y(70)\doteq y_o2^p.$$

O eksponentni rasti

Kljub temu, da pri nas spoznamo eksponentno funkcijo v srednji šoli, običajni ljudje nimajo prave predstave o njej. Število zrn žita, postavljenih na zadnje polje šahovske plošče, skoraj vsakega preseneti.  Sorazmerno dobro si predstavljamo linearno funkcijo  in linearno rast ali upadanje, medtem ko izraze, kot so npr.  “3 procentna rast na leto” ali celo “7 procentne obresti na letni ravni”  marsikdo ne razume ali pa zamenja z linearno rastjo.

A  Američani so praktični. Namesto strogih obrazcev in preciznih izpeljav  ponujajo približne obrazce za eksponentno rast, ki pa k njenem razumevanju bistveno pripomorejo. Tako lahko najdete v spletnem predavanju profesorja Alberta Bartletta dva obrazca,  sorazmerno neznana našim šolarjem:

S prvim računajo  podvojitveni čas $t_2 $ količine, torej čas, v katerem se količina pri taki rasti podvoji. Njegov obrazec je glasi takole:

$$t_2\doteq \frac{70}{p}, $$

pri čemer je p odstotek rasti rasti količine v enoti časa. Če je torej  $p=3\%/leto $, je $t_2=23let, $  če pa je $p=7\%/leto $, je podvojitveni čas že $t_2=10 let. $

Drugi obrazec pa govori o povečanju količine, ki eksponentno raste z letno stopnjo $ p$ v 70 letih, kar je približno obdobje človeškega življenja.  Če je $y $ vrednost  neke količine na začetku, $y_{70} $ vrednost te količine po 70 letih, $ p $ pa letna  stopnja rasti, potem ta  približni obrazec pravi

$$y_{70}\doteq y_o2^{p} $$

Pri letni rasti 3% se količina v 70 letih torej količina poveča osemkrat, pri letni rasti 7% pa kar 128-krat.

V nadaljevanju bomo pogledali, kako te zanimive in uporabne obrazce izpeljemo in kako dobri približki so.

Prvi pozdrav

Zahvaljujoč Johnu Baezu in njegovemu Azimuthu,  ki me je navdušil, in sinu Juriju, ki mi je omogočil, preizkušam to imenitno orodje. Poskusimo pisanje v $\LaTeX$u z zapisom kakšnih formul. Prva naj bo matematična $e^{\pi i}+1=0,$  ki jo je našel L.Euler in na čudovit način veže transcendentni števili [math]e[/math] in [math]\pi[/math], imaginarno enoto [math] i[/math]  ter enoti za seštevanje in množenje z osnovnimi številskimi operacijami seštevanjem, množenjem in potenciranjem. Druga pa naj bo znana fizikalna [math]E=mc^2[/math], ki po eni strani veže maso z energijo, po drugi pa pojasnjuje, da je masa vrsta  energije. Ta Einsteinova formula je navdušila celo našega Janeza Menarta, da je zapel:

Oda od,
balada balad,
$ E=mc^2.$

Pisanje formul torej deluje s pomočjo enega od množice $\LaTeX$ovih vtičnikov, ki so na razpolago za WordPress. Malo se razgledam po orodju, potem pa naprej…

Mimogrede, formule lahko v tem blogu pišete tako, da LaTeXovo formulo vstavite med znački

$$\$\$.$$